人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法精品巩固练习

专训14.3.2 公式法因式分解+因式分解应用

一、单选题

A． B． C． D．

2．下面的多项式中，能因式分解的是（　　）

A．m2+1 B．m2﹣m+1 C．mx+n D．m2﹣2m+1

3．下列四个多项式中，能因式分解的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　

A． B． C． D．

5．下列因式分解正确的是（　　）

A．﹣a2﹣b2＝（﹣a+b）（﹣a﹣b） B．x2+16＝（x+4）2

C．a2﹣2a+4＝（a﹣2）2 D．a3﹣4a2＝a2（a﹣4）

6．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是（    ）

A．或 B． C．-1 D．7或

7．下列各式用公式法分解因式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8．下列因式分解结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

9．下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（    ）

A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤

10．中三边a、b、c满足，则这个三角形一定为（    ）

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰钝角三角形 D．等腰直角三角形

二、填空题

11．分解因式：________．

12．分解因式：4x2y2+xy-1=___________________．

三、解答题

13．已知A＝16x2+4x，B＝4x+1，回答下列问题：

（1）求A+B，并将它因式分解；

（2）若A＝B，求满足条件的x的值．

14．分解因式：

（1）x（x﹣2）﹣3（2﹣x）；

（2）﹣3a2＋6ab﹣3b2．

15．分解因式：

（1）

（2）

（3）

16．因式分解：

（1）；

（2）．

17．因式分解：

（1）；

（2）．

18．分解因式：

（1）x2﹣4y2；

（2）2a3﹣12a2+18a．

19．因式分解：

（1）3x2﹣3；

（2）x（x﹣4y）+4y2．

20．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝（y+1）2再将“y”还原即可．

解：设x2+2x＝y．

原式＝y（y+2）+1（第一步）

＝y2+2y+1（第二步）

＝（y+1）2（第三步）

＝（x2+2x+1）2（第四步）．

问题：

（1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果 　 　；

②请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解；

（2）请你模仿以上方法尝试计算：

（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2021）．

21．阅读下列材料：

材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．

材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²

上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：

（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；

（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；

①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；

②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3

22．先阅读材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．

解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2．

上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子因式分解：

（1）（a+b）（a+b﹣2）+1；

（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．

23．阅读材料：分解因式：x2+2x﹣3

解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）

此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：

（1）x2﹣6x﹣27

（2）x2﹣（2n+1）x+n2+n

24．某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解，有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖：

解：设x2﹣4x=y．

原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）

=y2+8y+16（第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（x2﹣4x+4）2（第四步）

根据以上解答过程回答以下问题：

（1）该同学第二步到第三步的变形运用了　　（填选项）；

A．提取公因式法

B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式

D．两数差的完全平方公式

（2）第四步的结果继续因式分解得到结果为　　；

（3）请你模仿以上方法对多项式（x2+6x）（x2+6x+10）+25进行因式分解．

25．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程）

（1）；                

（2）；

（3）；

（4）已知，，求的值．

26．简便计算：

（1）；

（2）；

（3）．

27．用简便方法计算：

（1）8502﹣1700×848+8482

（2）

28．利用因式分解计算：

（1）

（2）

（3）

29．如图，在一块长为米，宽为米的长方形广场中心，留一块长为米，宽为米的活动场地，其余的地方做花坛．

（1）求花坛的面积；

（2）当，，且修建花坛每平方米需花费50元时，则修建整个花坛需要多少元？

30．（例题讲解）因式分解：x3﹣1．

∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．

∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得．

∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．

（方法归纳）

设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．

（学以致用）

（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝　 　；

（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值；

（3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．

31．（1）已知、满足，求的值；

（2）若一个三角形的三边、、满足，试说明该三角形是等边三角形．

32．（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）

如图，正方形纸片A类，B类和长方形纸片C类若干张，

（1）①请你选取适当数量的三种纸片，拼成一个长为、宽为的长方形，画出拼好后的图形．

②观察拼图共用__________张A类纸片，__________张B类纸片，__________张C类纸片，通过面积计算可以发现=__________．

（2）①请你用这三类卡片拼出面积为的长方形，画出拼好后的图形．

②观察拼图共用__________张A类纸片，__________张B类纸片，__________张C类纸片，通过面积计算可以发现__________．

③利用拼图，把下列多项式因式分解

=__________；__________．

33．在“整式乘法与因式分解“一章的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学习的经验，解决下列问题：

（1）如图1，有若干张A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片（其中a＜b），若取2张A类卡片、3张B类卡片、1张C类卡片拼成如图的长方形，借助图形，将多项式2a2+3ab+b2分解因式：2a2+3ab+b2＝　 　．

（2）若现有3张A类卡片，6张B类卡片，10张C类卡片，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），则拼成的正方形的边长最大是　 　．

（3）若取1张C类卡片和4张A类卡片按图3、4两种方式摆放，求图4中，大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积（用含m、n的代数式表示）．