浙教版数学 八上 一次函数 专题33一次函数的应用之方案分配问题（含解析）

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专题33 一次函数的应用之方案分配问题1．目前，全国各地都在积极开展新冠肺炎疫苗接种工作，某生物公司接到批量生产疫苗任务，要求5天内加工完成22万支疫苗，该公司安排甲，乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工过程中停工一段时间维修设备，然后提高效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止，设甲，乙两车间各自生产疫苗y（万支）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图1所示；两车间未生产疫苗w（万支）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：(1)甲车间每天生产疫苗 万支，第一天甲、乙两车间共生产疫苗 万支， ；(2)当时，求甲、乙车间生产的疫苗数（万支）之差；(3)若5.5万支疫苗恰好装满一辆货车，那么加工多长时间装满第一辆货车？再加工多长时间恰好装满第三辆货车？2．“一带一路”国家某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案选择：方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费与包装盒数满足如图1所示的函数关系．方案二：租赁机器自己加工，所需费用 （包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数满足如图2所示的函数关系．根据图象回答下列问题：（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？（3）请分别求出、与的函数关系式（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由3．依靠国家强有力的政策引导和全国人民的共同努力，我国的新冠疫情态势得到了有效控制．但当前疫情发展形势依旧严峻，常态化防控工作仍然不能松懈．为了打赢这场没有硝烟的战争，某公司积极响应国家号召，采购了口罩、防护服、消毒剂等医疗物资若干箱，进行物资援助．该公司计划租用某货运公司的A、B型两种货车共6辆完成物资运送，它们的载货量和租金如下表：设租用A型货车辆，根据要求回答下列问题：(1)用含有的式子填写下表：(2)若保证租车费用不超过4550元，求的最大值；(3)在（2）的条件下，若该公司援助防疫物资共200箱，设这批物资的总运费为元，求与之间的函数关系式，并求出最少运费为多少元？4．某校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本，并且所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量，设买A笔记本n本，买两种笔记本的总费为w元．(1)写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；(2)购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？5．某年级380名师生秋游，计划租用7辆客车，学校可提供租车费用共4000元，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如右表．（1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式；（2）有几种可行的租车方案？哪种租车方案能使预支的租车费用剩余最多？最多可剩余多少元？6．某校八年级举行演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，并且购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的，设买A种笔记本n本，（1）则买两种笔记本的总费用________元（用n的代数式表示）（2）求出n的取值范围．（3）购买这两种笔记本各多少本时，花费最少？此时的花费是多少元？7．为了“不忘历史，学习英雄”，学校开展“红色丰碑”演讲比赛；王老师负责为获奖同学购买奖品，现甲、乙两个商店正在做促销活动，分别给出了不同的优惠方案：甲商店优惠方案：购买奖品金额超过300元后，超出300元的部分按8折收费；乙商店优惠方案：购买奖品金额超过500元后，超出500元的部分按a折收费；如果王老师到乙商店购买奖品，当奖品金额是600元时，实际需支付570元．（1）填空：a＝　 　．（2）如果王老师到甲商店购买奖品金额x元，求实际支付y元与奖品金额x元之间的函数表达式．（3）如果王老师购买奖品的金额超过800元，那么到哪个商店进行采购更合算？8．某校801班师生共45人前往某景区游览，该景区窗口票价标明：成人票每张30元，学生票享受六折优惠．（1）若老师有x名，801班师生景区游览的门票总费用为y元，请用x的代数式表示y．（2）若师生门票总费用y不超过858元，问至少有几名学生．9．某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾区安置点，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题：（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x的函数解析式；（2）若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于6，则车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采取哪种安排方案？并求出最少运费．10．在“美丽中国，清洁乡村”活动中，李家村提出两种购买垃圾桶方案：方案1：不分类垃圾桶免费赠送，以后每月的垃圾处理费用800元：方案2：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用200元；设方案1的总费用为y1元，方案2的总费用为y2元，交费时间为x个月． (1)分别写出y1，y2与x的函数关系式；(2)在同一坐标系内，画出函数y1，y2的图象；(3)在不考虑垃圾桶使用寿命的情况下，哪种方案省钱．11．我市人民医院准备从医疗器械销售公司采购A、B两种医疗器械共80件，其中A种器械不少于40件，B种医疗器械的数量不少于A种器械的，已知A种器械的售价为每件360元，B种器械的售价为每件400元．（1）请写出人民医院在这次采购中所需资金y（元）与采购A种医疗器械x（件）的函数解析式，并写出自变量x的取位范围； （2）为了积极应对本次新冠肺炎疫情，人民医院拿出27000元经费用于采购这80件医疗器械，请问经费是否够用，如果不够至少还需要经费多少元？12．“垃圾分类”意识已经深入人心．我校王老师准备用元(全部用完)购买两类垃圾桶，已知类桶单价元，类桶单价元，设购入类桶个，类桶个．（1）求关于的函数表达式．（2）若购进的类桶不少于类桶的倍．①求至少购进类桶多少个？②根据临场实际购买情况，王老师在总费用不变的情况下把一部分类桶调换成另一种类桶，且调换后类桶的数量不少于类桶的数量，已知类桶单价元，则按这样的购买方式，类桶最多可买 个．(直接写出答案)13．为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元。设购进A种树苗x棵，购买两种树苗的总费用为w元。（1）写出w（元）关于x（棵）的函数关系式；（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用。14．我市创全国卫生城市，某街道积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．求购买温馨提示牌和垃圾箱所需费用元与温馨提示牌的个数x的函数关系式；若该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？15．现计划把一批货物用一列火车运往某地，已知这列火车可挂A，B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y元，这列火车挂A型车厢x节，写出y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；（2）已知A型车厢数不少于B型车厢数，运输总费用不低于276000元，问有哪些不同运送方案？16．某玩具厂在圣诞节期间准备生产A、B两种玩具共80万套，两种玩具的成本和售价如下表：（1）若该厂所筹集资金为2180万元，且所筹资金全部用于生产，则这两种玩具各生产多少万套？（2）设该厂生产A种玩具x万套，两种玩具所获得的总利润为w万元，请写出w与x的关系式．（3）由于资金短缺，该厂所筹集的资金有限，只够生产A种49万套、B种31万套或者A种50万套、B种30万套．但根据市场调查，每套A种玩具的售价将提高a元（a>0），B种玩具售价不变，且所生产的玩具可全部售出，该玩具厂将如何安排生产才能获得最大利润？17．某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现要调往A县10辆，调往B县8辆，已知调运一辆农用车的费用如表：（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式；（2）若要求总运费不超过900元．共有哪几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？18．某市的A地和B地秋季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C地和D地分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A地和B地，已知从C、D两地运化肥到A、B两地的运费（元/吨）如下表所示（1）设C地运到A地的化肥为吨，用含（吨）的代数式表示总运费W（元）（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案（3）若总运费不少于5680元，共有几种方案？（化肥吨数取整数）参考答案：1．(1)2，3.5，1.5(2)1(3)2天，2天【分析】（1）根据图1中函数图象知甲车间5天共生产疫苗10万支，可以计算出甲车间每天生产疫苗的数量；从图2中的函数图像可知第一天甲、乙两车间共生产的疫苗数；用第一天甲、乙两车间共生产疫苗数量减去甲车间第一天生产的疫苗数量即可得到a的值；（2）根据（1）中a的值和函数图象中的数据，利用分类讨论的方法可以求得乙车间生产疫苗数量y（万支）与x（天）之间的函数关系式；（3）根据图2中的信息，可以计算出加工多长时间装满第一辆货车，再加工多长时间恰好装满第三辆货车．【详解】（1）解：由图1可得，车间每天生产疫苗：（万支）；由图2可得，甲、乙两车间第一天共生产疫苗：（万支）；；故答案为：2，3.5 ，1.5．（2）解：由（1）可知甲车间生产疫苗数量y（万支）与x（天）之间的函系式为．下面再求乙车间生产疫苗数量y（万支）与x（天）之间的函系式：当时，；当时，；当时，设与x的函数关系式为，由题意可得，解得，即当时，y与x的函数关系式为，当时，甲车间生产的疫苗数（万支）为（万支）；当时，乙车间生产的疫苗数（万支）为（万支）∴甲、乙车间生产的疫苗数（万支）之差（万支）．（3）解：由图2可得，当时，生产的疫苗有（万支），当时，每天生产的疫苗有：（万支），∴加工第4天时，可以装满第三辆车，故答案为：2天，2天．答：加工2天时装满第一辆货车，再加工2天恰好装满第三辆货车．【点睛】本题为一次函数实际应用问题，应用了待定系数法．解答要注意通过对两个函数图象实际意义对比分析得到问题答案，利用数形结合的思想是解答本题的关键．2．（1）5元；（2）20000元，2.5元；（3） y＝5x；y＝2.5x＋20000；（4）当x＝8000时，两种方案同样省钱；当x＜8000时，选择方案一；当x＞8000时，选择方案二；理由见解析．【分析】（1）根据图1中的数据可以求得方案一中每个包装盒的价格；（2）根据图2可以得到方案二中租赁机器的费用和生产一个包装盒的费用；（3）根据函数图象中的数据可以分别求得y、y与x的函数关系式；（4）根据（3）中的函数关系式可以解答本题．【详解】解：解：（1）由题意可得，方案一中每个包装盒的价格是：500÷100＝5（元），即方案一中每个包装盒的价格是5元；（2）根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为20000元，盒子的单价为：（30000−20000）÷4000＝2.5答：租赁机器的费用为20000元，生产一个包装盒的费用是2.5元；（3）设图象一的函数解析式为：y＝kx，由图象知函数经过点（100，500），∴500＝100 k，解得 k＝5，∴函数的解析式为 y＝5x；设图象二的函数关系式为y＝kx＋b由图象知道函数的图象经过点（0，20000）和（4000，30000）∴，解得： ，∴函数的解析式为y＝2.5x＋20000；（4）当x＝8000时，两种方案同样省钱，当x＜8000时，选择方案一，当x＞8000时，选择方案二，理由：令5x＝2.5x＋20000，解得x＝8000，∴当x＝8000时，两种方案同样省钱；当x＜8000时，选择方案一；当x＞8000时，选择方案二．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和一次函数的性质解答．3．(1)6-x，30（6-x），550（6-x）(2)5(3)y=250x+3300，最少运费为3800元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以将表格补充完整；（2）根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围；（3）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式，并求出最少运费．【详解】（1）解：（1）由题意可得，故答案为：6−x，30（6−x），550（6−x）；（2）（2）由题意可知：，解得：，∴x的最大值是5；（3）（3）由题意可得，，∵k=250＞0，∴y随x的增大而增大，∵，解得：，又∵x为整数，∴当x＝2时，y取得最小值，此时y＝3800，答：y与x之间的函数关系式是y＝250x＋3300，最少运费为3800元．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式，利用一次函数的性质求最值．4．(1)（）(2)购买A笔记本5本，B笔记本25本时，费用最少为260元【分析】（1）根据A种笔记本与B种笔记本的数量关系，即可表示出B种笔记本的数量，然后乘各自对应的单价求和即可写出w与n的函数关系式，然后根据A种笔记本与B种笔记本的数量关系列出不等式求解即可；（2）根据n的取值范围和一次函数的增减性，即可求出．【详解】（1）由题意可知：，∴，又∵A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的．∴，解得，答：w（元）关于n（本）的函数关系式为（）．（2），∵，∴w随n的增大而增大，∴当时，w取到最小值为260元．购买B笔记本的数量为：（本）．答：购买A笔记本5本，B笔记本25本时，费用最少为260元．【点睛】此题考查的是一次函数的应用，掌握题中的各个量之间的关系列出函数关系式、并利用一次函数的增减性求函数的最值是解决此题的关键．5．（1）y=100x+3150；（2）有3种可行的租车方案，甲种客车租用5辆，乙种客车租用2辆能使预支的租车费用剩余最多，最多可剩余350元．【分析】（1）根据租车总费用=租甲种车的费用+租乙种车的费用就可以表示出y（元）与x（辆）之间的函数关系式；（2）根据师生人数为380人及租车费用不超过4000元建立不等式组求出其解即可．【详解】解：（1）由题意，得y=550x+450（7-x），y=100x+3150．答：y（元）与x（辆）之间的函数关系式为y=100x+3150．（2）由题意，得，解得：≤x≤8.5．∵x≤7，且x为整数，∴x=5，6，7；∴共有三种租车方案：方案1，甲种客车租用5辆，乙种客车租用2辆；方案2，甲种客车租用6辆，乙种客车租用1辆；方案3，甲种客车租用7辆，乙种客车租用0辆；∵y=100x+3150，∴k=100＞0，∴x=5时，y最少=3650．∴最多可剩余4000-3650=350元．答：有3种可行的租车方案，甲种客车租用5辆，乙种客车租用2辆能使预支的租车费用剩余最多，最多可剩余350元．【点睛】本题考查了租车总费用=租甲种车的费用+租乙种车的费用的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，设计方案的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．6．（1）4n+240；（2），n为整数；（3）买A种笔记本8本、B种笔记本22本时，花费最少，为272元【分析】（1）根据题意将两种笔记本的总费用相加可以求得W关于n的函数关系式；（2）由购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的，可以确定n的取值范围；（3）根据（1）（2）中的函数关系式可以求得W的最小值及此时购买的A和B种两种笔记本的数量．【详解】解：（1）依题意得：W=12n+8（30-n），即W=4n+240；（2）依题意得：，解得：，n为整数；（3）对于一次函数W=4n+240，∵W随n的增大而增大，且，n为整数，故当n为8时，W的值最小，此时，30-n=30-8=22，W=4×8+240=272（元），因此，当买A种笔记本8本、B种笔记本22本时，所花费用最少，为272元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用．此题利用了（总花费=A种笔记本的单位价×A的数量+B种笔记本的单位价×B的数量），还用到了解不等式组以及一次函数的有关性质（当k＞0时，y随x的增大而增大）．7．（1）7；（2）；（3）当王老师购买奖品的金额800＜x＜900元，去甲商店进行采购更合算；当x=900元两家均可进行采购；当x＞900元，去乙商店进行采购更合算．【分析】（1）由600-500=100元，可得500+100×=570，求得；（2）王老师到甲商店购买奖品金额x元，当x不超过300元收费就是x元 ,当x超过300元时低于300元部分，不打折，超出部分x-300打八折，即可得出函数关系；（3）王老师购买奖品的金额超过800元，设两商店消费一样时，购买奖品的金额为x元，300+0.8（x-300）=500+0.7(x-500)，解得x=900元，购买奖品的金额800＜x＜900元， x=900， x＞900元分类讨论即可．【详解】解：（1）∵600-500=100元，∴500+100×=570，∴；（2）y=，整理；（3）王老师购买奖品的金额超过800元，设两商店消费一样时，购买奖品的金额为x元，300+0.8（x-300）=500+0.7(x-500)，解得x=900元，当王老师购买奖品的金额800＜x＜900元，去甲商店进行采购更合算；当王老师购买奖品的金额x=900元两家均可进行采购；当王老师购买奖品的金额x＞900元，去乙商店进行采购更合算．【点睛】本题考查购买奖品方案设计问题，掌握优惠方案的计算方法，利用两家商店消费一样构造方程，然后分类讨论优惠情况是解题关键．8．（1）y=12x+810；（2）至少有41名学生【分析】（1）根据总费用=老师费用+学生费用列出关系式即可；（2）根据总费用不超过858元列出不等式，求解即可解答．【详解】（1）根据题意得：y=30x+30×0.6×（45﹣x）=12x+810，故总费用y=12x+810；（2）由题意得：12x+810≤858，解得：x≤4，则45﹣x≥41，故至少有41名学生．【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．9．（1）y=-2x+20；（2）方案有3种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；（3）选方案43，最少总运费为12640元【分析】（1）装运生活用品的车辆数为（20-x-y），根据三种救灾物资共100吨列出关系式；（2）根据题意求出x的取值范围并取整数值从而确定方案；（3）分别表示装运三种物质的费用，求出表示总运费的表达式，运用函数性质解答．【详解】解：（1）根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，那么装运生活用品的车辆数为（20-x-y），则有6x+5y+4（20-x-y）=100，整理得，y=-2x+20；（2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，20-2x，x，由题意，得，解这个不等式组，得5≤x≤7，因为x为整数，所以x的值为5，6，7．所以安排方案有3种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；（3）设总运费为W（元），则W=6x×120+5（20-2x）×160+4x×100=16000-480x，因为k=-480＜0，所以W的值随x的增大而减小．要使总运费最少，需x最大，则x=7．故选方案3．W最小=16000-480×7=12640元．∴最少总运费为12640元．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．10．（1）y1=800x，y2=200x+3000；（2）见解析；（3）当使用月份大于5个月时，选方案2省钱；当使用月份等于5个月时，方案1和方案2一样省钱；当使用月份小于5个月时，方案1省钱【分析】（1）根据总费用=购买垃圾桶费用+每月的垃圾处理费用×月份，即可求出y1，y2与x的函数关系式；（2）根据一次函数的性质，运用两点法画出两函数的图象；（3）求出交点坐标，根据图象即可得知，哪种方案省钱．【详解】（1）由题意，得：y1，y2与x的函数关系式分别为：y1=800x，y2=200x+3000（2）函数y1=800x图象过（0,0）和（5,4）两点，函数y2=200x+3000图象过（0,3）和（5,4）两点，函数图象如图所示：（3）由图象可知，两函数的交点坐标（5，4），所以当使用月份大于5个月时，y1﹥y2，选方案2省钱；当使用月份等于5个月时，y1=y2，方案1和方案2一样省钱；当使用月份小于5个月时，y1﹤y2，方案1省钱．【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及求函数关系式、画函数图象、分配方案等知识，解答的关键是认真审题，找出等量关系求得函数关系式，会用两点法画一次函数的图象，熟练掌握利用图象得出最省钱方案．11．（1）（2）3000元【分析】（1）根据题意可列出关于x、y的函数关系式，再由A、B的关系求出自变量的取值范围即可；（2）根据（1）的条件进行判断即可；【详解】解：（1）由题意可得，y=360x+400（80-x）=-40x+32000，∵A种器械不少于40件，B种医疗器械的数量不少于A种器械的，∴，解得，40≤x≤50，即人民医院在这次采购中所需资金y（元）与采购A种医疗器械x（件）的函数解析式是y=-40x+32000（40≤x≤50）；（2）∵y=-40x+32000（40≤x≤50），∴当x=50时，y取得最小值，此时y=30000，∴人民医院拿出27000元经费用于采购这80件医疗器械，经费不够用，∵30000-27000=3000（元），∴至少还需要经费3000元．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．12．（1）；（2）①50；②18.【分析】（1）根据题意，通过等量关系进行列式即可得解；（2）①根据购进的类桶不少于类桶的倍的不等关系进行列式求解即可得解；②根据题意设类桶的数量为a，根据A类桶单价与C类桶单价的比值关系确定不等式，进而求解，由总费用不变即可得到B类桶的数量.【详解】（1）由题意，得，整理得∴关于的函数表达式为；（2）①购进的类桶不少于类桶的倍，解得∴至少购买类桶个；②当时，∵类桶单价元，类桶单价元∴类桶单价:类桶单价=2:3设调换后C有a本由题意得：解得，可知a时2的倍数∵，a为正整数∴∴类桶最多可买18个.【点睛】本题主要考查了一次函数表达式的确定以及一元一次不等式的实际应用，结合实际情况求解不等式是解决本题的关键.13．（1）w＝20x＋1020；（2）费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵，所需费用为1200元．【分析】（1）根据题意可得等量关系：费用W＝A种树苗a棵的费用＋B种树苗（17−a）棵的费用可得函数关系式；（2）根据一次函数的性质与不等式的性质得到当x=9时，w有最小值．【详解】解：(1)w= 80x＋60(17－x) ＝20x＋1020     (2) ∵k=20>0，w随着x的增大而增大又∵17－x＜x，解得x＞8.5，∴8.5