高中数学5.5 三角恒等变换优秀同步训练题

这是一份高中数学5.5 三角恒等变换优秀同步训练题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcsx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值是( )


A．1 B．2 C.eq \f(3,2) D．3


[解析] ∵f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcsx


＝eq \f(1－cs2x,2)＋eq \f(\r(3),2)sin2x


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2).


又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).


即f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).


故f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值为eq \f(3,2).


故选C.


[答案] C


2．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )


A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)


[解析] f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋θ)).当θ＝eq \f(2,3)π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x是奇函数．


[答案] D


3．函数f(x)＝sinx－eq \r(3)csx(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(5π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(π,6)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))


[解析] ∵f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，


∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)．


令k＝0得增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5,6)π)).


∵x∈[－π，0]，


∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，故选D.


[答案] D


4．设函数f(x)＝eq \r(3)cs2ωx＋sinωxcsωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为eq \f(π,6).则ω的值为( )


A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)


[解析] f(x)＝eq \f(\r(3),2)cs2ωx＋eq \f(1,2)sin2ωx＋eq \f(\r(3),2)＋a＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2)＋a，依题意得2ω·eq \f(π,6)＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，解之得ω＝eq \f(1,2).


[答案] B


5．已知函数f(x)＝eq \f(cs2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0

A．函数f(x)的最大值为eq \r(3)，无最小值


B．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，最大值为0


C．函数f(x)的最大值为eq \f(\r(3),3)，无最小值


D．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，无最大值


[解析] 因为f(x)＝eq \f(cs2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))＝eq \f(cs2x－1,sin2x)＝eq \f(－2sin2x,2sinxcsx)＝－tanx，0

[答案] D


二、填空题


6．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x的最小正周期是________．


[解析] f(x)＝eq \f(\r(2),2)sin2x－eq \f(\r(2),2)cs2x－eq \r(2)(1－cs2x)


＝eq \f(\r(2),2)sin2x＋eq \f(\r(2),2)cs2x－eq \r(2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－eq \r(2)，


所以T＝eq \f(2π,2)＝π.


[答案] π


7．在△ABC中，若3cs2eq \f(A－B,2)＋5sin2eq \f(A＋B,2)＝4，则tanAtanB＝________.


[解析] 因为3cs2eq \f(A－B,2)＋5sin2eq \f(A＋B,2)＝4，


所以eq \f(3,2)cs(A－B)－eq \f(5,2)cs(A＋B)＝0，


所以eq \f(3,2)csAcsB＋eq \f(3,2)sinAsinB－eq \f(5,2)csAcsB＋


eq \f(5,2)sinAsinB＝0，


即csAcsB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝eq \f(1,4).


[答案] eq \f(1,4)


8．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3,2)π))－3csx的最小值为________．


[解析] f(x)＝－cs2x－3csx＝－2cs2x－3csx＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx＋\f(3,4)))2－eq \f(1,8)


∵－1≤csx≤1，∴当csx＝1时，f(x)min＝－4.


[答案] －4


三、解答题


9．已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin2x＋eq \f(1,2)cs4x.


(1)求f(x)的最小正周期及最大值；


(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq \f(\r(2),2)，求α的值．


[解] (1)∵f(x)＝(2cs2x－1)sin2x＋eq \f(1,2)cs4x


＝cs2xsin2x＋eq \f(1,2)cs4x


＝eq \f(1,2)(sin4x＋cs4x)


＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))，


∴f(x)的最小正周期为eq \f(π,2)，最大值为eq \f(\r(2),2).


(2)∵f(α)＝eq \f(\r(2),2)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α＋\f(π,4)))＝1，


∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


∴4α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)，\f(17π,4))).


∴4α＋eq \f(π,4)＝eq \f(5π,2)，故α＝eq \f(9π,16).


10．已知f(x)＝5sinxcsx－5eq \r(3)cs2x＋eq \f(5,2)eq \r(3)(x∈R)．


(1)求f(x)的单调递增区间；


(2)求f(x)的对称轴、对称中心．


[解] f(x)＝eq \f(5,2)sin2x－5eq \r(3)×eq \f(1＋cs2x,2)＋eq \f(5\r(3),2)


＝eq \f(5,2)sin2x－eq \f(5\r(3),2)cs2x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).


(1)f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5,12)π＋kπ))(k∈Z)．


(2)对称轴方程是：x＝eq \f(1,2)kπ＋eq \f(5,12)π，(k∈Z)；对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)kπ＋\f(π,6)，0))(k∈Z)．


综合运用


11．函数y＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))－1( )


A．是奇函数


B．是偶函数


C．既是奇函数又是偶函数


D．既不是奇函数又不是偶函数


[解析] y＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))),2)－1


＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))))


＝eq \f(1,2)sin2x，是奇函数．故选A.


[答案] A


12．在△ABC中，若sinAsinB＝cs2eq \f(C,2)，则△ABC是( )


A．等边三角形 B．等腰三角形


C．不等边三角形 D．直角三角形


[解析] 由已知得，sinAsinB＝eq \f(1＋csC,2)，


又∵csC＝－cs(A＋B)，∴2sinAsinB＋cs(A＋B)＝1，∴cs(A－B)＝1，∵0

∴△ABC是等腰三角形，故选B.


[答案] B


13.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cs2θ的值等于________．





[解析] 题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为6.设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝25，,\f(1,2)ab＝6，))所以两条直角边的长分别为3,4.则csθ＝eq \f(4,5)，cs2θ＝2cs2θ－1＝eq \f(7,25).


[答案] eq \f(7,25)


14．已知A＋B＝eq \f(2π,3)，那么cs2A＋cs2B的最大值是______，最小值是________．


[解析] ∵A＋B＝eq \f(2π,3)，


∴cs2A＋cs2B


＝eq \f(1,2)(1＋cs2A＋1＋cs2B)


＝1＋eq \f(1,2)(cs2A＋cs2B)


＝1＋cs(A＋B)cs(A－B)


＝1＋cseq \f(2π,3)·cs(A－B)


＝1－eq \f(1,2)cs(A－B)，


∴当cs(A－B)＝－1时，


原式取得最大值eq \f(3,2)；


当cs(A－B)＝1时，原式取得最小值eq \f(1,2).


[答案] eq \f(3,2) eq \f(1,2)


15.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100米，宽BC＝50eq \r(3)米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．





(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；


(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：eq \r(3)取1.732，eq \r(2)取1.414)．


[解] (1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，∠CHE＝x，∴HE＝eq \f(50,csx).


在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90°，∠DFH＝x，∴HF＝eq \f(50,sinx).


又∠EHF＝90°，∴EF＝eq \f(50,sinxcsx)，


∴三条路的全长(即△HEF的周长)


L＝eq \f(50sinx＋csx＋1,sinxcsx).


当点F在A点时，这时角x最小，


求得此时x＝eq \f(π,6)；


当点E在B点时，这时角x最大，


求得此时x＝eq \f(π,3).


故此函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))).


(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．


由(1)得L＝eq \f(50sinx＋csx＋1,sinxcsx)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，


设sinx＋csx＝t，则sinxcsx＝eq \f(t2－1,2)，


∴L＝eq \f(50t＋1,\f(t2－1,2))＝eq \f(100,t－1).


由t＝sinx＋csx＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，


x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，得eq \f(\r(3)＋1,2)≤t≤eq \r(2)，


从而eq \r(2)＋1≤eq \f(1,t－1)≤eq \r(3)＋1，


当x＝eq \f(π,4)，即CE＝50时，Lmin＝100(eq \r(2)＋1)，


∴当CE＝DF＝50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．