2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．已知x＞﹣2，则x+的最小值为（　　）A．﹣ B．﹣1 C．2 D．0【答案】D【解析】 ,（当且仅当 时等号成立）,所以的最小值为 ，故选D.【易错点晴】利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.2．给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a ≤ b，则2a ≤ 2b﹣1”；③“x∈R，”的否定是“x∈R，；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（  ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】试题分析：本题综合考察命题的判断，否命题，命题的否定，充分必要条件，难度简单．从“且”命题的真假判断法则可知，命题①是假命题；从否命题的概念，可知命题②是真命题；从特称命题的否定的概念可知，命题③是假命题；在三角形这个前提下，综合三角形的边角关系和正弦定理可知，命题④是真命题，故选C．考点：命题的判断，否命题，命题的否定，充分必要条件．3．已知全集，函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，则集合（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】,,.4．命题p：x>0，，则是A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】试题分析：是考点：本题考查命题的否定点评：全称命题的否定将任意改为存在，否定结论5．已知，则取最大值时的值为（　　）．A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：由，利用基本不等式可得结果.详解：∵，∴，当且仅当时取等号．∴取最大值时的值为．故选．点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.6．不等式的解集为（   ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据分式不等式解法，化为一元二次不等式，进而通过穿根法得到不等式解集。【详解】不等式可化简为 且 根据零点和穿根法，该分式不等式的解集为 所以选A【点睛】本题考查了分式不等式的解法，切记不能直接去分母解不等式，属于基础题。  二、填空题7．已知对一切上恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【详解】可化为，
令，由，得，
则，
在上递减，当时取得最大值为，
所以．
故答案为．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.8．已知“”是“”的充分不必要条件，且，则的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】先求解指数不等式，再运用充分不必要条件求解范围.【详解】，则由题意得，所以能取的最小整数是．【点睛】本题考查指数不等式和充分不必要条件，属于基础题.9．已知集合，，则______，______．【答案】        【解析】【分析】解一元二次方程化简集合，用列举法表示集合，再进行集合的并、交运算.【详解】因为，，所以，.故填：；【点睛】本题考查集合的表示及基本运算，考查基本运算求解能力.10．已知函数，若对任意的，恒有，则实数a的最大值为______．【答案】1【解析】【分析】利用参变分离得在上恒成立，结合双勾函数性质求出的最小值即可．【详解】解：由题意知：在上恒成立所以在上恒成立又因为函数在上单调递减，在上单调递增所以当时，最小为2所以，即所以的最大值为1故答案为：1．【点睛】本题主要考查二次函数的恒成立问题，参变分离法是一个好方法，可以避免分类讨论，本题属中档题．11．下列命题中（1） 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若它的终边经过点，则－7.（2）若，则“”是“”的必要不充分条件.（3）函数的最小值为2.（4） 曲线y＝x2－1与x轴所围成图形的面积等于.（5）函数的零点所在的区间大致是. 其中真命题的序号是____________．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由三角函数定义求得tanα即可求得tan（2α+）的值；（2）判断充分性和必要性是否成立即可；（3）根据对勾函数的性质求出函数y的最小值即可；（4）由二次函数图象的对称性以及定积分的几何意义求得对应图形的面积；（5）由函数的性质与根的存在性定理求得函数零点所在的大致区间．【详解】对于（1），由已知，tanα=，∴tan2α===，∴tan（2α+）===﹣7，∴（1）正确；对于（2），由a∈R，则“＜1”时，有a＜0或a＞1，充分性不成立；“a＞1”时，有＜1，必要性成立，是必要不充分条件，（2）正确；对于（3），设t=，则t≥3，且f（t）=t+在[3，+∞）上单调递增，∴f（t）的最小值是f（3）=，∴函数y=+（x∈R）的最小值为，∴（3）错误；对于（4），由二次函数图象的对称性知，曲线y=x2﹣1与x轴所围成图形的面积为S=2×（﹣（x2﹣1）dx）=2×（x﹣x3）=，∴（4）错误；对于（5），函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上单调递增，且f（8）＜f（9）＜0＜f（10），∴f（x）的零点所在的区间大致是（9，10），∴（5）错误．综上，真命题的序号是（1）、（2）．故答案为：（1）（2）．【点睛】分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．12．已知集合，，则_________.【答案】【解析】【分析】根据交集的定义即可写出答案。【详解】，，故填【点睛】本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题。13．已知集合A＝｛y｜y＝x2－2x－3，x∈R｝，B＝｛y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R｝，则A∩B＝____．【答案】【解析】试题分析：两集合为函数的值域，考点：1．集合值域；2．集合的交集14．已知命题：①设随机变量，若，则；②命题“”的否定是“”；③在中，的充要条件是；④若不等式恒成立，则的取值范围是；⑤若对于任意的恒成立，则实数的取值范围是；以上命题中正确的是______（填写所有正确命题的序号）．【答案】①⑤【解析】试题分析：①，，，故①对；②命题“”的否定是“”，故②错；③中当时不等式不成立，故③错；④中，，，故本题错；⑤若对于任意的恒成立，恒成立，令在上单调递减；在上单调递增，，，所以的取值范围是成立.故本题正确为①⑤.考点：命题的真假判断与应用.【易错点睛】本题主要考查简易逻辑，考查的知识点多，需要较好的基础，属于常考题型. 对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.命题的真假判断涉及的知识点多，面广，起到了桥梁的作用，学生须仔细分别.本题难度中等.15．给出下列四个命题：①命题“”的否定是“”；②在空间中，是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，如果，，那么；③将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；④函数的定义域为，且，若方程有两个不同实根，则的取值范围为．其中真命题的序号是________．【答案】③④【解析】【详解】试题分析：对于①中，命题“”的否定是“”，所以是错误的；对于②，在空间中，是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，如果，，那么与的关系是或或与相交，所以不正确；对于③中，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，所以是正确的；对于④中，函数的定义域为，且，当时，函数；当时，函数，当时，，类比有，也就是说，的部分是将的部分，周期性向右平移个单位长度得到的，若方程有两个不同实根，则的取值范围为，所以是正确的． 三、解答题16．设关于的不等式的解集为A．（1）若,求A；（2）若A,求实数的取值范围；（3）若“”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】试题分析：（1）将其十字相乘法分解因式,根据图像即可求解不等式．（2）由题意可知其抛物线开口向上应与轴有交点,从而可得的范围．（3）“”是“”的必要不充分条件时是的真子集．即1,2均满足此不等式,但应注意等号不能同时成立．试题解析：解：（1）时,不等式为,,解得．所以．（2）时,即,解得或．（3）依题意可知是的真子集．则（等号不同时成立）,解得．考点：1一元二次不等式；2充分必要条件．17．设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．【答案】（1）﹣2＜a＜﹣1或a≥2．（2）2≤m≤3．【解析】试题分析：（1）先分别求出p真，q真时的x的范围，再通过讨论p真q假或p假q真的情况，从而求出a的范围；（2）根据M、N的关系，得到不等式组，解出即可．解：（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R∴x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，∴△=a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2，若q真，则a≥﹣1，∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真∵或，解得：﹣2＜a＜﹣1或a≥2．（2）∵M∪N=M∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（﹣2，2）∴，解得：2≤m≤3．考点：复合命题的真假．18．已知函数，p：，q：|f(x)－m|<2，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】【解析】【分析】根据两角和与差的公式进行化简，再由x的范围求出2x的范围，再结合正弦函数的性质可求出的范围，再由题意可得在的条件下，得恒成立，继而得到只需成立，解得即可．【详解】∵f（x）＝2[1﹣cos（2x）]﹣2cos2x﹣1＝2sin2x﹣2cos2x+1＝4sin（2x）+1．又∵x，∴2x，即3≤4sin（2x）+1≤5，即3≤f（x）≤5，由条件q可得，∵p是q的充分条件，∴只需成立，即3＜m＜5，∴m的取值范围为（3，5）【点睛】本题主要考查两角和与差的公式的应用和正弦函数的性质，熟记公式准确计算是关键，注意充分条件转化为子集关系的应用，是基础题19．随着国家政策对节能环保型小排量车的调整,两款1.1升排量的型车和型车的销量引起市场的关注。已知2010年1月型车的销量为a辆,通过分析预测,若以2010年1月为第1月,其后两年内型车每月的销量都将以1%的比率增长,而型车前个月的销售总量大致满足关系式:.（1）求型车前个月的销售总量的表达式;（2）比较两款车前个月的销售总量与的大小关系;（3）试问从第几个月开始型车的月销售量小于型车月销售量的20%,并说明理由.(参考数据:, )【答案】（1）(,且).（2）.（3）10【解析】试题分析：（1）由题意知型车每月的销售量成等比数列，根据等比数列的知识可得前个月的销售总量．（2）通过作差法比较可得．（3）由题意得，当时，．当时，，显然成立．当时，若，则，根据题中数据可得，即从第10个月开始，型车月销售量小于型车月销售量的20%．试题解析： （1）由题意知型车每月的销售量是以首项，公比为的等比数列．∴前个月的销售总量(，且)．（2），又，∴．（3）记、两款车第个月的销量分别为且，则，当时，．当时，，显然．当时，若，则有，即，∴，解得．又，∴，即从第10个月开始，型车月销售量小于型车月销售量的20%．20．设全集为R，集合,(1)求 .(2)已知集合,若,求实数的取值范围.【答案】(1) {x|3≤x<6} (2) 【解析】【分析】（1）根据交集运算求解即可（2）由子集概念，分两类讨论，当可得集合B,C端点的相对关系，写出求解即可.【详解】(1)易知A∩B={x|3≤x<6}(2)∵C⊆B,当时，，解得；当时，，，∴实数a的取值范围为.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，分类讨论的思想，属于中档题.21．（本题共12分）设，， 。（1）求的值及；（2）设全集，求 （∁I A）（∁I B）；（3）写出（∁I A）（∁I B）的所有子集。【答案】（1） （2）（∁I A）（∁I B）=（3）【解析】试题分析：此题的主要任务是要弄清楚集合中的元素要满足的条件，会求集合的补集，会求集合的并集，理解集合的子集，弄清楚让写的是什么.由得是集合中的元素，找出所满足的等量关系式，从而求出的值，再就是根据的值，可以得出两个集合中对应的方程，从而求出对应的解，即集合中的元素就随之而确定，全集确定后，补集就能随之求出，根据集合的运算法则，从而求出相应的结果.试题解析：（1）..3分..6分（2）（∁I A）（∁I B）=。 ...9分（3）由（2）知（∁I A）（∁I B）的所有子集有：。 ..12分考点：集合与元素的关系，集合的交并补运算.