人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试公开课教案

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考点一 三角函数的求值问题


三角函数求值常见的有给角求值、给值求值、给值求角．给角求值通常找到所给角之间及与特殊角之间的关系，利用三角公式达到相消求值．给值求值最为重要，通常要寻求已知角与所求角的关系，用已知角表示未知角从而求解．给值求角在上面基础上求出所求角的一个三角函数值，再结合角的范围求出角．


【典例1】 已知α，β为锐角，csα＝eq \f(4,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3)，求csβ的值．


[解] ∵0<α

∴－eq \f(π,2)<α－β

又tan(α－β)＝－eq \f(1,3)，∴－eq \f(π,2)<α－β<0.


又∵csα＝eq \f(4,5)，0<α

又tan(α－β)＝－eq \f(1,3)＝eq \f(sinα－β,csα－β)，


且sin2(α－β)＋cs2(α－β)＝1，


∴sin(α－β)＝－eq \f(1,\r(10))，cs(α－β)＝eq \f(3,\r(10))


从而csβ＝cs[α－(α－β)]


＝csα·cs(α－β)＋sinα·sin(α－β)


＝eq \f(4,5)×eq \f(3,\r(10))－eq \f(1,\r(10))×eq \f(3,5)＝eq \f(9\r(10),50).




















变角是给值求值问题最为常见的技巧，因此对于角的常见变换要熟悉．


常见的变角技巧有α＝(α＋β)－β，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))，4α＝2·(2α)，eq \f(α,2)＝2·eq \f(α,4)等．


另外还要熟悉一些互余、互补角的关系．





[针对训练]


1．设cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(1,9)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(2,3)，其中α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求cseq \f(α＋β,2)的值．


[解] ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


∴α－eq \f(β,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，eq \f(α,2)－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,2)))，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2))))


＝ eq \r(1－\f(1,81))＝eq \f(4\r(5),9)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β)))


＝ eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3)，


∴cseq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))


＝－eq \f(1,9)×eq \f(\r(5),3)＋eq \f(4\r(5),9)×eq \f(2,3)＝eq \f(7\r(5),27).


考点二 三角函数式的化简与证明


三角函数式化简的一般要求：(1)能求值的尽量求值．


(2)化简的结果最简：次方数最低、三角函数名称最少，三角函数的证明题型比较少，主要也是考查三角恒等变换．


【典例2】 化简：eq \f(2sin130°＋sin100°1＋\r(3)tan370°,\r(1＋cs10°)).


[解] 解法一：原式＝eq \f(2sin50°＋sin80°1＋\r(3)tan10°,\r(1＋cs10°))


＝eq \f(2sin50°＋cs10°×\f(cs10°＋\r(3)sin10°,cs10°),\r(2cs25°))


＝eq \f(2sin50°＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),\r(2)|cs5°|)


＝eq \f(2sin50°＋2sin30°＋10°,\r(2)cs5°)


＝eq \f(2[sin45°＋5°＋sin45°－5°],\r(2)cs5°)


＝eq \f(2sin45°cs5°＋cs45°sin5°＋sin45°cs5°－cs45°sin5°,\r(2)cs5°)


＝eq \f(4sin45°·cs5°,\r(2)cs5°)＝2.


解法二：原式＝eq \f(2sin50°＋sin80°1＋\r(3)tan10°,\r(1＋cs10°))


＝eq \f(2sin50°＋cs10°×\f(cs10°＋\r(3)sin10°,cs10°),\r(2cs25°))


＝eq \f(2sin50°＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),\r(2)|cs5°|)


＝eq \f(2sin50°＋2sin30°＋10°,\r(2)cs5°)＝eq \f(2sin50°＋2sin40°,\r(2)cs5°)


＝eq \f(4×sin\f(50°＋40°,2)cs\f(50°－40°,2),\r(2)cs5°)＝eq \f(4sin45°cs5°,\r(2)cs5°)＝2.














三角函数式化简的基本技巧


(1)sinα，csα→凑倍角公式．


(2)1±csα→升幂公式．


(3)asinα＋bcsα→辅助角公式asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)·sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq \f(b,a)或asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)·


cs(α－φ)，其中tanφ＝eq \f(a,b).





[针对训练]


2．求证：tan2x＋eq \f(1,tan2x)＝eq \f(23＋cs4x,1－cs4x).


[证明] 证法一：左边＝eq \f(sin2x,cs2x)＋eq \f(cs2x,sin2x)


＝eq \f(sin4x＋cs4x,sin2xcs2x)


＝eq \f(sin2x＋cs2x2－2sin2xcs2x,\f(1,4)sin22x)


＝eq \f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,4)sin22x)＝eq \f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,8)1－cs4x)


＝eq \f(8－4sin22x,1－cs4x)＝eq \f(4＋4cs22x,1－cs4x)


＝eq \f(4＋21＋cs4x,1－cs4x)＝eq \f(23＋cs4x,1－cs4x)＝右边．


原式得证．


证法二：右边＝eq \f(22＋1＋cs4x,2sin22x)


＝eq \f(22＋2cs22x,2sin22x)＝eq \f(21＋cs22x,4sin2xcs2x)


＝eq \f(sin2x＋cs2x2＋cs2x－sin2x2,2sin2xcs2x)


＝eq \f(2sin4x＋cs4x,2sin2xcs2x)＝tan2x＋eq \f(1,tan2x)＝左边．


原式得证．


考点三 三角函数的图象及变换


三角函数的图象及变换是三角函数的重点内容，包括“知图求式”及平移伸缩变换．知图求式关键是初相φ的确定，图象变换注意变换的顺序是先平移再伸缩还是先伸缩再平移．


【典例3】 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的一段图象．





(1)求此函数解析式；


(2)分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？


[解] (1)由图象知A＝eq \f(－\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))),2)＝eq \f(1,2)，


k＝eq \f(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))),2)＝－1，


T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\f(π,6)))＝π，


∴ω＝eq \f(2π,T)＝2.∴y＝eq \f(1,2)sin(2x＋φ)－1.


当x＝eq \f(π,6)，2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6)，


∴所求函数解析式为


y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－1.


(2)把y＝sinx向左平移eq \f(π,6)个单位得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的eq \f(1,2)得到y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，最后把函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向下平移1个单位，得到y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－1的图象．











(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常利用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ.


(2)由图象上的关键点确定φ时，若选取的是图象与x轴的交点，则要弄清这个点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝2kπ(k∈Z)，其他依次类推即可．





[针对训练]


3．把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再将图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，那么所得图象的一条对称轴的方程为( )


A．x＝－eq \f(π,2) B．x＝－eq \f(π,4)


C．x＝eq \f(π,8) D．x＝eq \f(π,4)


[解析] 将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；再将图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝－cs2x的图象，故x＝－eq \f(π,2)是其图象的一条对称轴的方程．


[答案] A


4．将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤φ≤\f(π,2)))个单位长度，得到的函数为偶函数，则φ的值为( )


A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3)


[解析] 将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移φ个单位得到g(x)＝sin2(x＋φ)的图象，g(x)为偶函数，故2φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，又0≤φ≤eq \f(π,2)，∴2φ＝eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,4).


[答案] C


考点四 三角函数的简单应用


三角函数经过三角恒等变换化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，从而研究其图象性质是常见的热点题型．要结合三角函数的性质将ωx＋φ看成一个整体研究．


【典例4】 已知函数f(x)＝2sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)－2eq \r(3)cs2eq \f(x,2)＋eq \r(3).


(1)若f(θ)＝0，求eq \f(2cs2\f(θ,2)－sinθ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))的值；


(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．


[解] (1)f(x)＝2sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)－2eq \r(3)cs2eq \f(x,2)＋eq \r(3)


＝sinx－eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(x,2)－1))＝sinx－eq \r(3)csx.


∵f(θ)＝0，即sinθ－eq \r(3)csθ＝0，∴tanθ＝eq \r(3)，


∴eq \f(2cs2\f(θ,2)－sinθ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))


＝eq \f(csθ－sinθ,sinθ＋csθ)＝eq \f(1－tanθ,tanθ＋1)＝eq \f(1－\r(3),\r(3)＋1)＝－2＋eq \r(3).


(2)由(1)知f(x)＝sinx－eq \r(3)csx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，


∵x∈[0，π]，∴x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，


当x－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,3)，即x＝0时，f(x)min＝－eq \r(3)；


当x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(5π,6)时，f(x)max＝2，


∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－eq \r(3)，2]．











研究三角函数的图象性质，通常是利用和差角公式、二倍角公式及其变形公式进行整理、化简，将原函数变为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，这是解答该类题目的关键所在．





[针对训练]


5．已知函数f(x)＝3sin2x＋2eq \r(3)sinxcsx＋cs2x，x∈R.


(1)求函数f(x)的最大值与单调递增区间；


(2)求使f(x)≥3成立的x的集合．


[解] (1)因为f(x)＝1＋2sin2x＋2eq \r(3)sinxcsx


＝1＋1－cs2x＋eq \r(3)sin2x


＝2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin2x－\f(1,2)cs2x))


＝2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)sin2x－sin\f(π,6)cs2x))


＝2＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，


所以当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝1时，函数f(x)取得最大值4.


由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kx＋eq \f(π,3)(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．


(2)由f(x)≥3得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≥eq \f(1,2)，则2kπ＋eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z)，即kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．所以使f(x)≥3成立的x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1())kπ＋\f(π,6)≤x≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).