江苏省2020届高三普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟数学试题

江苏省2020年普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟试题

第I卷（必做题）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、填空题

1．已知集合，集合，若，则实数_______

2．已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值是________.

3．阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是______.

4．函数的定义域是____________

5．在某次数学测验中，位学生的成绩如下：、、、、，他们的平均成绩为，则他们成绩的方差等于________.

6．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______.

7．在平面直角坐标系中，已知点是抛物线与双曲线的一个交点.若抛物线的焦点为，且，则双曲线的渐近线方程为______

8．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7，则S5=____________.

9．已知,,,是球的球面上的四点，，，两两垂直，,且三棱锥的体积为，则球的表面积为______．

10．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为____________

11．已知且满足1，则的最小值为_____.

12．已知C是以AB为直径的半圆上一点，且C是线段PQ的中点，若AB=5，PQ=1，与的夹角为，则________.

13．已知是第二象限角，且，则的值为______．

14．已知函数，若函数恰好有2个不同的零点，则实数m的取值范围是______.

二、解答题

15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）若面积为，求ab的值；

（2）若，求.

16．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，E为侧棱PD的中点，O为AC与BD的交点．

（1）求证：平面PBC；

（2）若平面平面ABCD，，，，求证：．

17．已知椭圆过点，且离心率．

（1）求椭圆方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围．

18．两城市和相距，现计划在两城市外以为直径的半圆上选择一点建造垃圾处理场，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城的距离为，建在处的垃圾处理场对城和城的总影响度为，统计调查表明：垃圾处理场对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4，对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，当垃圾处理场建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065；

（1）将表示成的函数；

（2）判断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城和城的总影响度最小?若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由；

19．设函数（其中为实数）.

（1）若，求零点的个数；

（2）求证：若不是的极值点，则无极值点.

20．给定数列，记该数列前项中的最大项为，该数列后项，， …..，中的最小项为，.

（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的，，；

（2）是数列的前项和，若对任意，有，其中且，

①设，判断数列是否为等比数列；

②若数列对应的满足：对任意的正整数恒成立，求的取值范围.

第II卷（附加题）

21．已知矩阵，，列向量.

（1）求矩阵；

（2）若，求，的值.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点是曲线上的动点，求点到曲线的最小距离.

23．已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．

24．设.已知

（1）求的值；

（2）求的值.

25．口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n)次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为．

（1）求；

（2）证明：．

江苏省2020年普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟试题解析

1．

【解析】由，，∴．解得，
验证可得符合集合元素的互异性，故答案为：．

2．2

【解析】由题,因为是纯虚数,

所以,则,故答案为：2

3．

【解析】执行程序框图，有

，；

不满足条件，，；

不满足条件，，；

不满足条件，，；

…

不满足条件，，；

不满足条件，，；

满足条件，退出循环，输出.

4．

【解析】， 解得且

即函数的定义域为， 故答案为：

5．38

【解析】位学生的成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，

，解得：，

，

则他们成绩的方差等于38.故答案为：38．

6．

【解析】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，基本事件总数为，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为.∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是.故答案为：.

7．

【解析】设点A(x,y),因为x-(-1)=5,所以x=4.所以点A(4,±4)，

由题得

所以双曲线的渐近线方程为.故答案为

8．

【解析】∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4=1，

∴设{an}的公比为q，则q>0，且，即a3=1.

∵S3=7，∴a1＋a2＋a3=＋＋1=7，即6q2－q－1=0.

故q=或q=－(舍去)，∴a1==4.∴S5==8(1－)=.

9．

【解析】三棱锥的体积为，故，

因为，，两两垂直，，故可把三棱锥补成正方体，

该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，

又体对角线的长度为，故球的表面积为.

10．

【解析】因为点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候，则，即点（1，1）那么可知两平行线间的距离即点（1，1）到直线的距离为

11．ln2

【解析】因为，所以可将，分别看成函数与上任意一点，问题转化为曲线上的动点与直线上的动点之间的最小值的平方问题，

设是曲线的切点，因为，

故点M处的切斜的斜率，由题意可得，解得，

也即当切线与已知直线平行时，此时切点到已知直线的距离最近，

最近距离，也即.

12．；

【解析】由C是以AB为直径的半圆上一点，且C是线段PQ的中点，

且与的夹角为，可得，且

则

.

13．

【解析】 是第二象限角，且，

，，，

，又，

，解得，．

14．

【解析】令函数，得，

结合函数的图象知当时，

函数的图象与直线恰好有2个不同的交点，所以.

15．【解析】（1）因为，

在中，由正弦定理，得，

化简得，

在中，由余弦定理得，，因为，所以，

又面积为，可得，所以ab=4.

（2）因为，在中，由正弦定理，

所以，因为，所以

由（1）得，所以，

化简得，所以.

因为，所以，

所以，

所以

16．【解析】（1）因为四边形为平行四边形,为与的交点,

所以为的中点.又因为为侧棱的中点,所以.

又因为平面,平面,所以平面.

（2）在中,因为,,,

由正弦定理,可得,

所以,即.

又因为四边形为平行四边形,所以,所以.

又因为平面平面,

平面平面,平面,所以平面.

又因为平面,所以.

17．【解析】（1）椭圆的离心率，，即；①

又椭圆过点，∴，②

由①②得，，∴椭圆的方程为．

（2）由消去整理得，

直线与椭圆交于不同的两点，，

整理得……（1），设，弦MN的中点A，

则，∴

∴，

∴点A的坐标为，

∴直线AG的斜率为，

又直线AG和直线MN垂直，∴，∴，

将上式代入（1）式，可得，整理得，

解得．∴实数的取值范围为．

18．【解析】（1）由题意得，

又当时，，

，.

（2），

令，则，

当且仅当，即时，等号成立，

弧上存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城和城的总影响度最小.

19．【解析】（1）由题意得，所以，

又，且，所以恒成立，从而函数在上单调递增，

所以当时，；当时，.

则函数在上单调递减，在上单调递增，

因为，，函数在上单调递减且图象连续不断，

所以函数在上恰有个零点，

因为，，函数在上单调递增且图象连续不断，

所以函数在上恰有个零点，

综上所述，当时，函数有个零点；

（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，

又，当时，；当时，.

所以，是函数的极小值点.

同理当时，也是函数的极小值点.

当时，由得，且在上单调递增.

所以当时，；当时，，

从而函数在上单调递减；在上单调递增.

若，即，则当时，，当时，，则是函数的极值点；

同理若，即，则也是函数的极值点；

若，即，，则函数在上单调递增，此时不是函数的极值点.

综上可知，若不是函数的极值点，则，函数在上单调递增，从而函数无极值点.

20．【解析】（1），，；，，；，，.

（2）①当时，，所以；

当时，由，则，

两式相减得，即，

所以.

因为，

所以当时，，故，

所以数列满足，

即数列是以为首项，为公比的等比数列；

当时，，故，数列不是等比数列.

②由①知，当时，；

当时，.

又，

，

由于，

所以由，可得，.

所以对任意的正整数恒成立，

即数列的前项单调递增是题设成立的必要条件，易知.

因为，，

所以.

当时，由，得，解得，

此时，不符合，舍去；

当，由，得，解得，

此时，符合.

综上所述，的取值范围是.

21．【解析】（1）；

（2）由，解得 ，

又因为，所以，.

22．【解析】（1）消去参数得到，故曲线的普通方程为

，由，得到，

即，故曲线的普通方程为

（2）设点的坐标为，

点到曲线的距离

所以，当时，的值最小，所以点到曲线的最小距离为.

23．【解析】（1）当时，不等式等价于.①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而.

所以的解集为.

（2）当时，.

所以的解集包含，等价于当时.

又在的最小值必为与之一，所以且，得.

所以的取值范围为.

24．【解析】（1）令得，；令得，

所以，则.

（2）对两边求导得

令，得

25．【解析】（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为，取出的球是黑球的概率为，

所以；

（2）证明：累计取出白球次数是的情况有：

前n次取出n次白球，第n +1次取出的是白球，概率为

前n+1次取出n次白球，第n +2次取出的是白球，概率为

前2n﹣1次取出n次白球，第2n次取出的是白球，概率为

前2n次取出n次白球，第2n +1次取出的是白球，概率为

则

因此

则

因为，

所以，因此．