2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．已知全集，集合，集合，则集合（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：根据交集与补集的定义计算即可．详解：全集，集合，集合，，集合，故选D．2．命题“所以奇数的立方是奇数”的否定是（ ）A．所有奇数的立方不是奇数 B．不存在一个奇数，它的立方不是奇数C．存在一个奇数，它的立方不是奇数 D．不存在一个奇数，它的立方是奇数【答案】C【解析】考点：命题的否定．专题：规律型．分析：本题中所给的命题是一个全称命题，书写其否定要注意它的格式的变化，即量词的变化，写出它的否定命题，再对比四个选项得出正确选项解答：解：命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数，它的立方不是奇数”故选C点评：本题考查命题的否定，解答本题关键是正解全称命题的否定命题的书写格式，结论要否定，还要把全称量词变为存在量词．3．给出下列三个命题：①“若，则”为假命题；②若为假命题，则均为假命题；③命题，则，其中正确的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】试题分析：“若，则”的逆否命题为“若，则”，为真命题；若为假命题，则至少有一为假命题；命题，则，所以正确的个数是1，选B.考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可.4．已知集合，则等于 （    ）A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】 或，故选A. 5．“”是“对任意的正数，”的(    )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，可利用基本不等号式证明是恒成立，而对任意的正数恒成立时，，从而可得两者之间的条件关系.【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，所以.当对任意的正数，恒成立时，则，所以，推不出.所以“”是“对任意的正数，”的充分不必要条件.故选A【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.6．已知集合，则（ ）A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】试题分析：由已知得，或，故，选A．【考点定位】1、一元二次不等式解法；2、集合的运算．   二、填空题7．若实数满足不等式组，目标函数.若，则的最大值为      ；若存在最大值，则的取值范围为           ． 【答案】6，【解析】试题分析:当时，不等式组表示的可行域为：当目标函数平移到点时值最大，最大值为6；若存在最大值，不等式组对应的可行域应当是一个封闭的图形，直线与直线是不变的，而直线是变动的但是直线经过定点，所以要使不等式组对应的可行域应当是一个封闭的图形，应满足直线的斜率满足即.    考点：线性规划的应用.8．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】试题分析：函数在区间上有三个零点，即与的图象在区间上有三个交点．在同一坐标系内，画出两函数的图象，如图所示，当直线夹在过点及的切线之间时，符合题意．，设与的切点为，由，切线的斜率为的斜率为，所以．考点：1．函数与方程；2．函数的图象；3．导数的几何意义．9．有下列几个命题：①若，则；②“若则”的逆命题；③“若，则互为相反数”的否命题；④“若，则互为倒数”的逆否命题. 其中真命题的序号是________.【答案】③④【解析】【分析】①通过不等式的性质判断；②通过逆命题的定义判断；③通过否命题的定义判断；④通过逆否命题的等价转化判断.【详解】解：①当时，，所以命题是假命题；②逆命题为：若，则，当c=0时，命题不成立，所以逆命题为假命题；③否命题为：若，则不互为相反数，是真命题；④因为“若，则互为倒数”是真命题，所以逆否命题也为真命题.故答案为：③④.【点睛】本题考查命题真假的判断，属于基础题.10．命题“若，则”的逆否命题为          ．【答案】若，则【解析】试题分析：逆否命题就是把条件结论交换，并都加以否定所得命题，因此原命题的逆否命题是“若，则”．考点：四种命题．11．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为____________．【答案】6【解析】【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为.【点睛】本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同.对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.12．已知点P (x，y) 满足条件（为常数），若的最大值为8，则   .【答案】【解析】试题分析：依题意且不等式组表示的平面区域如图所示．易得，B（）．目标函数可看作直线在y轴上的截距的3倍，显然当直线过点B是截距最大，此时z也取得最大值．所以，解得，．考点：线性规划求最值．【易错点睛】线性规划求最值和值域问题，首先作出不等式组表示的平面区域，然后分析目标函数的几何意义，最后求最值和值域．易错点是，目标函数转化为直线的截距时（例本题中），斜率为与不等式组中斜率为-2的直线的相对位置容易出错，这样导致最大值与最小值恰好做反．13．满足线性的约束条件的目标函数的最大值为________【答案】1【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，将直线进行平移，利用的几何意义，可求出目标函数的最大值。【详解】由，得，作出可行域，如图所示：平移直线，由图像知，当直线经过点时，截距最小，此时取得最大值。由 ，解得 ，代入直线，得。【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。 三、解答题14．已知，且，求实数组成的集合C.【答案】【解析】【分析】由条件可得,分和,分别求出,再由,求得的值,即可得到实数的值所组成的集合.【详解】由得或2 ，①当时，，合题意②当此时或解得：或综上，由①②可知或1或2【点睛】本题主要考查集合的并集、集合的子集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.15．已知集合，集合．（1）求集合与集合；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）．【解析】试题分析：（1）分式不等式优先考虑分解因式得：然后用数轴穿根法得出解；（2）由题意知，注意讨论的情形，当时，结合数轴写出满足的关系，求出的取值范围．试题解析：（1），当时，即时，；当时，即时，；（2），当时，满足题意；当时，；或，解得，或；综上所述，．考点：1、分式不等式；2、绝对值不等式；3、集合的交集；4、集合的子集．16．“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对石山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过3万元）．已知加工此批农产品还要投入成本万元（不包含推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为元/件．（1）试将该批产品的利润万元表示为推广促销费万元的函数；（利润销售额成本推广促销费）（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？【答案】(1)详见解析;(2) 当推广促销费投入2万元时，利润最大为14万元.【解析】试题分析：（1）结合题意可得；（2）由，通过变形利用基本不等式可得，即得最大利润为14万元。试题解析：（1）由题意知                                          （2）由（1）得 ，当且仅当且，即时等号成立。当时，。                                答：当推广促销费投入2万元时，利润最大为14万元.17．已知，，．若是的必要不充分条件，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】【解析】【分析】先设命题，，所对应的集合分别为，，，再确定，，，再由是的必要不充分条件，且是的充分不必要条件可得，，再列不等式组求解即可.【详解】解：解一次不等式，得，解分式不等式，得，解二次不等式，得，记，，中的取值构成的集合分别为，，，由于是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则，，结合数轴应有，解得，故实数的取值范围是：.【点睛】本题考查了一次不等式、分式不等式、二次不等式的解法及充要条件与集合间的包含关系，属中档题.18．已知是的两个内角，＝ ＋ （其中,是互相垂直的单位向量），若││＝.（1）试问是否为定值，若是定值，请求出，否则请说明理由;（2）求的最大值，并判断此时三角形的形状.【答案】（1）见解析；（2）最大值为，此时三角形为有一顶角为的等腰三角形【解析】【分析】（1）先利用向量数量积的运算性质，将转化为三角方程，再利用二倍角公式和两角和差的余弦公式将方程化简，即可求得tanA•tanB的值；（2）求tanC的最大值即求tan（A+B）的最小值，利用两角和的正切公式及（1）中结论，即可利用均值定理求得tan（A+B）的最小值，利用均值定理等号成立的条件，即可求得此时三角形的形状【详解】（1）tanA•tanB为定值，证明如下：由＝，因为 是互相垂直的单位向量，得＝∴1+cos（A+B）+＝即2cos（A+B）＝cos（A﹣B），即cosAcosB＝3sinAsinB∴tanAtanB＝（2）∵tanAtanB＝＞0，∴tanA＞0，tanB＞0∴tan（A+B）＝＝（tanA+tanB）≥×2＝∴tan（A+B）≥，即﹣tanC≥,∴tanC≤﹣当tanC＝﹣时，，即tanA＝tanB＝∴A＝B＝30°∴tanC的最大值为﹣，此时△ABC为等腰三角形.【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质及其应用，三角变换公式在三角化简和求值中的应用，利用均值定理求函数的最值的方法，属于中档题.19．已知，，，．（1）求的最小值（2）证明：．【答案】（1）3（2）见解析【解析】【分析】（1）根据基本不等式即可求出，（2）利用x2+y2+z2（x2+y2+z2+x2+y2+y2+z2+x2+z2），再根据基本不等式即可证明【详解】（1）因为，，所以,即，当且仅当时等号成立，此时取得最小值3．（2）．当且仅当时等号成立，【点睛】本题考查了基本不等式求最值和不等式的证明，属于中档题．20．已知集合函数的定义域为集合B，且，求实数的取值范围．【答案】或且【解析】试题分析：解关于的一元二次不等式可求得集合A的范围，由函数定义域解不等式可得B的范围，求解时需分两根的大小，利用得到两集合边界值的大小关系，从而得到关于实数的不等式，求得其取值范围试题解析：由题意可知：，且因为当①若时，或或当②若时，或或或综上，实数的取值范围是或且考点：1．一元二次不等式解法；2．分情况讨论；3．集合的交集运算21．设全集，已知集合，集合.（1）求；（2）若且,求实数的取值范围.【答案】（1）=；（2）（﹣∞，]．【解析】【分析】（1）由题意，利用补集的定义求；（2）利用集合的包含关系，讨论C是否是空集，从而求实数a的取值范围．【详解】（1）= （2）由（1）知，，又∵C⊆B；①当2a﹣1＜a，即a＜1时，C＝∅，成立；①当2a﹣1≥a，即a≥1时，解得1≤a，综上所述，a∈（﹣∞，]．【点睛】本题考查了集合的运算，同时考查了集合的包含关系的应用，注意空集的讨论与端点值，属于基础题．