高中数学人教A版 (2019)必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算第2课时同步训练题

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算第2课时同步训练题，共4页。

1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合

∁U(A∪B)＝( )

A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1} D．{x|0

[解析] ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，

∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，

∴∁U(A∪B)＝{x|0

[答案] D

2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝( )

A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}

C．{1,2} D．{1,2,3}

[解析] 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．

[答案] C

3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝( )

A．{1,2,7,8} B．{4,5,6}

C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6}

[解析] ∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，

∴∁UA＝{0,2,4,5,6,8}，∁UB＝{0,1,4,5,6,7}，

∴(∁UA)∩(∁UB)＝{0,4,5,6}．

[答案] C

4．全集U＝{x|0

[解析] ∁UA＝{x|5≤x<10}，如图所示．

[答案] {x|5≤x<10}

5．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，且∁UA＝{5}，求实数a的值．

[解] ∵∁UA＝{5}，∴5∈U，但5∉A，

∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.

当a＝2时，|2a－1|＝3，

这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．

∴∁UA＝{5}，适合题意．∴a＝2.

当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⃘U，∴∁UA无意义，故a＝－4应舍去．

综上所述，a＝2.

课内拓展课外探究

空集对集合关系的影响

空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集．空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕．

空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了∅，故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素，不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”．

空集是任何非空集合的真子集，即∅A(而A≠∅)．既然A≠∅，即必存在a∈A而a∉∅，∴∅A.

由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“A⊆B，即A为B中的部分元素所组成的集合”．因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A的子集”、“∅⊆∅”等结论．

在解决诸如A⊆B或AB类问题时，必须优先考虑A＝∅时是否满足题意．

【典例1】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A的a的值组成的集合．

[解] 由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)根的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．

(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ<0，∴－3(a2－16)<0，

解得a<－4或a>4.此时B⊆A.

(2)若B≠∅，则B＝{－2}或{4}或{－2,4}．

①若B＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝－2，

∴(－2)2＋(－2)a＋a2－12＝0，即a2－2a－8＝0.

解得a＝4或a＝－2.当a＝4时，恰有Δ＝0；

当a＝－2时，Δ>0，舍去．∴当a＝4时，B⊆A.

②若B＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝4，

∴42＋4a＋a2－12＝0，解得a＝－2，此时Δ>0，舍去．

③若B＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x＝－2或x＝4，由①②知a＝－2，此时Δ>0，－2与4恰是方程的两根．

∴当a＝－2时，B⊆A.

综上所述，满足B⊆A的a值组成的集合是{a|a<－4或a＝－2或a≥4}．

[点评] ∅有两个独特的性质，即：(1)对于任意集合A，皆有A∩∅＝∅；(2)对于任意集合A，皆有A∪∅＝A.正因如此，如果A∩B＝∅，就要考虑集合A或B可能是∅；如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是∅.

【典例2】设全集U＝R，集合M＝{x|3a－1

[解] 根据题意可知：N≠∅，又∵N⊆(∁UM)．

①当M＝∅，即3a－1≥2a时，a≥1.

此时∁UM＝R，N⊆(∁UM)显然成立．

②当M≠∅，即3a－1<2a时，a<1.

由M＝{x|3a－1

又∵N⊆(∁UM)，∴结合数轴分析可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<1，,3≤3a－1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<1，,2a≤－1，))得a≤－eq \f(1,2).

综上可知，a的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥1或a≤－\f(1,2))))).

[点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分，在后续内容中应用特别广泛，涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主，因此需要对相关的性质有深刻的理解．对于有限集，在处理包含关系时可列出所有的元素，然后依条件讨论各种情况，找到符合条件的结果．

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