2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．下列说法中正确的是　　A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题C．命题“存在”的否定为：“对，”D．直线l不在平面内，则“l上有两个不同的点到的距离相等”是“”的充要条件【答案】C【解析】【分析】A项根据逆命题的定义进行判断；B项根据复合命题真值表进行判断；C项含有量词的命题的否定进行判断；D项根据充要条件的定义进行判断.【详解】对于A，命题“若，则”的逆命题是“若，则”，是假命题，如时，，故A错误；对于B，命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q中至少一个为真命题，故B错误；对于C，命题“存在”的否定为：“对，”，故C正确；对于D，直线l不在平面内，则由，能得到l上有两个不同的点到的距离相等，反之，l上有两个不同的点到的距离相等，不一定有．直线l不在平面内，“l上有两个不同的点到的距离相等”是“”的必要不充分条件，故D错误．故选C．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与逆否命题，考查充分必要条件的判定方法，是中档题．2．若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　　)A．[2，＋∞) B．(－∞，2] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]【答案】A【解析】【分析】p是q的充分不必要条件,即p所表示的集合是q所表示集合的真子集。【详解】由题意得p:，要使得p是q的充分不必要条件，只需，选A.【点睛】对于充分性必要性条件的判断三种常用方法：（1）利用定义判断．如果已知，则是的充分条件，是的必要条件；（2）利用等价命题判断；(3) 把充要条件“直观化”，如果，可认为是的“子集”；如果，可认为不是的“子集”，由此根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明．3．设全集U = R，集合则下列关系中正确的是(   )A．  B．C．  D． 【答案】C【解析】【分析】对集合N进行化简，利用集合间的交集补集并集运算即可求解.【详解】集合或.或.或或.综上所述，选项正确.故选 .【点睛】本题主要考查了集合间的交并补混合运算，属于中档题.4．：为有理数，：为实数，则是的(    )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据原命题和逆命题的真假可得.【详解】因为为有理数时,必为实数,所以原命题为真命题,因为为实数时,可能是无理数,所以逆命题为假命题.所以是的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断,解题方法是转化为判断原命题和逆命题的真假.,若原命题为真,则是充分条件,若逆命题为真,则是必要条件.属于基础题.5．给出下列四个命题：（1）若α＞β且α、β都是第一象限角，则tanα＞tanβ；（2）“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得＜0”；（3）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则（¬p）∨q为真命题；（4）函数是偶函数．其中真命题的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】试题分析：对4个命题分别进行判断，即可得出结论．解：（1）若α＞β且α、β都是第一象限角，比如α=，β=，则tanα=tanβ，故（1）错；（2）这是含有一个量词的命题的否定，否定的规则是改变量词再否定结论，正确；（3）已知命题p：所有有理数都是实数，是真命题，q：正数的对数都是负数，为假命题，则（¬p）∨q为假命题，不正确；（4）函数是奇函数，不正确．故选：A．考点：命题的真假判断与应用．6．设，则“，且”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由题意逐一考查充分性和必要性即可.详解：若“，且”，有不等式的性质可知“”，则充分性成立；若“”，可能，不满足“，且”，即必要性不成立；综上可得：“，且”是“”的充分不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查充分不必要条件的判定及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．已知，则“”是“”的 （ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】通过判断α，β∈R、“α＝β”，能否得到tanα＝tanβ；以及tanα＝tanβ能否推出α，β∈R，则“α＝β”，即可判断充分必要条件．【详解】α，β∈R，则“α＝β”如果α＝β＝90°，不存在tanα，tanβ所以不可能得到“tanα＝tanβ”；“tanα＝tanβ”可得角α，β的终边可能相同，也可能不相同，推不出“α＝β”，所以α，β∈R，则“α＝β”是“tanα＝tanβ”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点睛】本题考查充要条件知识，注意到前提与结论的关系，正切函数的定义域，是易错点，考查基本知识掌握的情况．8．设集合，,,则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据A与B求出两集合的并集，找出全集U中不属于并集的部分即可求出所求的集合．【详解】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，4}，∵全集U＝{1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）＝{3}．故选：A．【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．9．已知集合，则（ ）A．B．C．若，则为增函数D．若，则【答案】C【解析】试题分析：令,得出,故,又,所以A,B错；为增函数,故C正确；．故D错误．综上,正确选项为C．考点：1．集合与元素；2．对数恒等式．10．若则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：由空集为非空集合的真子集，可知当集合不为空集时满足题意，所以，故选B．考点：集合与集合之间的关系．11．已知命题，那么是(　 　)A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定解答.【详解】由全称命题的否定得是.故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．下列语句是命题的是(　　)①三角形的内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤这座山真险啊！A．①②③    B．①③④C．①②⑤    D．②③⑤【答案】A【解析】【分析】由命题的定义逐一考查所给语句是否为命题即可.【详解】逐一考查所给的语句：①三角形的内角和等于180°，是一个可以判断真假的陈述句，是命题；②2>3，是一个可以判断真假的陈述句，是命题；③一个数不是正数就是负数，是一个可以判断真假的陈述句，是命题；④x>2无法判断真假，不是命题；⑤这座山真险啊！是祈使句，不是命题.综上可得，题中所给语句是命题的是①②③ .本题选择A选项.【点睛】本题主要考查命题的定义与判断，属于基础题目.  二、填空题13．已知下列四个命题：（1），；（2），；（3），；（4），．其中真命题有________个．【答案】2【解析】【分析】逐个选项判断,根据不等式的解法与性质,并注意所在的数集即可.【详解】时,,故命题(1)为假命题,命题(2)为真命题；函数的图像开口向上,且,所以y值恒大于0,故命题(3)为真命题,命题(4)为假命题．故答案为：2【点睛】本题主要考查命题真假的判定,包含二次不等式的一些恒成立问题,属于基础题型.14．已知集合, 则等于_________.【答案】【解析】【分析】由二次函数的值域求出集合，由交集的运算求出．【详解】解：因为，，
所以，
故答案为：．【点睛】本题考查交集及其运算，以及一次、二次函数的值域，属于基础题．15．已知集合，则        ．【答案】【解析】【分析】本题考察的集合的运算,需要对并集的概念进行了解。【详解】.所以答案应填：。【点睛】并集是取两集合内的所有元素并且相同元素只取一个。16．    给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx>0”的否定是“∃x0∈R，cosx0≤0”；②若0<a<1，则函数f(x)＝x2＋ax－3只有一个零点；③函数y＝2sinxcosx在上是单调递减函数；④若lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为4.其中真命题的序号是________．【答案】①④【解析】由全称命题的否定是特称命题知①为真命题．在同一直角坐标系内作出y＝3－x2，y＝ax(0<a<1)的图象如图所示．由图知两函数图象有两个交点，则函数f(x)＝x2＋ax－3有两个零点，故②为假命题．由y＝2sinxcosx＝sin2x，又时，，故y＝2sinxcosx在上是增函数，因此③为假命题．④中由lga＋lgb＝lg(a＋b)知，ab＝a＋b且a>0，b>0.又，所以令a＋b＝t(t>0)，则4t≤t2，即t≥4，因此④为真命题．故答案为：①④．点睛：确定函数的零点，可以画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 三、解答题17．已知全集，集合，.①求和；②已知，若，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意，根据指数函数的性质，得到集合，进而根据集合的运算，即可求解和；（2）由，分和，两种情况讨论，即可求解实数的取值范围.试题解析：(1)，，.(2)若时，有，即，此时有，若时，要使成立有综上所述，实数的取值范围为.18．若关于x的不等式：（1）解此不等式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】【分析】(1)首先整理变形所给的不等式，然后分类讨论即可确定不等式的解集；(2)结合(1)中的结论分类讨论得到关于k的不等式组，求解不等式组即可确定实数k的取值范围.【详解】(1),即有,所以：①当时,不等式的解为R;②当时,不等式的解为,即解集为:;③当且时,不等式的解为,即解集为:;(2)由于,很明显符合题意;且结合(1)可以得到:,解之得，故;或,解之得，由于，故.综上可得.【点睛】本题主要考查不等式的解法，元素与集合的关系，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．已知集合A={x|x2－3x+2=0},B={x|x2－ax+3a－5=0},若A∩B=B，求实数a的值【答案】2≤a＜10【解析】【详解】A={x|x2-3x+2=0}={1,2},由x2-ax+3a-5=0，知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10).A∩B=B等价于集合B是集合A的子集，(1)当2＜a＜10时，Δ＜0,B=A;(2)当a≤2或a≥10时，Δ≥0，则B≠.若x=1，则1-a+3a-5=0,得a=2,此时B={x|x2-2x+1=0}={1}A;若x=2，则4-2a+3a-5=0，得a=1,此时B={2,-1}A.综上所述，当2≤a＜10时，均有A∩B=B.20．设集合，且，求实数的值.【答案】6,9【解析】试题分析：，则，得，从而，由于，因此集合只有一个元素-3，即有等根，由此即可求出结果.试题解析：解：，则，从而，由于，因此集合只有一个元素-3，即有等根.解之得所以实数的值分别为6,9.考点：集合的交集、并集运算.21．已知命题：函数的定义域为R；命题：方程有两个不相等的负数根，若是假命题，求实数的取值范围【答案】解：由题意得p和q均是假命题……………………………………. 1分由p:恒成立，得，………………………………………………………..4分由q：当时，不满足当时，得综上，由p假和q假得-----9分【解析】试题分析：由题意，是假命题，均是假命题，求出真时，的范围，从而可得均是假命题时，的范围．试题解析：由题意得和均是假命题，由：恒成立，，得，真：或．由：当时，不满足，当时，得，真：或，综上，由假和假得或或．考点：复合命题真假的运用22．（1）计算：+lg25+lg4++；（2）设集合A={x|≤2﹣x≤4}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}．若A∪B=A，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）（﹣∞，﹣2]∪[-1,2]【解析】试题分析：第一小题考察对数的运算，用到的公式，有,,,和换底公式；第二小题考察集合的关系和运算，第一步，先利用单调性求解集合,然后利用，讨论和两种情况，解出范围．试题解析：解：（1）原式=（2），解得：，所以，若,那么,所以时，，解得：当时，，解得：，所以的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[-1,2]考点：集合的关系与运算