苏科版九年级上册第2章对称图形——圆2.5 直线与圆的位置关系第4课时学案及答案

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2.5 第4课时切线长定理

知识点切线长定理的应用

1．如图2－5－32，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若∠P＝60°，PA＝2，则弦AB的长为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

图2－5－32

图2－5－33

.如图2－5－33，CD是⊙O的切线，切点为E，AC，BD分别与⊙O相切于点A，B.如果CD＝7，AC＝4，那么BD等于( )

A．5 B．4 C．3 D．2

3．[教材习题2.5第13题变式] 如图2－5－34，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切．若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于( )

A．5 B．8 C．10 D．12

4．已知线段PA，PB分别切⊙O于点A，B，eq \(AB,\s\up8(︵))的度数为120°，⊙O的半径为4，则线段AB的长为( )

A．8 B．4 eq \r(3) C．6 eq \r(3) D．8 eq \r(3)

图2－5－34

图2－5－35

.如图2－5－35，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的度数为________．

6．如图2－5－36，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠AOP＝50°，则∠PAB＝________°，∠OPB＝________°.

图2－5－36

图2－5－37

7．如图2－5－37，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，若⊙O的半径为5，OP＝13，则△PDE的周长为________．

图2－5－38

8．如图2－5－38，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD的度数为________．

9．如图2－5－39，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B为切点．如果⊙O的半径为5，∠OPA＝30°，求两条切线的夹角∠APB的度数及切线PA的长．

图2－5－39

图2－5－40

10．[2016·梁溪区一模] 如图2－5－40，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于点E，F，G，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )

A.eq \f(13,3) B.eq \f(9,2) C.eq \f(4 \r(13),39) D．2 eq \r(5)

11．如图2－5－41，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB＝70°.求∠P的度数．

图2－5－41

12．如图2－5－42，△ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F，且AB＝5 cm，BC＝9 cm，AC＝6 cm，求AE，BF和CD的长．

图2－5－42

13．如图2－5－43，PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，直线CD切⊙O于点E.

(1)试探究△PCD的周长与线段PA的数量关系；

(2)若∠P＝α，求∠COD的度数．

图2－5－43

14．如图2－5－44，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD分别交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R.

图2－5－44

15．如图2－5－45，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N.

(1)求证：OM＝AN；

(2)若⊙O的半径R＝3，PB＝9，求OM的长．

图2－5－45

详解详析

1．B

2． C

3．C

4． B

5．20° [解析] ∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴PA＝PB，∴∠BAP＝∠ABP＝eq \f(1,2)×(180°－40°)＝70°.由PA是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的直径，得∠PAC＝90°，∴∠BAC＝90°－70°＝20°.

6．50 40

7．24 [解析] ∵PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，∴AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，OA⊥PA.

在Rt△OAP中，根据勾股定理，得AP＝12，∴△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝24.

8．60° [解析] 连接OC.∵PA＝6，⊙O的半径为2，

∴OP＝PA－OA＝4.

∵PC，PD分别切⊙O于点C，D，

∴∠OPC＝∠OPD，OC⊥PC.

∵OP＝2OC，∴∠OPC＝30°，

∴∠CPD＝60°.

9．解：连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB.

∵OA＝OB，OP＝OP，

∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴∠OPA＝∠OPB，

∴∠APB＝2∠OPA＝60°.

在Rt△AOP中，

可求得OP＝2OA＝10，

∴PA＝eq \r(OP2－OA2)＝5 eq \r(3).

10． A [解析] 如图，连接OE，OF，ON，OG.

在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4.

∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于点E，F，G，

∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°.

又∵OE＝OF＝OG，

∴四边形AFOE，四边形FBGO是正方形，

∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，

∴DE＝3.

∵DM是⊙O的切线，

∴DN＝DE＝3，MN＝MG，

∴CM＝5－2－MG＝3－MN.

在Rt△DMC中，DM2＝CD2＋CM2，

∴(3＋MN)2＝42＋(3－MN)2，

∴MN＝eq \f(4,3)，∴DM＝3＋eq \f(4,3)＝eq \f(13,3).

故选A.

11．解：连接AB.

∵AC是⊙O的直径，

∴∠CBA＝90°，

∴∠BAC＝90°－∠ACB＝20°.

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴PA＝PB，∠CAP＝90°，

∴∠PAB＝90°－20°＝70°.

∵PA＝PB，∴∠PBA＝∠PAB＝70°，

∴∠P＝180°－∠PAB－∠PBA＝40°.

12．解：∵⊙O与△ABC的三边都相切，

∴AE＝AD，BE＝BF，CD＝CF.

设AE＝x cm，BF＝y cm，CD＝z cm，

则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,y＋z＝9，,z＋x＝6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝4，,z＝5.))

即AE＝1 cm，BF＝4 cm，CD＝5 cm.

13．解：(1)△PCD的周长＝2PA.理由如下：

∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，

∴PA＝PB，AC＝CE，BD＝DE，

∴△PCD的周长＝PD＋DE＋PC＋CE＝PB＋PA＝2PA，即△PCD的周长＝2PA.

(2)如图，连接OA，OE，OB.

由切线的性质，得OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，BD＝DE，AC＝CE.

∵OA＝OE＝OB，

易证△AOC≌△EOC，△EOD≌△BOD，

∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，

∴∠COD＝∠EOC＋∠EOD＝eq \f(1,2)(∠AOE＋∠BOE)＝eq \f(1,2)∠AOB.

∵∠P＝α，OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠AOB＝180°－α，

∴∠COD＝90°－eq \f(1,2)α.

14解：(1)证明：如图，过点O作OE⊥CD于点E.

∵AM切⊙O于点A，

∴OA⊥AD.

又∵DO平分∠ADC，

∴OE＝OA.

∵OA为⊙O的半径，

∴OE是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线．

(2)过点D作DF⊥BC于点F.

∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，

∴AB⊥AD，AB⊥BC，

∴四边形ABFD是矩形，

∴AD＝BF，AB＝DF.

又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5.

∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，

∴AD＝DE，BC＝CE，

∴CD＝DE＋CE＝AD＋BC＝4＋9＝13.

在Rt△DFC中，CD2＝DF2＋FC2，

∴DF＝eq \r(CD2－FC2)＝12，

∴AB＝12，

∴⊙O的半径R为6.

15．解：(1)证明：如图，连接OA，则OA⊥PA.

∵MN⊥PA，

∴MN∥OA.

∵OM∥PA，

∴四边形ANMO是平行四边形．

又∵MN⊥AP，

∴▱ANMO是矩形，

∴OM＝AN.

(2)如图，连接OB，则OB⊥PB，

∴∠OBM＝∠MNP＝90°.

∵四边形ANMO是矩形，

∴OA＝MN.

又∵OA＝OB，

∴OB＝MN.

∵OM∥AP，∴∠OMB＝∠MPN，

∴△OBM≌△MNP，∴OM＝MP.

设OM＝x，则MP＝x，AN＝x.

∵PA＝PB＝9，∴NP＝9－x.

在Rt△MNP中，有x2＝32＋(9－x)2，

解得x＝5，即OM＝5.

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