人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精品课后复习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精品课后复习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．已知α是第三象限角，csα＝－eq \f(5,13)，则sin2α等于( )


A．－eq \f(12,13) B.eq \f(12,13) C．－eq \f(120,169) D.eq \f(120,169)


[解析] ∵csα＝－eq \f(5,13)，α是第三象限角，


∴sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(12,13)(舍正)


因此，sin2α＝2sinαcsα＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＝eq \f(120,169).


故选D.


[答案] D


2．cs275°＋cs215°＋cs75°cs15°的值等于( )


A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(5,4) D．1＋eq \f(\r(3),4)


[解析] 原式＝sin215°＋cs215°＋sin15°cs15°


＝1＋eq \f(1,2)sin30°＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).


[答案] C


3．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin2α＝cs2α＋1，则sinα＝( )


A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)


[解析] ∵2sin2α＝cs2α＋1，∴4sinα·csα＝2cs2α.∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴csα>0，sinα>0，∴2sinα＝csα，又sin2α＋cs2α＝1，∴5sin2α＝1，sin2α＝eq \f(1,5)，又sinα>0，∴sinα＝eq \f(\r(5),5)，故选B.


[答案] B


4.eq \r(1＋cs100°)－eq \r(1－cs100°)＝( )


A．－2cs5° B．2cs5°


C．－2sin5° D．2sin5°


[解析] 原式＝eq \r(2cs250°)－eq \r(2sin250°)


＝eq \r(2)(cs50°－sin50°)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs50°－\f(\r(2),2)sin50°))


＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.


[答案] C


5．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，则sin2α等于( )


A.eq \f(7,25) B.eq \f(1,5) C．－eq \f(1,5) D．－eq \f(7,25)


[解析] 因为sin2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1，又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，所以sin2α＝2×eq \f(9,25)－1＝－eq \f(7,25)，故选D.


[答案] D


二、填空题


6．若sinα－csα＝eq \f(1,3)，则sin2α＝________.


[解析] (sinα－csα)2＝sin2α＋cs2α－2sinαcsα＝1－sin2α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2⇒sin2α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(8,9).


[答案] eq \f(8,9)


7．化简：eq \f(sin235°－\f(1,2),sin10°cs10°)＝________.


[解析] 原式＝eq \f(2sin235°－1,2sin10°cs10°)＝－eq \f(cs70°,sin20°)


＝eq \f(－cs70°,sin90°－70°)＝－1.


[答案] －1


8．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.


[解析] 原式＝sin6°cs12°cs24°cs48°


＝eq \f(sin6°cs6°cs12°cs24°cs48°,cs6°)


＝eq \f(\f(1,2)sin12°cs12°cs24°cs48°,cs6°)


＝eq \f(\f(1,4)sin24°cs24°cs48°,cs6°)＝eq \f(\f(1,8)sin48°cs48°,cs6°)


＝eq \f(\f(1,16)sin96°,cs6°)＝eq \f(\f(1,16)cs6°,cs6°)＝eq \f(1,16)


[答案] eq \f(1,16)


三、解答题


9．已知角α在第一象限且csα＝eq \f(3,5)，求eq \f(1＋\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))))的值．


[解] ∵csα＝eq \f(3,5)且α在第一象限，∴sinα＝eq \f(4,5).


∴cs2α＝cs2α－sin2α＝－eq \f(7,25)，


sin2α＝2sinαcsα＝eq \f(24,25)，


∴原式＝eq \f(1＋\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2αcs\f(π,4)＋sin2αsin\f(π,4))),csα)


＝eq \f(1＋cs2α＋sin2α,csα)＝eq \f(14,5).


10．已知sineq \f(x,2)－2cseq \f(x,2)＝0.


(1)求tanx的值；


(2)求eq \f(cs2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋x))sinπ＋x)的值．


[解] (1)由sineq \f(x,2)－2cseq \f(x,2)＝0，知cseq \f(x,2)≠0，


∴taneq \f(x,2)＝2，


∴tanx＝eq \f(2tan\f(x,2),1－tan2\f(x,2))＝eq \f(2×2,1－22)＝－eq \f(4,3).


(2)由(1)，知tanx＝－eq \f(4,3)，


∴eq \f(cs2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋x))sinπ＋x)＝eq \f(cs2x,－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))－sinx)


＝eq \f(cs2x－sin2x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)csx－\f(\r(2),2)sinx))sinx)


＝eq \f(csx－sinxcsx＋sinx,\f(\r(2),2)csx－sinxsinx)


＝eq \r(2)×eq \f(csx＋sinx,sinx)＝eq \r(2)×eq \f(1＋tanx,tanx)＝eq \f(\r(2),4).


综合运用


11.eq \f(sin65°cs25°＋cs65°sin25°－tan222.5°,2tan22.5°)＝( )


A.eq \f(1,2) B．1


C.eq \r(3) D．2


[解析] 原式＝eq \f(sin90°－tan222.5°,2tan22.5°)＝eq \f(1－tan222.5°,2tan22.5°)


＝eq \f(1,tan45°)＝1.


[答案] B


12．若tanα＋eq \f(1,tanα)＝eq \f(10,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cseq \f(π,4)cs2α＝________.


[解析] 由tanα＋eq \f(1,tanα)＝eq \f(10,3)，得tanα＝eq \f(1,3)或tanα＝3.


又∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴tanα＝3.∴sinα＝eq \f(3,\r(10))，csα＝eq \f(1,\r(10)).


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cseq \f(π,4)cs2α


＝sin2αcseq \f(π,4)＋cs2αsineq \f(π,4)＋2cseq \f(π,4)cs2α


＝eq \f(\r(2),2)×2sinαcsα＋eq \f(\r(2),2)(2cs2α－1)＋eq \r(2)cs2α


＝eq \r(2)sinαcsα＋2eq \r(2)cs2α－eq \f(\r(2),2)


＝eq \r(2)×eq \f(3,\r(10))×eq \f(1,\r(10))＋2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(10))))2－eq \f(\r(2),2)


＝eq \f(5\r(2),10)－eq \f(\r(2),2)＝0.


[答案] 0


13．等腰三角形一个底角的余弦为eq \f(2,3)，那么这个三角形顶角的正弦值为________．


[解析] 设A是等腰△ABC的顶角，则csB＝eq \f(2,3)，


sinB＝eq \r(1－cs2B)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2)＝eq \f(\r(5),3).


所以sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B


＝2sinBcsB＝2×eq \f(\r(5),3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4\r(5),9).


[答案] eq \f(4\r(5),9)


14．已知θ为锐角，cs(θ＋15°)＝eq \f(3,5)，则cs(2θ－15°)＝________.


[解析] ∵θ为锐角，cs(θ＋15°)＝eq \f(3,5)，


∴sin(θ＋15°)＝eq \f(4,5)，


∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cs(θ＋15°)＝eq \f(24,25)，


cs(2θ＋30°)＝2cs2(θ＋15°)－1＝2×eq \f(9,25)－1＝－eq \f(7,25).


∴cs(2θ－15°)＝cs(2θ＋30°－45°)


＝cs(2θ＋30°)cs45°＋sin(2θ＋30°)sin45°


＝－eq \f(7,25)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(24,25)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(17\r(2),50).


[答案] eq \f(17\r(2),50)


15．已知0

[解] ∵sin2eq \f(x,2)＋eq \r(3)sineq \f(x,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(x,2)))


＝eq \f(1－csx,2)－eq \r(3)sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)


＝eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)csx))＝eq \f(1,2)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，


∴由已知得eq \f(1,2)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝－eq \f(1,10)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5).∵0

结合sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)

∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝eq \f(3,4).


∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \f(2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))),1－tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))))＝eq \f(2×\f(3,4),1－\f(9,16))＝eq \f(24,7).