高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀第1课时课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀第1课时课后练习题，文件包含人教A版数学高二选择性必修第一册142用空间向量研究距离夹角问题第1课时导学案原卷版docx、人教A版数学高二选择性必修第一册142用空间向量研究距离夹角问题第1课时导学案解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。

1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题；
2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用；
3.能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式，结合一些具体的距离问题的解决；
4.归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，提升直观想象、数学运算等素养.
重点难点
重点：点到直线的距离的向量表示与点到平面的距离的向量表示.
难点：点到在线的距离、点到平面的距离、两条平行直线之间的距离、直线到平面的距离之间的相互转化.
课前预习 自主梳理
知识点一 点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量，则向量在直线上的投影向量，则点P到直线l的距离
知识点二 点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度．因此
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)直线外一点到直线的距离就是该点到直线上任意一点的距离．( )
(2)直线和平面平行时，直线上任意一点到平面的距离就是直线到平面的距离．( )
(3)两个平面平行时，一个平面上任意一点到另外一个平面的距离都相等．( )
(4)任意一条直线与任意一个平面都有距离．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
【解析】 (1)错误．直线外一点到直线的距离是过该点作已知直线的垂线段的长度．
(2)正确．直线和平面平行时，直线上所有的点到平面的距离都是相等的，所以直线上任意一点到平面的距离就是直线到平面的距离．
(3)正确．根据面面平行的概念可知正确．
(4)错误．当直线与平面相交时，直线与平面的距离无法求出．
2.直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线的方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算代入空间中点到直线的距离公式即可求解.
【详解】依题意，
因为直线的方向向量为，
所以取直线的一个单位方向向量为，
由，可得，
所以，
，
所以.
故选：B.
新课导学
学习探究
环节一：创设情境，引入课题
导入问题：如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？
我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等如何用空间向量解决这些距离问题呢？
前面，我们通过直线的方向向量、平面的法向量，运用向量的线性运算、数量积运算等研究了直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的位置关系.下面我们继续用向量方法研究立体几何中的距离和角度等度量问题，进一步体会解决立体几何中有关问题的向量方法.
与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究？
问题1:立体几何中有哪些距离问题？
师生活动：通过教师提问，学生回答，确定立体几何中的各种距离问题.教师进一步指出，我们已经在学习空间向量的坐标运算时学习了两点间的距离，接下来进一步利用向量研究其他距离问题.
追问：你认为可以如何研究这些距离问题？
师生活动：教师进一步引导学生将上述距离问题归为两类，并由学生交流、讨论得出研究的路径，两点间的距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其他距离问题都可以转化为这两类距离问题.
设计意图：明确研究内容和研究思路，将距离问题归类，引导学生研究其中最基本的问题,明晰要素，向量表示，探究点到直线的距离
下面我们先研究用向量方法求直线外一点P到直线的距离．
环节二：观察分析，感知概念
问题2：已知一条直线和直线外一点P,求点P到直线的距离.
追问1：问题中有哪些几何要素？如何用向量来表示这些几何要素？
探究
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点．如何利用这些条件求点到直线的距离?
如图1.4-16，向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形．
追问2:作出点到直线的距离,向量与点到直线的距离之间有什么关系?
师生活动:学生自主探究,得出向量及其在直线上的投影向量与之间的关系,得到Rt.
因为，都是定点，所以，与的夹角都是确定的．于是可求．再利用勾股定理，可以求出点到直线的距离．
师生活动:教师引导学生用向量表示问题中的点和直线两个几何要素.用直线上任意一点和点构成向量,建立点与直线的关联;直线由一个点和一个方向向量确定,可以取单位方向向量表示直线的方向向量.
设，则向量在直线上的投影向量．
环节三：抽象概括，形成概念
追问3:你能借助图形,用向量方法求出点到直线的距离吗?
在中，由勾股定理，得
思考
类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
类比探究,推导点到平面的距离公式
环节四：辨析理解，深化概念
问题4:类似于点到直线的距离,如何求平面外一点到平面的距离?
我们再来看平面外一点到平面的距离问题．
如图1.4-17，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点．
追问1:类似于直线可由一个点和方向向量确定,确定一个平面的条件是什么?
师生活动:由学生回答.
追问2:你能类比求点到直线的距离的方法,利用向量投影求出点到平面的距离吗?
过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度．
因此．
第一步,确定平面的法向量;
第二步,选择“参考向量”;
第三步,确定“参考向量”向法向量的的投影向量;
第四步,求投影向量的模长,得到
问题5:如何求平行于平面的直线到平面的距离?两个平行平面之间的距离呢?
环节五：课堂练习，巩固运用
例6如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离．
分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．
解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，，，，．
（1）取，，则，．
所以，点到直线的距离为．
（2）因为，所以，所以平面．所以点到平面的距离即为直线到平面的距离．设平面的法向量为，则
，所以．所以
取，则，．所以，是平面的一个法向量．
又因为，所以点到平面的距离为
．
即直线到平面的距离．
课后练习:请同学们课后试一试用综合几何的方法求解例题中的两个距离.与教科书中用向量方法求解进行比较,你有什么体会?
问题6:结合例1,回顾用空间向量解决距离问题的过程,你能总结用向量方法解决立体几何问题的基本步骤吗?
与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论．
环节六：归纳总结，反思提升
问题7:回顾这节课的学习,我们学习了哪些内容?用的是什么方法?
知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
环节七：目标检测，作业布置
完成教材：第35页 练习 第1，2，3题
第41 页 习题1.4 第6,7,13,14题