初中数学苏科版九年级上册2.5 直线与圆的位置关系综合训练题

这是一份初中数学苏科版九年级上册2.5 直线与圆的位置关系综合训练题，文件包含第05讲直线与圆的位置关系及切线的判定与性质知识解读原卷版docx、第05讲直线与圆的位置关系及切线的判定与性质知识解读解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。

了解圆的切线的概念；
掌握直线与圆位置关系的性质。
知识点1 直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
知识点2 切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
知识点3 切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴；平分
知识点4 三角形的内切圆和内心
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
B
O
A D

C
【题型1 直线与圆的位置关系的判定】
【典例1】（2023•滨江区二模）已知⊙O的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
∵点O到直线l的距离为2，
∴d＝r
∴l与⊙O的位置关系相切．
故选：B．
【变式1-1】（2023•淮阴区一模）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】A
【解答】解：∵直线l与⊙O有2个公共点，
∴直线l与⊙O相交，
∵⊙O的半径为5，
∴点O到直线l的距离＜5，
故选：A．
【变式1-2】（2023春•市南区校级月考）如果一个圆的直径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．不能确定
【答案】A
【解答】解：∵圆的直径为8cm，
∴圆的半径为4cm，
∵圆心到直线的距离8cm，
∴圆的半径＜圆心到直线的距离，
∴直线与圆相离，
故选：A．
【变式1-3】（2022秋•青山湖区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离
【答案】A
【解答】解：点（﹣3，4）到x轴为4，大于半径3，
点（﹣3，4）到y轴的距离为3，等于半径3，
故该圆与x轴相离，与y轴相切，
故选：A．
【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】
【典例2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【解答】解：如图：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD＝＝2，
故选：D．
【变式2-1】（2023•重庆）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是（ ）
A．3B．C．D．6
【答案】C
【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AC，
∴∠ABO＝∠CBO＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝2，
∴OB＝AB＝2，
∵BC＝3，
∴OC＝＝＝，
故选：C．
【变式2-2】（2023•九龙坡区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（ ）
​
A．2B．2C．3D．3
【答案】B
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝60°，
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OA＝2，
∴AB＝4，
∴BD＝AB•sin60°＝4×＝2，
故选：B．
【变式2-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，，则线段AB的长是（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】D
【解答】解：连接OD，
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC，
∵OD＝OB，
∴OBD＝ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴BC⊥AC，
∴∠ADO＝∠C＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AO＝2OD，
设OD＝OB＝x，则AO＝2x，AB＝3x，
∴AD＝x，AC＝x，
∴CD＝AC﹣AD＝x﹣x＝，
∴x＝2，
∴AB＝3x＝6．
故选：D．
【典例3】（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的度数为（ ）
A．42°B．45°C．46°D．48°
【答案】D
【解答】解：连接OB，
∵CB与⊙O相切于B，
∴半径OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∵∠CBD＝21°，
∴∠OBD＝∠OBC﹣∠CBD＝69°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝69°，
∵∠ODB＝∠C+∠CBD，
∴∠C＝∠ODB﹣∠CBD＝69°﹣21°＝48°．
故选：D．
【变式3-1】（2023•平房区三模）如图，PE、PG为⊙O的两条切线，E、G为切点，点F为⊙O上一点．连接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，则∠P的度数为（ ）
​
A．52°B．56°C．66°D．76°
【答案】D
【解答】解：∵PE、PG为⊙O的两条切线，
∴OE⊥PE，OG⊥PG，
∴∠OEP＝∠OGP＝90°，
∵∠∠EFG＝52°，
∴∠O＝2∠EFG＝104°，
∵∠P+∠OEP+∠OGP+∠O＝360°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣104°＝76°．
故选：D．
【变式3-2】（2023•邵阳模拟）如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过点C的切线与AB的延长线交于点P，则∠P的度数是（ ）
A．​24°B．25°C．28°D．31°
【答案】C
【解答】解：∵PC为⊙O的切线，连接OC，
∴∠PCO＝90°，
∵OA＝OC，则∠ACO＝∠PAC＝31°，
在△ACP中，∠P＝180°﹣31°﹣31°﹣90°＝28°．
故选：C．
【变式3-3】（2023•原平市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E．若∠E＝40°，则∠ABC的度数为（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
【答案】B
【解答】解：连接OC、DC，则OC＝OD，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥OC，
∴∠OCE＝90°，
∵∠E＝40°，
∴∠COE＝90°﹣∠E＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ADC＝∠OCD＝×（180°﹣50°）＝65°，
∴ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，
故选：B．
【题型3切线的判定】
【典例4】（2023•东莞市校级模拟）如图，∠AOB＝60°，以OB为半径的⊙O交OA于点C，且OC＝CA，求证：AB是⊙O的切线．
【答案】见解析．
【解答】证明：连接BC，
∵∠AOB＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∵OC＝CA，∠OCB＝∠CAB+∠CBA＝60°，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
∴∠OBA＝∠OBC+∠CBA＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
【变式4-1】（2022秋•自贡期末）如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的直线DE⊥AD于点D，AC平分∠DAB．求证：CE是⊙O的切线．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°，
∴∠OCE＝∠ADE＝90°，
∴OC⊥DE，
∵OC为圆的半径，
则CE是⊙O的切线．
【变式4-2】（2022秋•黄埔区期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．
【答案】见解析．
【解答】证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
【变式4-3】（2022秋•宽城区校级期末）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是的中点．
求证：AC是⊙O的切线．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：连接OE，
∵E是的中点，
∴∠OBE＝∠CBE．
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE．
∴∠OEB＝∠CBE．
∴OE∥BC．
∵BC⊥AC，
∴∠C＝90°．
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴DE⊥AC．
又∵OE为半圆O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
【题型4 切线的性质与判定的综合运用】
【典例5】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OA，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA，
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形，
∴OF＝AE＝4cm，
又∵OF⊥CD，
∴DF＝CD＝3cm，
在Rt△ODF中，OD＝＝5cm，
即⊙O的半径为5cm．
【变式5-1】（2022秋•任城区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°．
∴∠EDC＝30°．
∴∠ODE＝90°．
∴DE⊥OD于点D．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AD，BF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AFB＝∠ADB＝90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴，．
∵∠EDC＝30°，
∴．
∴FE＝FC﹣EC＝1．
【变式5-2】（2023•龙游县校级一模）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OP＝OB，
∴∠B＝∠OPB，
∴∠OPB＝∠C，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连接AP，如图，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∴BP＝CP，
∵∠CAB＝120°，
∴∠BAP＝60°，
在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，
∴AP＝AB＝3，
∴BP＝AP＝3，
∴BC＝2BP＝6．
【变式5-3】（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠OBD，
∴∠1＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，且BC＝6，
∴CD＝BD＝BC＝3，
在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：，
又S△ACD＝AC•ED＝AD•CD，
即×5×ED＝×4×3，
∴．
【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】
【典例6】（2022秋•金东区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7B．8C．9D．16
【答案】A
【解答】解：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，
∴BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH．
∴BG+CH＝BI+CI＝BC＝9，
∴C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+EH+BC）＝25﹣2×9＝7．
故选：A．
【变式6-1】（2022秋•新会区校级期末）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
A．12B．6C．8D．4
【答案】B
【解答】解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，
∴PA＝PB，
∵DE是⊙O的切线，
∴DA＝DC，EB＝EC，
∵△PDE的周长为12，
即PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+AD+EB+PE＝PA+PB＝2PA＝12，
∴PA＝6．
故选：B．
【变式6-2】（2022秋•东莞市校级期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．2.5B．2C．1.5D．1
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AP、AC是⊙O的切线，
∴AP＝AC＝3，
∵AB＝4，
∴PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1，
∵BP、BD是⊙O的切线，
∴BD＝BP＝1，
故选：D．
【变式6-3】（2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】C
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
【题型6 三角形的内切圆与内心】
【典例7-1】（2023•炎陵县模拟）如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠A＝70°，则∠BOC的度数是（ ）​
A．140°B．135°C．125°D．110°
【答案】C
【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，
∴点O为三角形的内心，即点O为△ABC三个内角平分线的交点，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝．
∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°．
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°．
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
【典例7-2】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（ ）
A．3步B．5步C．6步D．8步
【答案】C
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，
∴AB＝＝17，
∴S△ABC＝AC•BC＝×8×15＝60，
设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，
设内切圆的半径为r，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×r（AB+BC+AC）＝20r，
∴20r＝60，解得r＝3，
∴内切圆的直径为6步，
故选：C．
【变式7-1】（2022秋•绵阳期末）如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解答】解：连接OM、ON、OQ，
根据切线长定理可得，AN＝AM＝3、CQ＝CM＝2，∠ONB＝∠OQB＝90°，
又∵ON＝OQ＝r，∠ABC＝90°，
∴四边形ONBQ为正方形，即QB＝BN＝r，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∵CM＝2，AM＝3，
∴AB＝3+r，BC＝2+r，AC＝2+3＝5
∴（3+r）2+（2+r）2＝52，
解得r1＝1，r2＝﹣6（舍去），
∴⊙O的半径为1，
故选：C．
【变式7-2】（2023•龙川县校级开学）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝50°，则∠A的度数是（ ）
A．50°B．100°C．90°D．80°
【答案】D
【解答】解：连接OD、OF，如图：
∵∠DEF＝50°，
∵∠DOF＝2∠DEF＝100°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、CA分别相切于点D、F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，
∴∠ADO＝∠AFO＝90°，
∴∠A+∠DOF＝180°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°．
故选：D．
【变式7-3】（2023•恩施市模拟）如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝125°，则∠C等于（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【答案】B
【解答】解：∵∠AIB＝125°，
∴∠IAB+∠IBA＝55°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝110°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝70°，
故选：B．
1．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25°B．35°C．40°D．45°
【答案】C
【解答】解：连接OB，