2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 练习
展开集合、简易逻辑与不等式 一、单选题1．集合且，则m的个数是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】【分析】根据条件，且，确定集合的元素m．【详解】m是自然数，也是自然数，故m可以是， N代表的是自然数集．，集合中有0．故选：D．【点睛】本题主要考查集合元素的确定，是基础题．2．若实数满足条件，则的最大值为 （ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图画出可行域， 表示斜率为 的直线，当直线过点时，目标函数取得最大值， 当直线过点时，函数取得最小值， ， 的取值范围是 ，所以目标函数的最大值是 ，故选C.3．已知集合，，则集合（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：由 ，解得 ，所以集合A= ，所以A∩B={1,2}，故选B考点：本题考查集合的交集运算点评：解决本题的关键是解一元二次不等式，求出集合A4．若一个矩形的对角线长为常数，则其面积的最大值为 （ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：矩形两边和长为（），，最大值为．故选B．考点：二倍角公式，正弦函数的性质．5．设集合， ，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意,得， ，则；故选C.6．已知集合， ，若，则的值为（ ）A．2 B． C．或2 D．2或【答案】A【解析】解：由题意可知： ，则满足题意时， .本题选择C选项.7．已知x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用“1”的代换的思想，由已知可得=（）（x+y）=5+，再利用基本不等式可求最值．【详解】∵x＞0，y＞0且x+y=1，∴=（）（x+y）=5+=5，当且仅当且x+y=1，当且仅当x=3，y=时取等号，≥=，即最小值是．故选：A．【点睛】本题考查基本不等式的应用，基本不等式的性质，考查转化思想，“1”代换的应用，考查计算能力，属于基础题．8．若，满足约束条件，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由，满足约束条件，画出可行域，求可行域内与点（-1,0）连线的斜率取值范围即可。【详解】根据线性约束条件,画出可行域如下图所示由题意可知,的取值范围即为可行域内与点连线斜率的取值范围根据直线交点的求法,求得 , 所以与定点连线斜率分别为 ,所以的取值范围是所以选B【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，分式型取值范围的求法，属于中档题。 二、填空题9．设全集，，，则实数的值为______________．【答案】3【解析】因为，所以=，两个集合相等，所有元素都一样，所以，解得m=3,填3.10．已知集合满足的集合C的个数为_________.【答案】4【解析】【分析】用枚举法将所有可能的情况列举出即可.【详解】由题意得,所有集合C可能的情况有共4个故答案为：4【点睛】本题主要考查集合之间的基本关系,属于基础题型.11．定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若集合A＝{x|2x＋1>0}，集合B＝{x|<0}，则集合A－B＝____________.【答案】{x|x≥2}【解析】【分析】分别求出集合A,B后，再根据所给的定义求解可得所求的集合．【详解】由题意得，，所以． 故答案为．【点睛】本题考查集合中的新运算问题，考查阅读理解和运算能力，解题的关键是读懂题意，然后再结合新运算进行解题，必要时要结合数轴进行求解．12．不等式的解集是________________.【答案】【解析】【分析】将移动到不等式的左边，通分后利用分式不等式的解法来求得不等式的解集.【详解】原不等式可化为，，解得或.【点睛】本小题考查分式不等式的解法，要记住把分式不等式一边化为，再来解不等式，属于基础题.13．若，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】2【解析】如图作出可行域：令，即当直线经过B点时，纵截距最小，即t最大，此时即的最大值为2故答案为：214．已知下列命题：①函数有最小值2；②“”的一个必要不充分条件是“”；③函数在点处的切线方程为.其中正确命题的序号是__________．【答案】③【解析】【分析】①设 ， ，利用对勾函数的单调性可得结果；②“”⇒“”，反之不成立，即可判断出正误；③函数，，，，即可得出函数在点处的切线方程，即可判断出正误.【详解】 ，设 ， 在上为增函数， 的最小值为，①错误； ② ，“”的一个必要不充分条件是“”，错误；③函数，，，，∴函数在点处的切线方程为，正确；故答案为③【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程，考查了推理能力，属于中档题.15．已知实数满足，则当取得最小值时，__________．【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域（如图内部）所示。令，则。平移直线，由图形可得，当直线经过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值。由 解得。∴。答案： 三、解答题16．已知R，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若且为假，或为真，求的取值范围；【答案】（1）[1,2] （2）（－∞,1）∪（1,2]【解析】试题分析：（1）由对任意，不等式恒成立，知，由此能求出的取值范围；（2）存在，使得成立，推导出命题满足，由且为假，和为真，知、一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.试题解析：（1）∵对任意x∈[0,1],不等式2x－2≥m2－3m恒成立,∴（2x－2）min≥m2－3m．即m2－3m≤－2．解得1≤m≤2．因此,若p为真命题时,m的取值范围是[1,2]．（2）存在x∈[－1,1],使得m≤x成立,∴m≤1,命题q为真时,m≤1．∵p且q为假,p或q为真,∴p,q中一个是真命题,一个是假命题．当p真q假时,则解得1＜m≤2;当p假q真时, 即m＜1．综上所述,m的取值范围为（－∞,1）∪（1,2]．17．已知克的糖水中有克的糖（），若再添上克糖（），则糖水就变甜了．试根据这个事实提炼一个不等式并加以证明．【答案】详见解析【解析】【分析】根据题干知道本题需要证明，，，直接利用作差法证明即可。【详解】不等式，其中，，证明：【点睛】本题考查两个代数式的大小的比较，解决本类题的常用方法是作差法，作差法比较大小四步曲：作差-化简-比较-得出结论，本题的结论可以适当加以记忆：糖水加糖甜更甜；属于基础题。18．已知命题： ，命题： .（1）若，求实数的值；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)2;(2) 实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）. 【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合化简后，由，借助于数轴列方程组可解的值；（2）把是的充分条件转化为集合和集合之间的包含关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解的取值范围.试题解析：（1）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，由A∩B=∅，A∪B=R，得 ，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；（2）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．19．已知命题p：关于的方程有实根；命题q：关于的函数在是增函数，若为真，为假，求a的取值范围.【答案】【解析】【分析】命题p：，解得的范围；命题q：对称轴，解得的范围；若为真，为假，则命题p与命题q一真一假，分类讨论求出的范围.【详解】解：命题p：关于x的方程有实根，则，解得； 命题q：关于的函数在是增函数，所以对称轴，解得.若为真，为假，则p与q必然一真一假，所以.，或，解得，所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查二次函数的单调性，一元二次方程根与判别式的关系，简单逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力.20．，非空集合，集合．（1）时，求；（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（∁UB）∩A＝[，）；（2）a或【解析】【分析】（1）先求出集合A、B，再求出∁UB，借助数轴求出，（∁UB）∩A．（2）由题意可知A⊆B，B＝{x|a＜x＜a2+2}，借助数轴列出A⊆B时区间端点间的大小关系，解不等式组求出a的范围．【详解】（1）对于集合A，（x）（x）＜0，解得，x，所以A＝（，），当a时，对于集合B：（x﹣）（x﹣）＜0，解得＜x，所以B＝（，），所以∁UB＝（﹣∞，]∪[，+∞），所以（∁UB）∩A＝[，）；（2）若是的必要条件，可知A⊆B．由a2+2＞a，得 B＝{x|a＜x＜a2+2}．故，解得：a或综上所述a的取值范围为a或【点睛】本题考查集合间的交、并、补运算方法以及A⊆B时2个区间端点之间的大小关系（借助数轴列出不等关系），体现了分类讨论的数学思想．21．非空有限集合是由若干个正实数组成,集合的元素个数.对于任意，数或中至少有一个属于，称集合是“好集”:否则,称集合是“坏集”.（1）判断和是“好集”,还是“坏集”；（2）题设的有限集合中,既有大于1的元素,又有小于1的元素,证明:集合是“坏集”.【答案】（1）是“坏集”；是“好集”.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“好集”和“坏集”的定义进行判断即可；（2）利用小于的所有元素中的最小元素以及大于的所有元素中的最小元素，根据定义以及指数函数的单调性进行证明即可.【详解】（1）且是“坏集”；中任意两个元素，满足且数或中至少有一个属于，是“好集”.（2）若是中小于1的元素中的最小元素，是中大于1的元素中的最小元素，则由指数函数的单调性可得：，从而且，∴集合是“坏集”.【点睛】本题考查集合的新定义问题，难度一般.对于新定义的集合问题，首先要理解新定义的内容，然后在求解问题时，利用结合集合以外的知识解答问题.本例中定义的“好、坏集”，实际上是研究元素与集合的关系，中间借助指数函数的相关内容解答问题.
