初中数学苏科版九年级上册2.5 直线与圆的位置关系同步达标检测题

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【题型1 直线与圆的位置关系的判定】
【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】
【题型3切线的判定】
【题型4 切线的性质与判定的综合运用】
【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】
【题型6 三角形的内切圆与内心】
【题型1 直线与圆的位置关系的判定】
1．（2022秋•江汉区校级期末）已知⊙O半径为4cm，若直线上一点P与圆心O距离为4cm，那么直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】D
【解答】解：⊙O半径为4cm，若直线上一点P与圆心O距离为4cm，那么直线与圆的位置关系是无法确定，
故选：D．
2．（2022秋•洪山区校级期末）圆的半径是6.5cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
【答案】D
【解答】解：∵圆的半径为6.5cm，圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，
∴圆的半径≥圆心到直线的距离，
∴直线于圆相切或相交，
故选：D．
3．（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，
即圆心O到直线l的距离小于圆的半径，
∴直线l和⊙O相交，
∴直线l与⊙O有2个公共点．
故选：C．
4．（2022秋•顺平县期末）如图，若圆O的半径为3，点O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
【答案】A
【解答】解：∵⊙O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，3＝3，
∴直线l与⊙O相切．
故选：A．
5．（2023春•青山区校级月考）已知⊙O的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与⊙O的位置关系（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】D
【解答】解：∵⊙O的直径为12，
∴⊙O的半径为6，
∵点O到直线l上一点的距离为，无法确定点O到直线l的距离，
∴不能确定直线l与⊙O的位置关系，
故选：D．
6．（2022秋•宜兴市期末）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，6＜7，
∴直线l与⊙O相离．
故选：C．
7．（2022秋•高邑县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相离
【答案】B
【解答】解：作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝30°，BC＝4cm，
∴CD＝BC＝2cm，
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与⊙C相切．
故答案为：B．
8．（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离是13，而10＜13，
∴点O到直线l的距离大于半径，
∴直线l与⊙O相离．
故选：A．
9．（2022秋•莱州市期末）若∠OAB＝30°，OA＝10cm，则以O为圆心，4cm为半径的圆与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】C
【解答】解：如图，作OD⊥AB，垂足为D，
∵∠OAB＝30°，OA＝10cm，
∴OD＝5cm，
∵d＝5cm＞r＝4cm，
∴直线AB与圆O相离．
故选：C．
10．（2022秋•海珠区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，2）为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系为 相切 ．
【答案】相切．
【解答】解：∵点（﹣3，2）到y轴的距离为3，且以点（﹣3，2）为圆心的圆的半径为3，
∴点（﹣3，2）到y轴的距离等于圆的半径，
∴该圆与y轴的位置关系是相切，
故答案为：相切．
11．（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 1＜d＜5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故平移的距离d的取值范围是1＜d＜5．
故答案为：1＜d＜5．
【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】
12．（2023•松原四模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO与⊙O相交于点C，若AB＝8，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【解答】解：∵AB切⊙O于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
设⊙O的半径长为r，
由勾股定理得：
r2+82＝（4+r）2，
解得r＝6
故选：C．
13．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【解答】解：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO＝40°，
故选：B．
14．（2023•浙江二模）如图，AC与⊙O相切于点A，B为⊙O上一点，BC经过圆心O，若∠B＝25°，则∠C的大小等于（ ）
A．20°B．40°C．25°D．50°
【答案】B
【解答】解：连接OA，
∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×25°＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
15．（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
​
A．2B．4C．D．
【答案】D
【解答】解：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD＝＝2，
故选：D．
16．（2023•九龙坡区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（ ）
​
A．2B．2C．3D．3
【答案】B
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝60°，
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OA＝2，
∴AB＝4，
∴BD＝AB•sin60°＝4×＝2，
故选：B．
17．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，，则线段AB的长是（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】D
【解答】解：连接OD，
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC，
∵OD＝OB，
∴OBD＝ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴BC⊥AC，
∴∠ADO＝∠C＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AO＝2OD，
设OD＝OB＝x，则AO＝2x，AB＝3x，
∴AD＝x，AC＝x，
∴CD＝AC﹣AD＝x﹣x＝，
∴x＝2，
∴AB＝3x＝6．
故选：D．
18．（2023•重庆模拟）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，AC⊥AB交⊙O于点C，连接OC、BC，若∠OCB＝60°，OC＝6，则AC等于（ ）
​
A．3B．2C．D．
【答案】A
【解答】解：∵AB为⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵AC⊥AB，
∴∠A＝90°，
∵∠OCB＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，BC＝OC＝6，
∴∠ABC＝30°，
∴AC＝BC＝3．
故选：A．
19．（2023•北碚区自主招生）如图，线段AC经过圆心O，交⊙O于点A、B，CD是⊙O的切线，点D为切点．若∠ACD＝30°，CD＝2，则线段BC的长度是（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】B
【解答】解：连接OD，
∵CD切⊙O于D，
∴半径OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵∠ACD＝30°，CD＝2，
∴tanC＝＝＝，
∴OD＝2，
∴OC＝2OD＝4，
∴BC＝OC﹣OB＝OC﹣OD＝4﹣2＝2．
故选：B．
30．（2023•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，若BC＝1，，则AC的长为（ ）
A．3B．2C．D．1
【答案】A
【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B，
∴∠ABC＝90°，
OB＝，AB是⊙O的直径，
∴AB＝，
∵BC＝1，
∴AC＝＝3．
故选：A．
21．（2023•宽城区二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AD垂直于过点C的切线，垂足为点D．若∠CAD＝37°，则∠CAB的大小为（ ）
A．37°B．53°C．63°D．74°
【答案】A
【解答】解：如图，连接OC．
由题意可知CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO＝∠CAD＝37°．
∵AO＝CO，
∴∠CAB＝∠ACO＝37°．
故选：A．
22．（2023•通榆县模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝48° 则∠AOC的度数为（ ）
​
A．42°B．48°C．84°D．106°
【答案】C
【解答】解：在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠BCD＝48°，
∴∠OCB＝42°，
∴∠AOC＝84°，
故选：C．
23．（2023•泰安三模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠E＝40°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠CDB等于（ ）
​
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】A
【解答】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵∠E＝40°，
∴∠COE＝90°﹣40°＝50°，
∴∠CDB＝∠COE＝25°．
故选：A．
24．（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的度数为（ ）
A．42°B．45°C．46°D．48°
【答案】D
【解答】解：连接OB，
∵CB与⊙O相切于B，
∴半径OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∵∠CBD＝21°，
∴∠OBD＝∠OBC﹣∠CBD＝69°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝69°，
∵∠ODB＝∠C+∠CBD，
∴∠C＝∠ODB﹣∠CBD＝69°﹣21°＝48°．
故选：D．
【题型3切线的判定】
25．（2021秋•新疆期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB为直径的⊙O与BC相交于点E．在AC上取一点D，使得DE＝AD．
求证：DE是⊙O的切线．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：如图，连接OE、OD，
在△OED和△OAD中，
，
∴△OED≌△OAD（SAS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴OE⊥DE，
∵OE是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
26．（2021秋•昭通期末）如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．
【答案】见解答．
【解答】证明：∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∵BD＝2AD＝8，
∴AD＝4，
在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80，
在Rt△ADC中，AC2＝AD2+CD2＝42+22＝20，
∵BC2＝（2+8）2＝10，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AC⊥AB，
∵AB为直径，
∴AC是⊙O的切线．
27．（2021秋•大名县期末）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．
求证：CD是⊙O的切线．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE＝∠DAE，
∴∠OEA＝∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∵OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
28．（2022秋•长乐区期中）如图，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半径为3．
求证：AB是⊙O的切线．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：如图，过O作OC⊥AB于C，
∵OA＝OB，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
在Rt△OAC中，OC＝＝＝3，
∵⊙O的半径为3，
∴OC为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
29．（2022秋•云龙区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．求证：DP是⊙O的切线．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵∠ACD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，
即PD⊥OD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线．
30．（2022秋•平潭县校级期中）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O．求证：AC是⊙O的切线．
【答案】见解析．
【解答】证明：连接OA，作OF⊥AC于F，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵OD⊥AB，
∴OF＝OD，
∴AC是⊙O的切线．
【题型4 切线的性质与判定的综合运用】
31．（2023•广西）如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）PA的长是12．
【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，且OA是⊙O的半径，
∴PA⊥OA，
∵PO平分∠APD，OB⊥PD于点B，OA⊥PA于点A，
∴OB＝OA，
∴点B在⊙O上，
∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，
∴AC＝OA+OC＝4+5＝9，
∵∠OBC＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∵∠A＝90°，
∴＝＝tan∠ACP＝，
∴PA＝AC＝×9＝12，
∴PA的长是12．
32．（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.8．
【解答】（1）证明：连接OD，连接OC交BD于M，
∵CD＝CB，
∴＝，
∴∠COD＝∠COB，
∵OD＝OB，
∴OC⊥BD，DM＝BM，
∵CF∥BD，
∴半径OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：设OM＝x，
∵OC＝AB＝5，
∴MC＝5﹣x，
∵BM2＝BC2﹣CM2＝OB2﹣OM2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
∴x＝1.4，
∵AO＝OB，DM＝BM，
∴OM是△BAD的中位线，
∴AD＝2OM＝2x＝2.8．
33．（2023•枣庄二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）15．
【解答】解：（1）连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即∠AEO+∠OEB＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵OA＝OE，
∴∠EAB＝∠AEO，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠BEF＝∠AEO，
∴∠BEF+∠OEB＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）设⊙O的半径为x，
则有OE＝OB＝x，
在Rt△OEF中，
OE2+EF2＝OF2，
∴x2+202＝（x+10）2，
解得x＝15．
∴⊙O的半径为15．
34．（2023•德庆县二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC＝BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半径．
​
【答案】（1）见解答；（2）10．
【解答】（1）证明：如图1，连接OE，连接BO，
在△OBC和△OBE中，
，
∴△BOE≌△BOC（SSS），
∴∠BEO＝∠BCO，
∵∠BCO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∵OE是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OE，
∵BE＝15，AE＝24，
∴BC＝BE＝15，AB＝BE+AE＝15+24＝39，
∴AC＝＝＝36，
设⊙O的半径为r，则OE＝OC＝r，OA＝36﹣r，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴（36﹣r）2＝r2+242，
解得：r＝10，
∴⊙O的半径为10．
35．（2023•官渡区二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝13，AC＝5，求CE的长．
【答案】（1）见解答；
（2）4．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AE，
∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接BC，交OD于H，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝13，AC＝5，
∴BC＝＝＝12，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，
∴∠OHB＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥BC，
∴CH＝BC＝6，