人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质优秀课时训练

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5.4.3《正切函数的性质与图象》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在下列给出的函数中，以π为周期且在(0，eq \f(π,2))内是增函数的是( )


A.y=sin eq \f(x,2) B.y=cs 2x


C.y=sin(2x＋eq \f(π,4)) D.y=tan(x－eq \f(π,4))





LISTNUM OutlineDefault \l 3 f(x)=－tan(x＋eq \f(π,4))的单调区间是( )


A.(kπ－eq \f(π,2)，kπ＋eq \f(π,2))，k∈Z


B.(kπ，(k＋1)π)，k∈Z


C.(kπ－eq \f(3π,4)，kπ＋eq \f(π,4))，k∈Z


D.(kπ－eq \f(π,4)，kπ＋eq \f(3π,4))，k∈Z





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=3tan(2x＋eq \f(π,4))的定义域是( )


A.{x|x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}


B.{x|x≠eq \f(k,2)π－eq \f(3π,8)，k∈Z}


C.{x|x≠eq \f(k,2)π＋eq \f(π,8)，k∈Z}


D.{x|x≠eq \f(k,2)π，k∈Z}





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))图象的对称中心为( )


A.(0，0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,18)，0))，k∈Z D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,6)－\f(π,18)，0))，k∈Z





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y=1所得的线段长为eq \f(π,4)，则ω的值是( )


A.1 B.2 C.4 D.8








LISTNUM OutlineDefault \l 3 与函数y=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象不相交的一条直线是( )


A.x=eq \f(π,2) B.x=－eq \f(π,2) C.x=eq \f(π,4) D.x=eq \f(π,8)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=|tan 2x|是( )


A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数


C.周期为eq \f(π,2)的奇函数 D.周期为eq \f(π,2)的偶函数





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=lg0.5taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的定义域是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)＜x＜kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z))))


D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))





、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 比较大小：taneq \f(13π,4)________taneq \f(17π,5).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数y=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，则该函数图象的对称中心坐标为________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 y=taneq \f(x,2)满足下列哪些条件________(填序号).


①在(0，eq \f(π,2))上单调递增；


②为奇函数；


③以π为最小正周期；


④定义域为{x|x≠eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z}.





























、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)=eq \f(tan2 x－tan x,tan x－1)；


(2)f(x)=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 求函数y=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心.

























































































LISTNUM OutlineDefault \l 3 设函数f(x)=tan(ωx＋φ)(ω>0，0<φ

(1)求f(x)的解析式；


(2)求f(x)的单调区间；


(3)求不等式－1≤f(x)≤eq \r(3)的解集.


















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知f(x)=x2＋2x·tan θ－1，x∈[－1，eq \r(3)]，其中θ∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)).


(1)当θ=－eq \f(π,6)时，求函数f(x)的最大值与最小值；


(2)求θ的取值范围，且使y=f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数.





























答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：D.


解析：由函数周期为π可排除A.当x∈(0，eq \f(π,2))时，2x∈(0，π)，


2x＋eq \f(π,4)∈(eq \f(π,4)，eq \f(5,4)π)，此时B、C中函数均不是增函数.故选D.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C.


解析：令－eq \f(π,2)＋kπ＜x＋eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，


解得－eq \f(3π,4)＋kπ＜x＜eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z.


所以函数f(x)的单调减区间为(kπ－eq \f(3π,4)，kπ＋eq \f(π,4))，k∈Z.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C.


解析：由2x＋eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x≠eq \f(1,2)kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：由函数y=tan x的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z，


令3x＋eq \f(π,6)=eq \f(kπ,2)，k∈Z，则x=eq \f(kπ,6)－eq \f(π,18)(k∈Z)，


∴y=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,6)－\f(π,18)，0))，k∈Z.故选D.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：由题意可得f(x)的周期为eq \f(π,4)，则eq \f(π,ω)=eq \f(π,4)，∴ω=4.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：当x=eq \f(π,8)时，2x＋eq \f(π,4)=eq \f(π,2)，而eq \f(π,2)的正切值不存在，


所以直线x=eq \f(π,8)与函数的图象不相交.














LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D;


解析：f(－x)=|tan(－2x)|=|tan 2x|=f(x)为偶函数，T=eq \f(π,2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：[由题意taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＞0，即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＜0，


∴kπ－eq \f(π,2)＜x－eq \f(π,4)＜kπ，∴kπ－eq \f(π,4)＜x＜kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，故选B.]





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：＜；








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1；








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)，0))，k∈Z；


解析：由x－eq \f(π,3)=eq \f(kπ,2)(k∈Z)得x=eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)(k∈Z)，


所以图象的对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)，0))，k∈Z.]








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：①②；


解析：令x∈(0，eq \f(π,2))，则eq \f(x,2)∈(0，eq \f(π,4))，所以y=taneq \f(x,2)在(0，eq \f(π,2))上单调递增正确；


tan(－eq \f(x,2))=－taneq \f(x,2)，故y=taneq \f(x,2)为奇函数；T=eq \f(π,ω)=2π，所以③不正确；


由eq \f(x,2)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以④不正确.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,tan x≠1，))


得f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，


不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数.


(2)函数定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，


关于原点对称，


又f(－x)=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－\f(π,4)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(π,4)))=－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))=－f(x)，


所以函数是奇函数.











LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：①由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z，


∴函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠2kπ＋\f(5,3)π，k∈Z)))).


②T=eq \f(π,\f(1,2))=2π，∴函数的最小正周期为2π.


③由kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得2kπ－eq \f(π,3)＜x＜2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z，


∴函数的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,3)))， k∈Z.


④由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)=eq \f(kπ,2)，k∈Z，得x=kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，


∴函数图象的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(2π,3)，0))，k∈Z.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T=eq \f(π,2)，即eq \f(π,|ω|)=eq \f(π,2).


因为ω>0，所以ω=2，从而f(x)=tan(2x＋φ).


因为函数y=f(x)的图象关于点M(－eq \f(π,8)，0)对称，


所以2×(－eq \f(π,8))＋φ=eq \f(kπ,2)，k∈Z，即φ=eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z.


因为0<φ

(2)令－eq \f(π,2)＋kπ<2x＋eq \f(π,4)

得－eq \f(3π,4)＋kπ<2x

所以函数的单调递增区间为(－eq \f(3π,8)＋eq \f(kπ,2)，eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2))，k∈Z，无单调递减区间.


(3)由(1)知，f(x)=tan(2x＋eq \f(π,4)).


由－1≤tan(2x＋eq \f(π,4))≤eq \r(3)，得－eq \f(π,4)＋kπ≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，


即－eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)≤x≤eq \f(π,24)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.


所以不等式－1≤f(x)≤eq \r(3)的解集为{x|－eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)≤x≤eq \f(π,24)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z}.


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)当θ=－eq \f(π,6)时，f(x)=x2－eq \f(2\r(3),3)x－1=(x－eq \f(\r(3),3))2－eq \f(4,3)，x∈[－1，eq \r(3)]，


所以当x=eq \f(\r(3),3)时，f(x)的最小值为－eq \f(4,3)，


当x=－1时，f(x)的最大值为eq \f(2\r(3),3).


(2)因为f(x)=x2＋2x·tan θ－1=(x＋tan θ)2－1－tan2θ，


所以原函数的图象的对称轴方程为x=－tan θ.


因为y=f(x)在[－1，eq \r(3)]上是单调函数，


所以－tan θ≤－1或－tan θ≥eq \r(3)，


即tan θ≥1或tan θ≤－eq \r(3)，


所以eq \f(π,4)＋kπ≤θ＜eq \f(π,2)＋kπ或－eq \f(π,2)＋kπ＜θ≤－eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z.


又θ∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，


所以θ的取值范围是(－eq \f(π,2)，－eq \f(π,3)]∪[eq \f(π,4)，eq \f(π,2)).