浙教版数学 八上 第五章《一次函数》 专题31一次函数中的最值（含解析）

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专题31 一次函数中的最值1．如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，是的中点，是上一动点，则的最小值是(     )A． B． C． D．2．在平面直角坐标系中，A点坐标为（4，2），在x轴上有一动点M，直线y＝x上有一动点N，则△AMN的周长的最小值（　　）A． B．2 C．10 D．403．如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，E是的中点、P是上一动点，则的最小值是（    ）A． B． C． D．4．如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（　　）A．1 B．2 C．4 D．65．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4，5），D是OB的中点，E是线段OC上的一动点，DE+AE的最小值是（　　　）A． B．10 C． D．6．如图，平面直角坐标系中，，点为线段上任意一点，在直线上取点，使，为射线上一点，使，连，分别取、中点、，则线段的最小值是（    ）A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.47．在平面直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（m，m﹣2），则AB+OB的最小值是 ．8．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为和，点P的坐标为，则的最小值为 ．9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，-2)，点B的坐标为(3，2)，点A与点C(-3，2)之间的距离为 ，点D在y轴上运动，当AD+BD的值最小时，点D的坐标为 ，此时AD+BD的最小值为 ．10．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B（m，4-m）与点C分别是直线l及x轴上的动点，则△ABC周长的最小值为 11．如图一次函数的图像与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求的最小值 ．12．如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则的最小值是 ．13．如图，在直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，C为的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为 ．14．如图所示，已知点C(1，0)，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的动点，(1)求点C关于y轴对称点M坐标，点C关于直线AB对称点N坐标．(2)求△CDE的周长的最小值．15．【阅读】已知平面直角坐标系中有两点，，根据勾股定理，可知两点间的距离．特别地，如果点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，那么这两点间的距离公式可简化为或．例如：已知点，，则这两点间的距离．根据以上材料，解决下列问题：(1)已知，，则A，B两点间的距离为________．(2)已知点M，N在同一条平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为-2，点N的纵坐标为3，则M，N两点间的距离为________．(3)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试探究在x轴上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，请求出此时点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．16．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且．(1)求点D的坐标及直线的解析式；(2)求的面积：(3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由．17．如图1所示，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线：与x轴、y轴分别交于C、D两点，两直线交于点E．(1)求点E的坐标；(2)如图2，在x轴上有一动点P，连接PE、PD，求的最大值；(3)如图1，将绕平面内某点旋转90°，O的对应点落在直线上，D的对应点落在直线上，请直接写出旋转后C的对应点的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，交直线于点C，点D与点B关于x轴对称，连接交直线于点E．(1)求直线的解析式；(2)在x轴上存在一点P，使得的和最小，并求出其最小值；(3)当时，点Q为y轴上的一个动点，使得为等腰直角三角形，求点Q的坐标．参考答案：1．C【分析】作点关于的对称点，连接，与的交点，即符和条件的点，再求出，的坐标，根据勾股定理求出的值，即为的最小值．【详解】作点关于的对称点，连接交于，此时，的值最小，最小值为的长，∵线段所在直线的解析式为，∴，，∴，，是的中点，∴，∵是点关于的对称点，∴，，，∴四边形是正方形，∴，∴的最小值是．故选：C．【点睛】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称最短路径的确定方法是解题的关键．2．B【分析】作点A关于x轴的对称点A'（4，−2），作点A关于直线y＝x的对称点A"（2，4），连接A'A''交直线y＝x于点N，交x轴于点M，△AMN的周长的最小值为A'A''的长度．【详解】解：作点A关于x轴的对称点A'（4，−2），作点A关于直线y＝x的对称点A"（2，4），连接A'A''交直线y＝x于点N，交x轴于点M，如图，由轴对称可得AN＝A''N，AM＝A'M，∴△AMN的周长的最小值为A'A''＝=2，故选：B．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握轴对称求最小值的方法．3．C【分析】作点B关于的对称点，连接，与的交点，即符和条件的点，再求出，的坐标，根据勾股定理求出的值，即为的最小值．【详解】解：作点B关于的对称点，连接交于，此时，的值最小，最小值为的长，∵线段所在直线的解析式为，∴当x=0时，y=4；当y=0时，x=4；∴，，∴，，是的中点，∴，∵是点B关于的对称点，∴，，，∴四边形是正方形，∴，∴的最小值是．故选：C．【点睛】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称最短路径的确定方法是解题的关键．4．B【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y= 2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y= 2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．【详解】∵点P (m， 2)是△ABC内部(包括边上)的点．∴点P在直线y= 2上，如图所示，，当P为直线y= 2与直线y2的交点时，m取最大值，当P为直线y= 2与直线y1的交点时，m取最小值，∵y2 =-x+ 3中令y=2，则x= 1，∵y1 =x+ 3中令y=2，则x= -1，∴m的最大值为1， m的最小值为- 1．则m的最大值与最小值之差为：1- (-1)= 2．故选：B．【点睛】本题考查一次函数的性质， 要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为2，故作出直线y= 2有助于判断P的位置．5．A【分析】作A关于y轴的对称点，连接交y轴于E，则此时，DE+AE的最小值即为的长，根据A的坐标为（-4，5），得到（4，5），B（-4，0），D（-2，0），进而求出直线的解析式，进而求出点E的坐标，最后利用勾股定理即可得到结论．【详解】解：作A关于y轴的对称点，连接交y轴于E，∴，∴DE+AE的最小值即为的长．∵四边形ABOC是矩形，∴，，∵A的坐标为（-4，5），∴（4，5），B（-4，0），．∵D是OB的中点，∴D（-2，0），设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的的解析式为，当时，，∴，∴， ∴．故选：A．【点睛】本题主要考查轴对称--最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．6．B【分析】如图，连接，，设交于，连接．证明四边形是矩形，推出，求出的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，连接，，设交于，连接．，，，，，，，，，，四边形是矩形，，当时，的值最小此时的值最小，根据题意，J在上，设，则∵∴，在中，即解得或（舍去）∴的纵坐标为即当时的最小值为，即的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．7．【分析】先根据点B的坐标确定点B在直线上，作点O关于直线的对称点C，求出点C的坐标，根据轴对称的性质推出AB+OB=AB+BC，则当ABC三点共线时，AB+BC最小，即AB+OB最小，最小为AC，利用勾股定理求出AC即可．【详解】解：∵点B的坐标为（m，m-2），∴点B在直线上，作点O关于直线的对称点C，设点C的坐标为（s，t），直线与x轴交于F，与y轴交于点D，则D（0，-2）,F（0，2），∴OD=CF=2，∴∠ODE=45°，由轴对称的性质可知OD=DC=2，∠CDE=∠ODE=45°，∴∠CDO=90°，∴点C的坐标为（2，-2），∵O、C关于直线对称，∴OB=BC，∴AB+OB=AB+BC，∴当ABC三点共线时，AB+BC最小，即AB+OB最小，最小为AC，∵点A（0，2），点C（2，-2），∴，∴AB+OB的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，勾股定理，确定点B在直线上是解题的关键．8．【分析】由题意可知点P在函数的图象上．作点关于的对称点，连接交直线于点P，由轴对称的性质可知此时最小，且最小值为的长．再根据得出，最后根据勾股定理求解即可．【详解】∵点P的坐标为，∴点P在函数的图象上．如图，作点关于的对称点，连接交直线于点P，则此时最小，且最小值为的长．∵点与点关于直线的对称，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数的应用，轴对称的性质，勾股定理．正确的作出辅助线并掌握轴对称的性质是解题关键．9． (0，-1) 【分析】根据两点的距离公式即可求出AC的长；根据轴对称的性质结合两点之间线段最短，即可得出D点的位置，且最小值为AC的长，由一次函数的图象和性质可求出D点坐标．【详解】解：；由点B(3，2)，点C(-3，2)可知B、C两点关于y轴对称，如图，连接AC，与y轴的交点即为点D，即此时AD+BD的值最小．设直线AC的解析式为，∴，解得：，∴直线AC的解析式为，当时，，∴D(0，-1)；由轴对称的性质可知AD+BD=AD+CD=AC，∴AD+BD的最小值为．故答案为：，(0，-1)，．【点睛】本题考查两点的距离公式，轴对称的性质，两点之间线段最短以及一次函数的应用．利用数形结合的思想是解题关键．10．【分析】作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点．则，，所以周长的最小值为的长．根据，可知点在直线上运动，据此解答即可．【详解】解：作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点．则，，周长的最小值为的长．，点在直线上运动，∴直线与x、y轴的交点坐标分别为，∴，连接，则根据轴对称图形的性质可知，，的坐标为，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查点、直线关于直线对称知识的应用，三角形的周长的最小值，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．11．【分析】作C与C'关于直径y轴对称，连接C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D的长度，再求出最小值即可．【详解】解：如图，由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连接C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D的长度，∵一次函数y=-2x+4的图像与x，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，4），∴C（1，0），D（1，2），∵C与C'关于直径y轴对称，∴C'（-1，0），∴，∴PC+PD的最小值为，故答案为．【点睛】此题是一次函数函数综合题，主要考查了轴对称性，一次函数的性质，勾股定理，解本题的关键是找到使距离之和最小时的点P位置．12．【分析】设，过点作轴，证明，求得的坐标，求得点的轨迹，作如图，作关于的对称点，连接交轴于点，则，求得的坐标，继而根据即可求解．【详解】解：如图，设，过点作轴，，，，，，，，，，，点在上，如图，作关于的对称点，连接交轴于点，则，令，得，则，的最小值．故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，二次函数的性质，求得点的坐标是解题的关键．13．##【分析】先根据直线先确定和的长，再证明四边形是矩形，得出，再证明四边形是平行四边形，则，在中，是定值，所以只要的值最小就可以，当、、在同一直线上时，的值最小，利用平行四边形的性质求出即可．【详解】解：如图，连接，直线分别交轴，轴于，两点，，，是的中点，，，四边形是矩形，  ，，四边形是平行四边形，，，要使的值最小，只需、、三点共线即可，点是点关于点的对称点，  ，又点，根据勾股定理可得，此时，，即的最小值为；故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数点的坐标的求法、矩形的判定及性质、三角形面积的求法和三点共线及最值，勾股定理，解题的关键是作辅助线进行求解，综合性强．14．(1)M(-1，0)，N(7，6)(2)10【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征即可知M(-1，0)．根据直线AB的解析式可求出B(7，0)，即可求出OB=7．由C(1，0)，可求出OC=1，从而可求出BC=6．连接CN，BN，由轴对称的性质可知BC=BN=6，，从而得出，即得出N点坐标；（2）连接ME，DN，MN．由轴对称的性质可知ME=CE，DC=DN．从而可知，且当M，E，D，N四点共线时取等号，即的最小值即为MN的长．根据题意利用勾股定理求出MN的长即可．【详解】（1）点C关于y轴对称点M坐标为(-1，0)．∵直线与两坐标轴分别交于A，B两点，∴．令，则，解得：，∴B(7，0)，∴OB=7．∵C(1，0)，∴OC=1，∴BC=OB-OC=6．如图，连接CN，BN，∵点C与点N关于直线AB对称， ∴BC=BN=6，，∴，∴，，即N(7，6)；（2）如图，连接ME，DN，MN．由轴对称的性质可知ME=CE，DC=DN，∴．∵，且当M，E，D，N四点共线时取等号，∴的最小值即为MN的长．∵(-1，0)，∴OM=1，∴BM=OM+OB=8，∴．∴的最小值为10．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．15．(1)(2)5(3)存在；P（2，0）；【分析】（1）根据两点间的距离公式进行计算即可；（2）根据平行于y轴的两点间的距离公式进行计算即可；（3）先做出点B关于x轴的对称点 ，连接与x轴的交点即为P点，即为的最小值．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：，故答案为：5；（3）解：存在．如图所示：作B关于x轴的对称点 ，连接与x轴的交点即为P点，即为的最小值．设直线的解析式为： 则： 解得： ∴直线的解析式为：当 时， ∴P的坐标为：（2，0） 【点睛】本题考查两点间的距离公式，以及求线段和的最小值．在坐标系下求线段和的最小值，属于将军饮马问题，需要作已知点的对称点，然后将对称点与另一个已知点连接所成的线段即为最短．16．(1)，；(2)；(3)点P的坐标为时，的最大值为【分析】（1）作轴于点，可证得：，故可得：，，由，可得出，，，，即可得出：D，即可得出直线的解析式；（2）由三角形的面积公式即可得出结论；（3）延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度，由可得出：点P ．由勾股定理可得，，即可得出答案．【详解】（1）作轴于点，由题意，，，∵，∴，∴，，由，令，得，∴，，令，得，得，∴，，∴，，，∴点D的坐标为，设直线的解析表达式为，代入和，得，解得，∴直线的解析表达式为；∴点D的坐标为，直线的解析表达式为；（2）由题意得，，，∴；（3）存在，理由如下：延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度．令，代入，解得，∴点P的坐标为．在中，由勾股定理得，．综上，点P的坐标为时，的最大值为．【点睛】本题考查了一次函数与几何问题，待定系数法求函数解析式，两点之间线段最短，构造三角形全等求线段长度，三角形面积，掌握以上知识是解题的关键．17．(1)(2)(3)或【分析】（1）通过联立直线解析式求解即可得出答案；（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，则PD=PD′，|PE-PD|=|PE-PD′|=D′E最大，再运用勾股定理即可求得答案；（3）分两种情况：①将△OCD绕平面内某点逆时针旋转90°，设O′（m，-m+3），由O′D′=OD=4，建立方程求解即可；②将△OCD绕平面内某点顺时针旋转90°，同理即可求得答案．【详解】（1）由题意得：，解得：，∴点E的坐标（2，2）；（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，则PD=PD′，∴|PE-PD|=|PE-PD′|=D′E最大，∵直线l2：y=3x-4与y轴分别交于D点，∴D（0，-4），∴D′（0，4），过点E作EG⊥y轴于点G，则EG=2，D′G=2，∴∴|PE-PD|的最大值为；（3）∵直线l2：y=3x-4与x轴、y轴分别交于C、D两点，∴C（，0），D（0，-4），∴OC=，OD=4，OD⊥x轴，OC⊥y轴，∴O′D⊥y轴，O′C⊥x轴，①将△OCD绕平面内某点逆时针旋转90°，如图2，∵O的对应点O'落在直线l1上，D的对应点D′落在直线l2上，设O′（m，m+3），则点D′的纵坐标为m+3，∴m+3=3x-4，解得，∵O′D′=OD=4，解得，②将△OCD绕平面内某点顺时针旋转90°，如图3，∵O的对应点O'落在直线l1上，D的对应点D′落在直线l2上，设O′（m，m+3），则点D′的纵坐标为m+3，∴m+3＝3x﹣4，∴x，∴D′（，m+3），∵O′D′＝OD＝4，∴m﹣（）＝4，解得：m，∴O′（，），∵OC′＝OC，∴C′（，）；综上所述，旋转后C的对应点C′的坐标为（，）或（，）．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数综合运用，涉及到点的对称性、勾股定理、旋转变换的性质、分类讨论思想的运用等，综合性较强，有一定难度．18．(1)；(2)(3)点的坐标为或或．【分析】（1）分别计算、的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式；（3）根据轴对称的最短路径先确认的位置：连接交轴于，此时，最小，即是的长，利用勾股定理可计算的长，最后将其配方后，根据二次函数的最值可得结论；（4）存在三种情况：分别以、、三个顶点为直角顶点，画图可得的坐标．【详解】（1）直线交轴于点，交轴于点，令，得，∴，令，，，，点与点关于轴对称，，设直线的解析式为，将，代入得，，，直线的解析式为；（2）如图2，点与点关于轴对称，当时，的值最小，即，，，，，，；则的和最小为；（3）设交x轴于点F，∵直线的解析式为，点E横坐标为a，∴，∴，∴∵，∴，，设，，为等腰直角三角形时，存在以下三种情况：①当为直角顶点时，如图3，，则，，，；②当为直角顶点时，如图3，同理得；③当为直角顶点时，如图4，此时与重合，综上，点的坐标为或或．【点睛】本题是一道一次函数的综合试题，考查了轴对称的最短路径问题，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标的求法的运用，解题的关键是正确画图，学会利用数形结合和分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．