河南省三门峡市外国语高级中学2020届高三模拟（四）考试数学（理）试卷


数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．复数（i为虚数单位）等于（　　）
A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i
【解答】解：＝＝﹣1﹣3i
故选：A．
2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁UB＝（　　）
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
【解答】解：对于∁UB＝{x|x≤1}，
因此A∩∁UB＝{x|0＜x≤1}，
故选：B．
3．如图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图．则下列说法不正确的是（　　）

A．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数
B．武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低
C．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天
D．2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人
【解答】解：对于A，由图可知18日病例1660人，19日615人，大幅下降至三位数，故A正确；
对于B，很明显，病例人数呈大幅下降趋势，故防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低，故B正确；
对于C，由图得到，病例低于400人的有2月20日、21日、23日、25日、26日、27日、3月1日、2日，共8天，故C正确；
对于D，由图病例最多一天人数1690人比最少一天人数111人多了1579人，故D错误．
故选：D．
4．若0＜a＜1，则（　　）
A． B．4a﹣1＞logaa
C．a1.1＞a D．
【解答】解：∵0＜a＜1，
∴＞0，4a﹣1＜1＝logaa，a1.1＜a，＞2＞log23，
故选：D．
5．已知实数x，y满足约束条件，则z＝（x﹣1）2+y2的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．
【解答】解：由题知可行域如图所示，

z＝（x﹣1）2+y2的几何意义表示可行域中点（x，y）与定点P（1，0）的距离的平方，
由图可得，最小值为．
故选：A．

6．设，，且，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由tanβ＝，
得：＝，
即sinβcosα＝cosβsinα+cosβ，
sin（β﹣α）＝cosβ＝sin（﹣β）；
又α∈（0，），β∈（0，），
∴β﹣α∈（﹣，），﹣β∈（0，），
∴β﹣α＝﹣β，
∴α﹣2β＝﹣．
故选：B．
7．“α＝+2kπ（k∈Z）”是“cos2α＝”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当a＝+2kπ（k∈Z）时，
cos2a＝cos（4kπ+）＝cos＝
反之，当cos2a＝时，
有2a＝2kπ+⇒a＝kπ+（k∈Z），
或2a＝2kπ﹣⇒a＝kπ﹣（k∈Z），
故选：A．
8．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（　　）
A．＝（1，0，0），＝（﹣2，0，0）
B．＝（1，3，5），＝（1，0，1）
C．＝（0，2，1），＝（﹣1，0，﹣1）
D．＝（1，﹣1，3），＝（0，3，1）
【解答】解：若l∥α，则•＝0，
而A中•＝﹣2，不满足条件；
B中•＝1+5＝6，不满足条件；
C中•＝﹣1，不满足条件；
D中•＝﹣3+3＝0，满足条件．
故选：D．
9．执行如图的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：执行程序框图，有
n＝0，0≤1，P＝1，Q＝3，n＝1；
n＝1，1≤3，P＝1+4＝5，Q＝7，n＝2；
n＝2，5≤7，P＝5+16＝21，Q＝15，n＝3；
n＝3，21≤15不成立，输出，n＝3；
故选：C．
10．在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（　　）
A．30 B．20 C．15 D．10
【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1＝C6rxr，
令r＝2可得，T3＝C62x2＝15x2，
∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，
在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．
故选：C．
11．过抛物线y2＝4x焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆（x﹣1）2+y2＝r2交于C，D两点，若有三条直线满足|AC|＝|BD|，则r的取值范围为（　　）
A． B．（2，+∞） C． D．
【解答】解：①当l⊥x轴时，过x＝1与抛物线交于（1，土2），与圆交于（1，土r），满足题设．
②当l不与x轴垂直时，设直线l：x＝my+1，（1）
代入y2＝4x，得y2﹣4my﹣4＝0，
△＝16（m2+1），
把（1）代入：（x﹣1）2+y2＝r2得y2＝．
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
∵|AC|＝|BD|，∴y1﹣y3＝y2﹣y4，y1﹣y2＝y3﹣y4，可得4 ＝，
r＝2（m2+1）＞2，
即r＞2时，l仅有三条．
故选：B．
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝（x+1）ex则对任意的m∈R，函数F（x）＝f（f（x））﹣m的零点个数至多有（　　）
A．3个 B．4个 C．6个 D．9个
【解答】解：当x＜0时，f（x）＝（x+1）ex，可得f′（x）＝（x+2）ex，可知x∈（﹣∞，﹣2），函数是减函数，x∈（﹣2，0）函数是增函数，
f（﹣2）＝，f（﹣1）＝0，且x→0时，f（x）→1，又f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）＝0，而x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＜0，
所以函数的图象如图：令t＝f（x）则f（t）＝m，
由图象可知：当t∈（﹣1，1）时，方程f（x）＝t至多3个根，当t∉（﹣1，1）时，方程没有实数根，
而对于任意m∈R，方程f（t）＝m至多有一个根，t∈（﹣1，1），
从而函数F（x）＝f（f（x））﹣m的零点个数至多有3个．
故选：A．

二．填空题（共4小题）
13．已知y＝f（x）+x2是奇函数，且f（1）＝1，若g（x）＝f（x）+2，则g（﹣1）＝　﹣1　．
【解答】解：由题意，y＝f（x）+x2是奇函数，且f（1）＝1，
所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2＝0解得f（﹣1）＝﹣3
所以g（﹣1）＝f（﹣1）+2＝﹣3+2＝﹣1
故答案为：﹣1．
14．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同．则双曲线的方程为　＝1　．
【解答】解：由双曲线渐近线方程可知①
因为抛物线的焦点为（4，0），所以c＝4②
又c2＝a2+b2③
联立①②③，解得a2＝4，b2＝12，
所以双曲线的方程为．
故答案为．
15．已知平面α截球O的球面得圆M，过圆心M的平面β与α的夹角为，且平面β截球O的球面得圆N，已知球O的半径为5，圆M的面积为9π，则圆N的半径为　　．
【解答】解：如图，∵圆M的面积为9π，
∴AM＝3，
又OA＝5，∴OM＝4，
又∵过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N，
∴∠NMO＝，
∴ON＝OM•sin＝2，
又∵OB＝5．∴NB＝＝，
故答案为：．

16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB），且，则的取值范围为　（﹣，）　．
【解答】解：△ABC中，（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB），
由正弦定理得（a+c）（a﹣c）＝b（a﹣b），
∴a2﹣c2＝ab﹣b2，
∴a2+b2﹣c2＝ab，
∴cosC＝＝＝；
又C∈（0，π），
∴C＝，
∴A+B＝；
又，
∴＝＝＝＝2，
∴a＝2sinA，b＝2sinB，
∴＝2sinA﹣sinB
＝2sinA﹣sin（﹣A）
＝2sinA﹣cosA﹣sinA
＝sinA﹣cosA
＝sin（A﹣）；
又A∈（0，），
∴A﹣∈（﹣，），
∴sin（A﹣）∈（﹣，1），
∴sin（A﹣）∈（﹣，），
即a﹣的取值范围是（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
三．解答题（共7小题）
17．已知等比数列{an}满足an＜an+1，a2+a3+a4＝28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，Sn＝b1+b2+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1＜0恒成立，试求m的取值范围．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q．依题意，
有2（a3+2）＝a2+a4，代入a2+a3+a4＝28，得a3＝8．因此a2+a4＝20
即有解得，或，
又数列{an}单调递增，则故．
（2）∵，∴，①
，②
①﹣②，得．
∵Sn+（n+m）an+1＜0，∴2n+1﹣n•2n+1﹣2+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，
∴m•2n+1＜2﹣2n+1对任意正整数n恒成立，即恒成立．
∵，∴m≤﹣1，即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
18．在等腰直角△EBC中，A，D分别为EB，EC的中点，AD＝2，将△EBC沿AD折起，使得二面角E﹣AD﹣B为60°．
（1）作出平面EBC和平面EAD的交线l，并说明理由；
（2）二面角E﹣CD﹣B的余弦值．

【解答】解：（1）在面EAD内过点E作AD的平行线l即为所求．
证明：因为l∥AD，而l在面ABCD外，AD在面ABCD内，所以，l∥面ABCD．
同理，AD∥面EBC，于是l在面EBC上，从而l即为平面EBC和平面EAD的交线．
（2）由题意可得∠EAB为二面角E﹣AD﹣B的平面角，所以，∠EAD＝60°．
过点E作AB的垂线，垂足为F，则EF⊥面ABCD．
以F为原点，AB所在直线为x轴正方向，垂直AB 的直线为y轴，FE所在直线为z轴，
AF为单位长度建立空间直角坐标系；如图：
则B（1，0，0），C（1，4，0），A（﹣1，0，0），D（﹣1，2，0），，
从而，，
设面BCD的一个法向量为，
则由得，所以，不妨取．
由EF⊥面ABCD知平面BCD的法向量不妨设为
于是，，
所以二面角E﹣CD﹣B的余弦值为．


19．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x（℃）
10
11
13
12
8
6
就诊人数y（个）
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组的研究方案是先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的两组数据检验．
（1）求选取的两组数据恰好相邻的概率；
（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请据2～5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）若线性回归方程得出的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的．试问该兴趣小组得到的线性回归方程是否理想？
【解答】解：（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A，
∵从6组数据中选取2组数据共有种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，
∴
（2）由数据求得＝11，＝24，由公式求得，由求得
∴y关于x的线性回归方程为
（3）当x＝10时，，
同样，当x＝6时，，所以该小组所得线性回归方程是理想的
20．已知抛物线D的顶点是椭圆+＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线D的方程；
（2）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线D于A、B两点，坐标原点O为PQ中点，求证：∠AQP＝∠BQP；
（3）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．
【解答】（本小题满分14分）
（1）解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）．
由a2﹣b2＝4﹣3＝1，得c＝1．
∴抛物线的焦点为（1，0），∴p＝2．
∴抛物线D的方程为y2＝4x．…（4分）
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时，由抛物线的对称性知，一定有∠AQP＝∠BQP，
当l不垂直x轴时，设l：y＝k（x﹣4），
由，得k2x2﹣4（2k2+1）x+16k2＝0，
∴，
∵＝，
＝，
∴＝，
∴∠AQP＝∠BQP．
综上证知，∠AQP＝∠BQP
（3）解：设存在直线m+x＝a满足题意，
则圆心，
过M作直线x＝a的垂线，垂足为E，
∴|EG|2＝|MG|2﹣|ME|2，
即|EG|2＝|MA|2﹣|ME|2
＝
＝
＝
＝，
当a＝3时，|EG|2＝3，
此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值．…（13分）
因此存在直线m：x＝3满足题意…（14分）
21．设函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣bx．
（Ⅰ）当a＝b＝时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+x2+bx+（0＜x≤3）若其图象上的任意点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，方程x2＝2mf（x）（其中m＞0）有唯一实数解，求m的值．
【解答】解：（I）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），当时，，（2′）
令f'（x）＝0，解得x＝1．（∵x＞0）
因为g（x）＝0有唯一解，所以g（x2）＝0，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以f（x）的极大值为，此即为最大值…（4分）
（II），x∈（0，3]，则有≤，在x0∈（0，3]上恒成立，
所以a≥，x0∈（0，3]，
当x0＝1时，取得最大值，
所以a≥…（8分）
（III）因为方程2mf（x）＝x2有唯一实数解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx＝0有唯一实数解，
设g（x）＝x2﹣2mlnx﹣2mx，则．
令g'（x）＝0，x2﹣mx﹣m＝0．因为m＞0，x＞0，
所以（舍去），，
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增
当x＝x2时，g'（x2）＝0，g（x）取最小值g（x2）．（12′）
则既
所以2mlnx2+mx2﹣m＝0，因为m＞0，所以2lnx2+x2﹣1＝0（*）
设函数h（x）＝2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）＝0至多有一解．
因为h（1）＝0，所以方程（*）的解为x2＝1，即，解得．…（12分）

22．已知函数f（x）＝|x+3|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）当a＝4时，已知f（x）＝7，求x的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣4或x≥2}，求a的值．
【解答】解：（I）当a＝4时，函数f（x）＝|x+3|+|x﹣4|＝|x+3|+|4﹣x|≥|x+3+4﹣x|＝7
当且仅当（x+3）（4﹣x）≥0时，即﹣3≤x≤4时取等号
故x的取值范围为[﹣3，4]
（II）若f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣4或x≥2}，
则﹣4和2是方程f（x）＝|x+3|+|x﹣a|＝0的两根
即
解得a＝1
23．在极坐标系中，圆C的圆心坐标为C（2，），半径为2．以极点为原点，极轴为x的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设l与圆C的交点为A，B，l与x轴的交点为P，求|PA|+|PB|．
【解答】解：（I）在直角坐标系中，圆心的坐标为，
∴圆C的方程为即，
把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可得：，即．
（II）法一：把（t为参数）代入得t2＝4，
∴点A、B对应的参数分别为t1＝2，t2＝﹣2，
令得点P对应的参数为．
∴|PA|+|PB|＝|t1﹣t0|+|t2﹣t0|＝+＝．
法二：把把（t为参数）化为普通方程得，
令y＝0得点P坐标为P（4，0），
又∵直线l恰好经过圆C的圆心C，
故．