2020届广东省肇庆市高三第二次统一检测数学（文）试题（解析版）
展开2020届广东省肇庆市高三第二次统一检测数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先化简集合A,B，再求A∪B得解.
【详解】
由题得，
所以A∪B=.
故选：D
【点睛】
本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．设复数满足，则在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题得,代入化简即得解.
【详解】
由题得,
代入得.
故选：B
【点睛】
本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用奇函数的定义逐一分析判断每一个选项的函数得解.
【详解】
选项四个函数的定义域都是R.
A. ,,所以函数是偶函数；
B. ，，所以函数是偶函数；
C. ，，所以函数是偶函数；
D. ，，所以函数是奇函数.
故选：D
【点睛】
本题主要考查奇函数的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为.若低于分的人数是人，则该班的学生人数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据频率分布直方图求得低于分的人所占的比例再求解总人数即可.
【详解】
易得低于分的人所占的比例为.
故该班的学生人数是人.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用,属于基础题型.
5．等差数列，，，的第四项等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据已知求出x的值，再求出等差数列的第四项得解.
【详解】
由题得.
所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3，
所以等差数列的第四项为9.
故选：B
【点睛】
本题主要考查等差中项的应用，考查等差数列的通项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【详解】
由已知,
， 故选C.
7．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“”是“的必要不充分条件，故选B．
【考点】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．
8．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.
【考点定位】程序框图与线性规划.
9．函数的部分图像如图所示，则的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】直接根据图像分析即可.
【详解】
易得在图像的最低点有,离最低点最近的右边的最高点处有.
故的一个单调递增区间为,又函数周期为.
故的单调递增区间为,.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了根据函数图像求函数的性质的问题,直接根据图像分析即可,属于基础题型.
10．已知e为自然对数的底数，过原点与函数图像相切的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切点为再根据导数的几何意义列式求解即可.
【详解】
设切点为,因为,故在切线的斜率为.又切线经过原点.且在上.故.
故斜率.所以切线方程为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义,需要设切点,根据在该点处切线的斜率等于在该点处的导函数的值、切点在函数与切线上列式求解.属于中等题型.
11．抛物线方程为，动点的坐标为，若过点可以作直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设,由题得两式相减化简即得直线AB的斜率.
【详解】
设,
由题得，
所以，
故选：A
【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查中点弦问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．已知函数为定义城为的偶函数，且满足，当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出与的函数图象，根据图象的对称性得出结论．
【详解】
是偶函数，
，
所以
的周期为，
作出的函数图象如图所示：
由图象可知的图象关于点，对称．
令可得，
令，显然的函数图象关于点，对称．
作出在，上的函数图象如图所示：
由图象可知与在，上有5个交点，根据对称性可知在，上也有5个交点，
在，上的所有零点个数为10.
故选：A
【点睛】
本题考查了函数图象变换与函数零点个数判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
二、填空题
13．已知向量，若则___________.
【答案】
【解析】先求出,再根据计算得解.
【详解】
由题得，
因为，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查向量垂直的坐标表示和向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．记为等比数列的前项和，若，，则___________.
【答案】或
【解析】解方程组即得解.
【详解】
由题得，
解之得，或.
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项和前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为________.
【答案】
【解析】先求出圆心为（2,0），半径1.再求出渐近线方程即得化简即得解.
【详解】
由题得，所以圆心为（2,0），半径1.
双曲线的一条渐近线为，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查双曲线离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，， ，则三棱锥的外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】画出图像,根据题意求得高,再求外接球表面积即可.
【详解】
如图,因为底面是边长为的菱形,,故为正三角形.
故.又,故与相似.
故.故.
又三棱锥底面外接圆直径,
故外接球直径.
故三棱锥外接球表面积
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了立体几何中利用相似求解长度的问题,同时也考查了外接球的基本运用,属于中等题型.
三、解答题
17．已知在中，角对应的边分别为，．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简即得B的大小；（2）先根据的面积为求出a=1,即得C.
【详解】
（1）由及正弦定理
可得
由余弦定理可得
又因为，所以 .
（2）因为 ,
所以.
又因为，
所以是等边三角形，所以
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下列联表：
| 男生 | 女生 | 合计 |
挑同桌 | 30 | 40 | 70 |
不挑同桌 | 20 | 10 | 30 |
总计 | 50 | 50 | 100 |
从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；
根据以上列联表，是否有以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？
下面的临界值表供参考：
参考公式：，其中
【答案】Ⅰ Ⅱ见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据分层抽样原理求出样本中挑同桌有3人，不挑同桌有2人，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；（Ⅱ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值表得出结论．
解析：
Ⅰ根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A、B、C，
不挑同桌有2人，记为d、e；
从这5人中随机选取3人，基本事件为
共10种；
这3名学生中至少有2名要挑同桌的事件为概率为
，共7种；
故所求的概率为；
Ⅱ根据以上列联表，计算观测值
，
对照临界值表知，有以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关．
19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1) 连接交于,证明即可.
(2)证明是三棱锥的高再换顶点求即可.
【详解】
（1）证明：连接交于,则是的中点,连接,
则是的中位线,所以,
因为面面,
所以平面
（2）因为面,面,所以,
又,所以面,
又面,所以
因为,是的中点,所以,，
所以面,所以是三棱锥的高.
经计算得, ,,
,所以,
得,,
【点睛】
本题主要考查了线面平行的判定与线面垂直求高的方法,同时也考查了换顶点求体积的方法,属于中等题型.
20．已知椭圆的短半轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是坐标原点，点在直线上，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】(1)根据基本量的关系求解即可.
(2)设,再根据题意表达出,继而求得关于横纵坐标的表达式,再根据在椭圆上代换求得,再利用基本不等式求解即可.
【详解】
解：（1）依题意可得,所以,
得,所以椭圆的方程是
（2）依题意设,,其中,
因为,所以,即,
所以,
又,且,
所以
,当且仅当时等号成立
所以线段长度的最小值为
【点睛】
本题主要考查了椭圆的基本量求解以及利用点坐标表达弦长关系以及利用基本不等式求解最值的方法,属于中等题型.
21．设函数，e为自然对数的底数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）证明：若，则．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】(1)利用导函数恒成立,求解即可.
(2)利用(1)中的结论与零点存在定理可得存在,使得,再利用隐零点的方法,求得在上的最小值,再代入极值点的关系化简证明即可.
【详解】
解：（1）因为在上单调递增,
所以恒成立.
令,当,
在上单调递增,
依题意有,得
（2）由（1）可知,在上单调递增,当时,
,,
存在,使得,
且当时,,即,在上单调递减
当时,,即,在上单调递增
所以在上的最小值为
,,,
,即成立
或者
,
,即成立
【点睛】
本题主要考查了函数恒成立的问题,同时也考查了隐零点问题的应用,需要根据题意列出对应的不等式,再根据导数求解单调性与极值的方法证明即可.属于难题.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）， 在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点的直角坐标为，求直线的斜率.
【答案】（1）时，x=1；时，；（2）
【解析】（1）当时，的普通方程为；当时，直接写出直线的点斜式方程得解；对先平方再化简即得的直角坐标方程；（2）将代入整理，根据即得解.
【详解】
（1）当时，的普通方程为；
当时，的普通方程为，
即 .
由得,
即 .
（2）将代入整理得
依题意得，即，即
得,
所以直线的斜率为
【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
23．设函数，（实数）
（1）当，求不等式的解集
（2）求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）利用分类讨论法解不等式得不等式的解集；（2）先证明，再利用基本不等式证明.
【详解】
（1）原不等式等价于，
当时，可得，得；
当时，可得，得不成立；
当时，可得，得；
综上所述，原不等式的解集为
（2）
当且仅当时等号成立
又，当且仅当的时等号成立
所以
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查不等式的证明和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
