2020届广西省柳州市高三一模考试数学（理）试卷（PDF版）
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数学（理）试卷
理科数学(参考答案)
一、选择题：(每小题5分, 满分60分)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
A | A | C | B | D | B | A | B | B | D | D | B |
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17.解：（1）设等比数列的公比为，由题意得
，……………………………………………………2分
解得，……………………………………………………………………4分
所以.……………………………………………………………6分
（2）由（1）得，……………………………………………7分
，……………………………………8分
∴，………………9分
∴…………………11分
……………………………………………12分
18.解：（1）∵甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，
∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率
．…………………………………………………2分
（2）由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，……………………………3分，………………………………………………4分
， ………………………………………………5分
， …………………………………………………6分
X的分布列为：
X | 2 | 3 | 4 |
P |
………………………………………7分
（3）∵乙平均答对的题目数，…………………8分
甲答对题目数Y～B ，……………………………………………………9分
甲平均答对的题目数． ……………………………………10分
∵ …………………………………………………………………11分
∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数．…………………………12分
19.证明：（1）∵平面平面,平面平面,又,
∴平面. …………………………………………………1分
∵平面,∴.……………………………………2分
又∵折叠前后均有,,
∴平面. …………………………………………………3分
（2）由（1）知平面,
∴二面角的平面角为.……………………………4分
又平面,平面,
∴.依题意.
∵,∴.……………………………………………5分
设,则.
依题意,∴,
即.解得, ……………………………………………6分
故,，.………………………7分
如图所示,建立空间直角坐标系,
则,,,
,,……………………………………………8分
∴,. ………………………………9分
由（1）知平面的法向量，
设平面的法向量,
由得
令,得,,
∴.……………………………………………………10分
∴. ………………………………………………11分
由图可知二面角的平面角为锐角,
所以二面角的余弦值为. ……………………………………12分
20．解：（1）由已知，圆经过椭圆的左、右焦点,,∵三点共线,
∴为圆的直径,即得,
∵,∴,……………………………………1分
∴,……………………………………………………………2分
,
,
∵,解得,, …………………………………………4分
∴椭圆的方程 ： ………………………………………………5分
（2）点的坐标,∵,
所以直线的斜率为, …………………………………………………6分
故设直线的方程为,
∴ , ∴,
设,,∴ , ,
,∴, ……………………………………8分
,
点到直线的距离,
,……………………10分
当且仅当,即, …………………………………………11分
直线的方程为.………………………………………………12分
21.解：（1）函数在点处切线方程为，即
∵ ……………………………………1分
∴ ，…………………………………………2分
，………………………………………3分
……………………………………………………………………4分
（2）解法1：当时，
令
…………………………………………5分
令
…………………………6分
…7分
………………………………………8分
当时上式左边的极限为 ……………9分
设 ……………………10分
当，单调递增，则
……………………………………………………11分
当单调递增，则
……………………………………………………12分
的取值范围为
（2）解法2：由（1）可知，
令
………………5分
令
………………………6分
①
， ,与题设矛盾. …………7分
②
,
开口向下，对称轴为
…8分
，,与题设矛盾. ………9分
③
， ……………10分
， ……………11分
综上所述，的取值范围为. ……………………………12分
22.解：（1） ………………………1分
故的极坐标方程为. ………………………2分
而的直角坐标方程为 …………………………3分
的极坐标方程为. …………………………………4分
（2）直线分别与联立得
，则 ……………………5分
，则 ………………………………6分
， …………………………………7分
………………………………8分
…………………………………9分
则当时, 有最大值. …………………………10分
23.解：（1）∵，
当时，解得； …………………………………1分
当时，解得；…………………………………2分
当时，不等式无解. ……………………………………………3分
故不等式的解集为， ………………………4分
所以集合. ………………………………………5分
（2）由（1）可知， …………………………………………………6分
∴，……………………………………………………7分
由柯西不等式得
，…………8分
整理得，……………………………………………………………9分
当且仅当，即时取等号. …………………………10分
