河南省三门峡市外国语高级中学2020届高三模拟考试数学（文）试卷
展开文数
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
1. 已知集合，，且，那么的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2. 若“”是“或”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．当时，下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的中心为原点，点是双曲线的一个焦点，点到渐近线的距离为1，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．数列满足，，，则（ ）
A．5 B．9 C．10 D．15
6．设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，则为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
9．已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，
多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了
圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽
的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）．
（参考数据：，）
A．12 B．18
C．24 D．32
11．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知为实数，为虚数单位，若为实数，则________．
14．已知正项数列的前n项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为________．
15．在中，，，，、为的三等分点，则__________．
16．已知，，有下列4个命题：
①若，则的图象关于直线对称；
②与的图象关于直线对称；
③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称．
其中正确的命题为__________．（填序号）
三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知向量
(1)若，求的值；
(2)若向量，求的值.
18．新高考取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：
年龄（岁） | ||||||
频数 | 5 | 15 | 10 | 10 | 5 | 5 |
了解 | 4 | 12 | 6 | 5 | 2 | 1 |
（1）请根据上表完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？
| 了解新高考 | 不了解新高考 | 总计 |
中青年 |
|
|
|
中老年 |
|
|
|
总计 |
|
|
|
附：.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
（2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行深入调查，求事件A：“恰有一人年龄在”发生的概率.
19．平行四边形中，，，分别是的中点.将四边形沿着折起，使得平面平面，得到三棱柱，
（1）证明：；
（2）若，求三棱柱的体积.
20．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线截得圆：的弦长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别为弦、的中点，求的最小值.
21．已知函数.
（1）当时，判断在上的单调性并加以证明；
（2）若，，求的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.
（1）当时，求直线与曲线的普通方程；
（2）若直线与曲线交于两点，直线倾斜角的范围为，且点的直角坐标为，求的最小值.
23．已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若“，”为假命题，求的取值范围.
文数答案
1-12. DACAD BBDAC AD
13． 14． 15． 16．①②③④
17.(1)由可得， .........2分
即，则 ， .........4分
解得 .........6分
(2)由题意可得 即， .........8分
由∴ ， .........9分
又， .........10分
所以. .........12分
18.（1）列联表如图所示
| 了解新高考 | 不了解新高考 | 总计 |
中青年 | 22 | 8 | 30 |
老年 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
.........2分
，.........5分
所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联. .........6分
（2）由表格数据得到抽取的8人中：年龄在中的有4人，年龄在中的有2人，年龄在中的有2人. .........9分
从8人中抽取2人的方法有28种，其中恰有一人年龄在被抽中的方法有16种. .........11分
所以. .........12分
19.（1）取的中点，连接，易知是等边三角形.
∴，. .........2分
∵，
∴平面， .........4分
而平面，
∴. .........6分
（2）三棱柱可分为四棱锥与三棱锥.
由（1）知，而平面平面，且交线为，
∴平面.
同理可证平面. .........9分
四棱锥的体积， .........10分
三棱锥的体积， .........11分
∴三棱柱的体积. .........12分
20.（1）由已知得直线方程为，
圆心到直线的距离为 ， ......2分
又 得， ......4分
故抛物线的方程为； .........5分
（2）由（1）知焦点为.
由已知可得，所以两直线、的斜率都存在且均不为.
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
故直线的方程为.
联立方程组，消去，整理得. .........7分
设点、，则.
因为为弦的中点，所以.
由，得，故点
同理，可得. .........9分
故，.
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为. .........12分
21.（1）当时，. .........1分
记，则，
当时，，.
所以，所以在单调递增， .........3分
所以.
因为，所以，所以在为增函数. .........5分
（2）由题意，得，记，则，
令，则，
当时，，，所以，
所以在为增函数，即在单调递增
所以. .......7分
①当，，恒成立，所以为增函数，即在单调递增，
又，所以，所以在为增函数，所以
所以满足题意. .....9分
②当，，令，，
因为，所以，故在单调递增，
故，即.
故，
又在单调递增，
由零点存在性定理知，存在唯一实数，，
当时，，单调递减，即单调递减，
所以，此时在为减函数，
所以，不合题意，应舍去. .......11分
综上所述，的取值范围是. .......12分
22.（1）
直线的参数方程为，消掉参数
可得直线的普通方程为， .......2分
的参数方程为（为参数）
可得
曲线的普通方程为. .......5分
（2）将的参数方程为（为参数）代入圆的方程得
， .......7分
设所对应的参数分别为，
则，，
所以，.......9分
当时，的最小值为. .......10分
23.解：（1）当时， .......2分
由，得.
故不等式的解集为. .......5 分
（2）因为“，”为假命题，
所以“，”为真命题，
所以. .......7分
因为，
所以，则，所以， .......9分
即，解得的取值范围为. .......10分
