人教版新课标A必修11.1.2集合间的基本关系学案及答案

1．1.2　集合间的基本关系

授课提示：对应学生用书第6页

[基础认识]

知识点一　子集与真子集

　观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？

①A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；

②设A为育才中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合．

提示：集合A中的元素也都是集合B中的元素．　　　

知识梳理

知识点二　集合相等

　设A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．

(1) 三边相等的三角形是何三角形？

提示：等边三角形．

(2)两集合中的元素相同吗？

提示：相同．

(3)A是B的子集吗？B是A的子集吗？

提示：是．是.　　　

　知识梳理　如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.

知识点三　空集

　知识梳理1.空集的定义：不含任何元素的集合，叫做空集．

2．空集的表示：∅.

3．规定：空集是任何集合的子集．

思考：{0}与∅相同吗？

提示：不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集其不含有任何元素，故{0}≠∅.

知识点四　子集的性质

　知识梳理　1.任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.

2．对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C.

[自我检测]

1．集合{1,2}的子集有(　　)

A．4个　　　　　　　　 B．3个

C．2个  D．1个

解析：集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}共4个．

答案：A

2．集合{1}与集合{x|x2－1＝0}的关系是__________．

解析：∵{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，

∴1∈{x|x2－1＝0}，

又∵－1∈{x|x2－1＝0}，且－1∉{1}，

∴{1}{x|x2－1＝0}．

答案：{1}{x|x2－1＝0}

3．若集合A＝{1，a}，B＝{3，b}，且A＝B，则a＋b＝__________.

解析：∵A＝B，∴集合A，B中的元素相同，故a＝3，b＝1，则a＋b＝4.

答案：4

授课提示：对应学生用书第7页

探究一　集合间关系的判断

　[阅读教材P7练习3题]判断下列两个集合之间的关系：

(1) A＝{1,2,4}，B＝{x|x是8的约数}；

(2) A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}；

(3) A＝{x∈N*|x是4与10的公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N*}．

　题型：子集、真子集

[例1]　(1)下列各式中，正确的个数是(　　)

①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④{0,1}＝{(0,1)}；⑤0＝{0}．

A．1　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

(2)指出下列各组集合之间的关系：

①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；

②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

[解析]　(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑤，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．

(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.

③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.

法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.

[答案]　(1)B　(2)见解析

方法技巧　判断集合间关系的方法

(1)用定义判断

首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.

(2)数形结合判断

对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．

跟踪探究　1.已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，则M与P的关系为(　　)

A．M＝P  B．M⊆P

C．P⊆M  D．MP

解析：①对于任意x∈M，x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，

∵a∈N*，∴a＋2∈N*，

由子集定义知M⊆P.

②∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1，即a＝2∈N*，而1∉M，

∴1＋a2＝1在a∈N*时无解．

综合①②知，MP.

答案：D

探究二　子集、真子集的个数问题

　[阅读教材P7练习1题]写出集合{a，b，c}的所有子集．

题型：子集个数

[例2]　已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．

[解析]　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：

含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；

含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；

含有5个元素：{1,2,3,4,5}．

故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．

方法技巧　公式法求有限集合的子集个数

(1)含n个元素的集合有2n个子集．

(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．

(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．

(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．

跟踪探究　2.已知集合A{x∈N|－1＜x＜3}，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合．

解析：这样的集合共有3个．

∵{x∈N|－1＜x＜3}＝{0,1,2}，A{0,1,2}且A中至少有一个元素为奇数，

∴当A中含有1个元素时，A可以为{1}；当A中含有2个元素时，A可以为{0,1}，{1,2}．

探究三　子集关系的应用

[例3]　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围.

[解析]　(1)当B≠∅时，如图所示：

∴或

解这两个不等式组，得2≤m≤3.

(2)当B＝∅时，

由m＋1>2m－1，得m<2.

综上可得，m的取值范围是m≤3.

延伸探究　1.若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围．

解析：(1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.

(2)当B≠∅时，如图所示：

∴解得即2≤m<3，

综上可得，m的取值范围是m<3.

2．若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．

解析：当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.

∴即∴m不存在．

即不存在实数m使A⊆B.

方法技巧　1.利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．

2．涉及“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况．

授课提示：对应学生用书第8页

[课后小结]

1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，

集合、集合间的关系用“⊆”、“＝”或“”等表示．

2．处理集合间的关系时要注意以下三点：

(1)A⊆B且B≠∅隐含着A＝B和AB两种关系．

(2)注意空集的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑集合为空集的可能性．

(3)要注意数形结合思想与分类讨论思想在集合关系问题中的应用．

[素养培优]

　忽视空集求参数范围致误

已知集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数a的取值范围是__________．

易错分析：解答本题易忽视以下两种情况：一是B＝A，二是B＝∅.

自我纠正：A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{0，－4}，

因为B⊆A，所以B＝A或BA.

当B＝A时，B＝{－4,0}，

即－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，代入得a＝1，此时满足条件，即a＝1符合题意．

当BA时，分两种情况：

若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.

若B≠∅，则方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，

所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，

此时B＝{0}，符合题意．

综上所述，所求实数a的取值范围是{a|a≤－1，或a＝1}．

答案：{a|a≤－1，或a＝1}