2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．已知x，y满足则2x-y的最大值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线围成的三角形及内部区域，顶点坐标为，当过点时取得最大值2考点：线性规划问题2．不等式的解集为（    ）A．      B． C．     D．【答案】D【解析】试题分析：原不等式等价于，变形为，且，所以根据穿线法，得到解集：考点：1．分式不等式的解法；2．高次不等式的解法．3．若函数满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为（ ）A．8    B．9    C．10    D．13【答案】B【解析】试题分析：由可知函数是周期为2的周期函数. 画出函数和的图像,由图像可知函数在上有9个零点.故B正确.考点：数形结合思想.4．设，则等于（      ）A． B． C． D．【答案】B【解析】,..故选B.5．下列判断错误的是A．若随机变量服从正态分布，则B．“R，”的否定是“R，”C．若随机变量服从二项分布：，则D．“<”是“a<b”的必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】根据题目可知，利用正态分布的对称性、含有一个量词的命题的否定、二项分布的变量的期望值公式以及不等式的基本性质逐项分析，得出答案。【详解】（1）随机变量服从正态分布，故选项正确。（2）已知原命题是全称命题，故其否定为特称命题，将换为，条件不变，结论否定即可，故B选项正确。（3）若随机变量服从二项分布：，则，故C选项正确。（4）当时，“a<b”不能推出“<”，故D选项错误。综上所述，故答案选D。【点睛】本题是一个跨章节综合题，考查了正态分布的对称性、含有一个量词的命题的否定、二项分布的变量的期望值公式以及不等式的基本性质四个知识点。6．“”是“”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，能够推出，故选A.7．若两个正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由，展开后利用基本不等式即可得解.【详解】因为两个正实数，满足所以，当且仅当时取等号，又恒成立，故，解得．故选C．【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用．8．已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则（ ）A．AB    B．BA    C．A=B    D．A∩B=【答案】B【解析】试题分析：集合是的真子集考点：集合间的关系  二、填空题9．. 已知集合,有下列命题①若　则；②若则；③若则的图象关于原点对称；④若则对于任意不等的实数，总有成立.其中所有正确命题的序号是            【答案】②③【解析】【分析】①②直接验证是否符合集合的公共属性；③要证明为奇函数；④要说明其单调性，来判断其是否一定是减函数，可用特列。【详解】①取可知，不符合集合的公共属性；② ， ，③令，得令，则 ，有， 的图象关于原点对称。④如，但是在定义域上不是减函数综上，所有正确命题的序号是②③。10．已知集合 ,则集合的子集共有      个．【答案】4【解析】试题分析：当集合中元素个数为时，其子集的个数为 个，中元素个数为个，故子集个数为．故本题答案为 ． 考点：子集11．已知非空集合满足以下两个条件： （ⅰ）；（ⅱ）集合的元素个数不是中的元素，集合的元素个数不是中的元素.那么用列举法表示集合为_______ .【答案】或【解析】根据题意可以分情况讨论，当集合A中有一个元素时，若 ，则，不符合集合的元素个数不是中的元素，这一条件；若A 符合条件。，此时不符合条件。当集合A中有两个元素时，2这个数字不能属于A集合，也不能属于B集合。不满足条件。当集合A中有3个元素时， 符合条件。故结果为集合为：或。12．给出以下4个命题，其中所有正确结论的序号是________（1）当为任意实数时，直线恒过定点，则焦点在轴上且过点的抛物线的标准方程是．（2）若直线与直线垂直，则实数；（3）已知数列对于任意，有，若，则；（4）对于一切实数， 令为不大于的最大整数，例如：，则函数称为高斯函数或取整函数，若，为数列的前项和，则.【答案】（4）【解析】【分析】对于（1），可先求出的坐标，再用待定系数法求出抛物线的方程后可判断其正确与否； 对于（2），利用两条直线垂直的判断方法求出后可判断命题的真假；对于（3），为等差数列，利用公式可求后可判断其真假与否；对于（4），可先求出的通项，求出判断其真假与否.【详解】对于（1），直线过，因为抛物线的焦点在轴上，故设抛物线的方程为，代入得， 故抛物线的方程为，故（1）错； 对于（2），因为两直线垂直，故，故或，故（2）错；对于（3），因为，故，故为等差数列，首项、公差均为，所以，故（3）错；对于（4），当时，有，故，故（4）对，综上，填（4）【点睛】数列求和，关键是求出通项，依据通项的形式选择合适的求和方法.而抛物线方程的求法，应依据焦点的位置合理假设方程的形式.13．已知实数满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：首先画出可行域为：令表示可行域内一点到直线的距离．由图得，，所以的取值范围是．考点：1．线性规划；2．点到直线的距离；14．“”是“直线与直线垂直”的         条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．【答案】必要不充分【解析】试题分析：直线与直线垂直时，因此“”是“直线与直线垂直”的必要不充分条件．考点：充分必要条件．15．集合，若，则实数的取值范围是__【答案】【解析】分析：求出A中不等式的解集确定出A，表示出B中不等式的解集，根据A与B的交集为空集，分两种情况考虑：B为空集与B不为空集，求出满足题意a的范围即可．详解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）≤0，且x+1≠0，解得：﹣1＜x≤4，即A=（﹣1，4]，由B中不等式解得：2a＜x＜a2+1，即B=（2a，a2+1），∵A∩B=∅，∴分两种情况考虑：当B=∅时，2a=a2+1，即a=1；当B≠∅时，则有2a≥4或a2+1≤﹣1，即a≥2，综上，实数a的范围为{1}∪[2，+∞）．故答案为{1}∪[2，+∞）．点睛：（1）本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答集合的运算问题时，不要遗漏了空集的情况，所以本题要分B为空集与B不为空集两种情况讨论.16．点是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：将不等式化为，只需求出的最大值即可，令，就是满足不等式的最大值，由简单的线性规划问题解法，可知在处取最大值3，则m取值范围是.考点：简单的线性规划和转化思想. 三、解答题17．某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元．（1）若该经适楼房每幢楼共层，总开发费用为万元，求函数的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；（2）要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低，每幢楼应建多少层？【答案】（1）；（2）13【解析】【分析】（1）利用等差数列的前项和公式可得 ．（2）由（1）可得，利用基本不等式可得时有最小值，因且，故可得经适楼建为13层时，每平方米平均开发费用最低．【详解】（1）由已知，每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为：（万元），从第二层开始，每幢每层的建筑总费用比其下面一层多：万元），每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以75为首项，2 为公差的等差数列，所以函数表达式为：， ．（2）由（1）知经适楼房每平方米平均开发费用为： （元）当且仅当，即时等号成立，但由于，验算：当时， ，当时，．答：该经适楼建为13层时，每平方米平均开发费用最低．【点睛】本题是以等差数列为背景的应用题，解题时注意数学模型的合理构建，求数学模型的最值时，应该借助基本不等式寻找函数在上的最小值．18．已知实数x，y满足.(1)求ω＝x2＋y2的最大值和最小值；(2)求t＝的最大值、最小值．【答案】（1）13,0.8；（2）3，.【解析】试题分析：首先画出不等式组表示的平面区域，关键目标函数的几何意义求最值．（1）目标函数看作区域内的点到原点距离平方的最值；（2）表示过(−1,−1)以及区域内的点的直线的斜率.试题解析：由已知不等式组表示的平面区域如图 (1) ω＝x2＋y2表示区域内的点到原点距离平方的最值,所以最大值为B的原点距离的平方,为；最小值是A的原点距离的平方，为1.(2) t＝表示过(−1,−1)以及区域内的点的直线的斜率,所以最大值为与C连线的斜率为,最小值为与A连线的斜率为；点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.19．已知集合，，.(1)求；(2)若且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求解出集合中表示元素的范围，然后求解出，再根据交集运算求解出；（2）根据、分别求解出的范围，然后取交集即可得到的取值范围.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，又因为，所以；（2）因为，，，所以，又因为，，所以，所以.【点睛】本题考查集合间的基本运算，难度一般.对于集合，若，则有；若，则有.20．解不等式：x＋|2x－1|＜3.【答案】{x|－2＜x＜}【解析】原不等式等价于:x-3<2x-1<3-x,∴-2<x<,解集为(-2,).视频21．（本小题12分）已知，求（Ⅰ）的取值范围;（Ⅱ）的最小值．【答案】（Ⅰ）的取值范围是；（Ⅱ）的最小值是．【解析】试题分析：（Ⅰ）的几何意义是：可行域中的点与定点的斜率；先求出可行域的边界点，数形结合可求的取值范围是；（Ⅱ）的几何意义：可行域中的点与点的距离的平方，由点到直线的距离公式可得最小值是．．试题解析：（Ⅰ）三条直线的交点分别是，，表示点到两点斜率的取值范围．,的取值范围是（Ⅱ）表示到可行域中的点的距离的平方最小值，到直线的距离的平方为是最小的．考点：1、线性规划问题；2、点到直线的距离．22．已知等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，当时，比较和的大小．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式；（2）由（1）得，利用等差数列的求和公式可得；（3）分别求得和，作差比较即可得到大小关系．【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，化简得①．由，得，得②．由①②解得：，，则．则数列的通项公式为．（2）由（1）得，①当时，，；②当且时，，两式作差得：有：有：有：得由上知．（3）由（1）得由，由（2）得当时，，令．则．由，有，得，故单调递增．又由，故，可得．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，也考查了错位相减法求数列的和，分类讨论思想和作差比较大小的问题，属于中档题．