2019届二轮复习三视图学案（全国通用）
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2019届二轮复习 三视图 学案 （全国通用）
【母题 一】【2018高考新课标1理数7】
【母题原题】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为
A. B.
C. D. 2
【答案】B
【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.
详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，
可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，
所以所求的最短路径的长度为，故选B.
点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.
【母题 二】【2017高考新课标1理数7】
【母题原题】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A． 10 B． 12
C． 14 D． 16
【答案】B
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B.
点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.
【母题 三】【2016高考新课标1理数6】
【母题原题】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
【答案】A
【解析】
由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
【考点】三视图及球的表面积与体积
【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.
【命题意图】
1.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图．
2.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形式．
3.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化.
【答题模板】
（1）三视图的长度特征，三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”
（2）空间想象能力与多观察实物相结合是解决此类问题的关键．
（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
（4）还要注意画直观图时长度的变化．
（5）求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积.
【方法总结】
1.空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图.
2.空间几何体的直观图
画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°).
(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴.
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.
(4)在已知图形中过O点作 轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的 ′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中仍平行于 ′轴且长度不变.. ]
1．【山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲刺模拟考试（二）】一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形.则这个几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成.长方体的体积为， ]
三棱锥的体积为,
所以几何体的体积为.
本题选择B选项.
点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
2．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析: 由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥P﹣ABC，底面三角形ABC是等腰直角三角形，然后由棱锥体积公式求解．
详解: 由三视图还原原几何体如图：
点睛: 三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
3．【山东省肥城市2018届高三适应性训练】三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
4．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】我国古代数学名著《九章算术》记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无丈.刍,草也；薨,屋盖也.”翻译为:“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图,为刍甍的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则它的体积为（ ）
A. B. 160 C. D. 64
【答案】A
【解析】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.
详解：
点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
5．【江西省临川一中2018届高三模拟考试】如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：首先把三视图转化为立体图，然后根据三视图中的线段长和线面的关系，求出锥体的体积
详解：首先把几何体的三视图复原成立体图形
点睛：本题考查的知识要点：三视图与立体图的相互转化，求立体图的体积，锥体的体积公式的应用，属于基础题型．思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
6．【四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试】在正方体中，M，N，P分别为棱、、的中点（如图），用过点M，N，P的平面截去该正方体的顶点所在的部分，则剩余几何体的正视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
点睛：本题主要考查空间三视图得识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键.
7．【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：从三视图看，原来的几何体是一个四棱锥，它按如图所示的形式放置．
详解：几何体如图所示，其中为等腰直角三角形，平面平面，四边形为矩形且面积为，点到平面的距离为，
故体积为，故选B．
点睛：本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．
8．【河北省石家庄二中2018届高三三模】如图， 格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
四棱锥的表面积
故选A。
点睛：（1）当已知三视图去还原成几何体时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性．
（2）表面积计算中，三角形的面积要注意正弦定理和余弦定理的运用。
9．【河南省2017-2018学年 高三最后一次模拟考试】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）
]
A. B. C. D.
【答案】A
，
所以表面积，故选A.
点睛： 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 学 ]
10．【安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试】如图，在正方体中， 为的中点，则在该正方体各个面上的正投影可能是( )
① ② ③ ④
A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①④
【答案】D
点睛：本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成．
11．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性训练】一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
【答案】D
点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体体积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)通过三视图找几何体原图常用的有直接法和模型法，本题利用模型法比较方便.
12．【山东省日照市2018届高三校际联考】如图，虚线小方格是边长为的正方形，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
故选：B．
点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．
13．【安徽省江南十校2018届高三冲刺联考（二模）】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
点睛：由三视图还原几何体时，首先要掌握基本几何体的三视图，其次对多面体来讲，可先画一个长方体（或正方体），然后在长方体（或正方体）上取点连线，想象其三视图，用这种方法可以很方便地得出原几何体．
14．【山东省潍坊市2018届高三第三次高考模拟考试】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的外接球的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.
15．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
点睛: 三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
16．【峨眉山市第七教育发展联盟2018届高考适应性考试】某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为4的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( ）
A. B. C. D. 32
【答案】A
心。
所以选A
点睛：本题考查根据三视图确定几何体的空间结构，空间几何体体积的求法。属于简单题目。
