河南省三门峡市外国语高级中学2020届高三模拟（四）考试数学（文）试卷


文科数学试卷
一．选择题（共16小题）
1．集合M＝{x|2x2﹣x﹣1＜0|}，N＝{x|2x+a＞0|}，U＝R，若M∩∁UN＝∅，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1
【解答】解：M＝{x|2x2﹣x﹣1＜0|}＝{x|﹣＜x＜1}，N＝{x|2x+a＞0|}＝{x|x＞﹣}，
∁UN＝{x|x≤﹣}，
若M∩∁UN＝∅，则﹣≤，
即a≥1，
故选：B．
2．已知命题p：直线l1：x﹣2y+3＝0与l2：2x+y+3＝0相交但不垂直；命题q：∃x0∈（0，+∞），x0+2＞，则下列命题中是真命题的是（　　）
A．（¬p）∧q B．p∧q C．p∨（¬q） D．（¬p）∧（¬q）
【解答】解：命题p：直线l1：x﹣2y+3＝0与l2：2x+y+3＝0相交并且垂直；所以命题p是假命题；则￢p是真命题；
命题q：∃x0∈（0，+∞），x0+2＞，因为x0＝1时，命题是真命题，所以q是真命题，￢p是假命题；
则：（¬p）∧q是真命题；p∧q、p∨（¬q）、（¬p）∧（¬q）都是假命题；
故选：A．
3．已知复数，其中i为虚数单位，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴|z|＝||＝．
故选：C．
4．已知A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（0，2），光线从点A射出，经过线段BC（含线段端点）反射，恰好与圆（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝相切，则（　　）
A．﹣1≤a≤1﹣ B．≤a≤1﹣
C．≤a≤1+ D．﹣1≤a≤1+
【解答】解：由题意可得，A（0，﹣4）关于BC 所在的直线的对称点D（﹣6，2），要使得反射光线与圆（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝相切，只要使得射线DB，DC与圆相切即可，
易得直线DB的方程x+2y+2＝0，直线DC的方程y＝2，
由，可得，a＝﹣1或a＝，
由|2a﹣2|＝可得a＝1，
结合图象可知，﹣1．
故选：D．

5．若向量＝（2k﹣1，k）与向量＝（4，1）共线，则＝（　　）
A．0 B．4 C． D．
【解答】解：向量与向量共线，
则2k﹣1﹣4k＝0，解得k＝﹣，
∴＝（﹣2，﹣），
∴＝﹣2×4+（﹣）×1＝﹣．
故选：D．
6．为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时气温的中位数小于乙地该月14时气温的中位数；
④甲地该月14时气温的中位数大于乙地该月14时气温的中位数．
其中根据茎叶图能得到的正确的统计结论的标号为（　　）

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【解答】解：甲地该月14时的平均气温＝（26+28+29+31+31）＝29，中位数为：29，
乙地该月14时的平均气温＝（28+29+30+31+32）＝30，中位数为：30，
∴甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，
甲地该月14时的平均气温的中位数小于乙地该月14时的气温的中位数．
∴根据茎叶图能得到的统计结论的标号为①③．
故选：A．
7．“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统综》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四节三升八，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（【注】四升五：4.5升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量．）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（　　）
A．2.2升 B．2.3升 C．2.4升 D．2.5升
【解答】解：设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，
则{an}是等差数列，设公差为d，
由题意得，
解得a1＝1.6，d＝﹣0.1，
∴中间两节的容积为：a4+a5＝（1.6﹣0.1×3）+（1.6﹣0.1×4）＝2.5（升）．
故选：D．
8．已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P在抛物线上，以PF为边作一个等边三角形PFQ，若点Q在抛物线的准线上，则|PF|＝（　　）
A．1 B．2 C．2 D．2
【解答】解：抛物线的焦点坐标（，0），可得直线PF：y＝（x﹣），
可得：，可得：x＝，则y＝，
|PF|＝＝2．
故选：B．
9．函数f（x）＝的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，
故f（x）的图象关于原点对称，
当x＞0时，f（x）＝，
∴当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1时，f（x）＞0，
故选：A．
10．设p＝0.50.7，q＝0.3，则有（　　）
A．p﹣q＞pq＞p+q B．p﹣q＞p+q＞pq C．pq＞p﹣q＞p+q D．p+q＞p﹣q＞pq
【解答】解：依题意，p＝0.50.7＞0.5，
q＝＝＜log31＝0，
又因为＞，
所以q＝＝＝﹣，
即﹣q＜0，
所以p﹣q＞p+q＞0，pq＜0，
所以p﹣q＞p+q＞pq，
故选：B．
11．若函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称，则函数f（x）在区间[0，]上的最小值为（　　）
A．﹣ B．﹣1 C．1 D．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后
图象所对应解析式为：g（x）＝2sin[2（x+）+φ]＝2sin（2x++φ），
由g（x）关于y轴对称，则+φ＝kπ，φ＝kπ，k∈Z，
又|φ|＜，
所以φ＝，
即f（x）＝2sin（2x+），
当x∈[0，]时，
所以2x+∈[，]，
f（x）min＝f（）＝﹣，
故选：A．
12．已知数列{an}中，a1＝2，n（an+1﹣an）＝an+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]
【解答】解：根据题意，数列{an}中，n（an+1﹣an）＝an+1，
即nan+1﹣（n+1）an＝1，
则有﹣＝＝﹣，
则有＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（a2﹣a1）+a1
＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）+2＝3﹣＜3，
＜2t2+at﹣1即3﹣＜2t2+at﹣1，
∵对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，
∴2t2+at﹣1≥3，
化为：2t2+at﹣4≥0，
设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，
可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，
即有即，
可得t≥2或t≤﹣2，
则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为　6　．
【解答】解：系统抽样的抽取间隔为＝6，
则48﹣6×7＝6，
则抽到的最小学号为6，
故答案为：6．
14．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+6y的最大值为　18　．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

A（0，3），
化目标函数z＝x+6y为y＝﹣，
由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为18．
故答案为：18．
15．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB取得最大值时，|AB|＝　　．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心（4，1），半径为1，
设抛物线上的点P（m，n），则m2＝2n，
|PC|＝＝＝，
令g（m）＝，
可得g′（m）＝m3﹣8，令g′（m）＝m3﹣8＝0，解得m＝2，
m＜2，g′（m）＝m3﹣8＜0，m＞2，g′（m）＝m3﹣8＞0，所以g（m）的最小值为：4﹣16+17＝5．
|PC|，
所以切线长为：|PA|＝2，如图：
|PC|•|AB|＝|PA|•|AC|，
γ
|AB|＝．
故答案为：．

16．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝2B，则的取值范围为　（2，4）　．
【解答】
解：.
＝cos2B+2cos2B+﹣1．
又2B∈（0，π），且A+B＝3B∈（0，π），
所以．
设，
令﹣1＝f（t），
则f'（t）＝8t﹣＞0，
故f（t）在上单调递增，
所以2＜f（t）＜4．
所以的取值范围为（2，4），
故答案为：（2，4）
三．解答题（共11小题）
17．已知等差数列{an}是递增数列，且a1a5＝9，a2+a4＝10．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{an}是递增数列，
且a1a5＝9，a2+a4＝10．
则：，
解得：a1＝1或9，a5＝9或1，
由于数列为递增数列，
则：a1＝1，a5＝9．
故：d＝2
则：an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
（2）由于an＝2n﹣1，
则：bn＝＝，
＝，
＝．
所以：Sn＝b1+b2+…+bn，
＝，
＝，
＝．
18．今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥．要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：吨），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；
（2）在年平均销售量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240，260），[260，280）[280，300）的农贸市场中应各抽取多少家？
（3）在（2）的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1家在[240，260）组的概率．

【解答】解：（1）由直方图的性质得：
（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，
解方程得x＝0.0075，
∴直方图中x＝0.0075．
年平均销售量的众数是＝230，
∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，
∴年平均销售量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，则：（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（220）＝0.5，
解得a＝224，
∴年平均销售量的中位数为224．
（2）年平均销售量为[220，240）的农贸市场有：0.0125×20×100＝25，
年平均销售量为[240，260）的农贸市场有：0.0075×20×100＝15，
年平均销售量为[260，280）的农贸市场有：0.0025×20×100＝5，
∴抽取比例为：＝，
∴年平均销售量在[240，260）的农贸市场中应抽取15×＝3家，
年平均销售量在[260，280）的农贸市场中应抽取10×＝2家，
年平均销售量在[280，300）的农贸市场中应抽取5×＝1家，
故年平均销售量在[240，260），[260，280）[280，300）的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．
（3）由（2）知年平均销售量在[240，260），[260，280）[280，300）的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．
设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，
基本事件总数n＝，
恰有1家在[240，260）组包含的基本事件的个数m＝＝9，
∴恰有1家在[240，260）组的概率p＝．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E是BC中点，M是PD的中点．
（1）求证：平面AEM⊥平面PAD；
（2）若F是PC上的中点，且AB＝AP＝2，求三棱锥P﹣AMF的体积．

【解答】证明：（1）连结AC，
∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，
∵E是BC中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD，
又AE⊂平面AEM，∴平面AEM⊥平面PAD．
解：（2）∵F是PC上的中点，且AB＝AP＝2，
∴AD＝2，AE＝，
∴三棱锥P﹣AMF的体积：
VP﹣AMF＝VM﹣APF＝
＝
＝
＝＝．

20．已知f（x）＝+alnx﹣ax．
（1）若a＜0，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝﹣1时，若不等式﹣x≥0在[1，+∞）上恒成立，求b的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）………………（1分）
∵，………………（2分）
∴当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增． ………………（4分）
（2）当a＝﹣1时，，
由题意，b（x﹣1）ex﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立
①若b≤0，当x≥1时，显然有b（x﹣1）ex﹣lnx≤0恒成立；不符题意． ………………（5分）
②若b＞0，记h（x）＝b（x﹣1）ex﹣lnx，则．………………（7分）
显然h'（x）在[1，+∞）单调递增，
当时，当x≥1（3）时，h'（x）≥h'（1）＝be﹣1≥0（4）
∴x∈[1，+∞）时，h（x）≥h（1）＝0………………（8分）
当（6），h'（1）＝be﹣1＜（7）0，
（8）
∴存在x0＞1，使h'（x）＝0．………………（9分）
当x∈（1，x0）时，h'（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，
∴h（x）在（1，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增 ………………（10分）
∴当x∈（1，x0）时，h（x）＜h（1）＝0，不全题意 ………………（11分）
综上所述，所求b的取值范围是………………（12分）
21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点 （1，），离心率为，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当⋅＝0时，求△OPQ面积的最大值；
（Ⅲ）若直线l的斜率为2，求证：△APQ的外接圆恒过一个异于点A的定点．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝＝，即c2＝a2，即b2＝a2﹣c2＝a2，a2＝4b2，
将点 （1，）代入椭圆方程，即，解得：b2＝1，
∴a2＝4，
∴椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，代入椭圆方程，
P（m，），Q（m，﹣），
由⋅＝0，（m﹣2）2﹣（1﹣）＝0，解得：m＝，m＝2（舍去），
此时|PQ|＝，△OPQ的面积为，
当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx+m，代入椭圆方程，（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
由△＞0，则4k2﹣m2+1＞0，
x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
由 ⋅＝0，
（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（k2+1）x1•x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4＝0，
代入求得12k2+5m2+16km＝0，
即m＝﹣k，m＝﹣2k，（此时直线l过点A，舍去），
|PQ|＝•＝，
点O到直线l的距离d＝，
△OPQ的面积为，将m＝﹣k代入，
×＜，
△OPQ 面积的最大值；
（Ⅲ）证明：设直线y＝2x+m，代入椭圆方程，整理得：17x2+16mx+4（m2﹣1）＝0，
设△APQ的外接圆方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
联立直线l的方程，5x2+（4m+D+2E）x+（m2+mE+F）＝0，
代入可知＝＝，
由外接圆过点A（2，0），则2D+F＝﹣4，
从而可得关于D，E，F的三元一次方程组，
，解得：，
代入圆方程，整理得：（x2+y2﹣x+y﹣）+（2x+y﹣4）＝0，
∴，解得：，或，
△APQ 的外接圆恒过一个异于点A的定点（，）．
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：（m为常数）．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，当|AB|＝4时，求实数m的值．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），普通方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝16，
直线l：，即ρsinθ+ρcosθ＝4m，直角坐标方程为x+y﹣4m＝0；
（2）由题意，圆心到直线的距离d＝＝2，
∴＝2，∴m＝±．
23．不等式|x+2|+|x+4|＜8的解集为（n，m）．
（1）求m的值；
（2）设a，b，c∈R*，且a2+b2+c2＝m，求a+2b+3c的最大值．
【解答】解：（1）|x+2|+|x+4|＝．
∵|x+2|+|x+4|＜8，∴或﹣4≤x≤﹣2或，
∴﹣2＜x＜1或﹣4≤x≤﹣2或﹣7＜x＜﹣4，∴﹣7＜x＜1，
∴|x+2|+|x+4|＜8的解集为（﹣7，1），∴m＝1．
（2）由（1）知m＝1，∴a2+b2+c2＝m＝1，
∵a，b，c∈R*，∴由柯西不等式，得：
，
当且仅当时，即，，等号成立，
∴a+2b+3c的最大值为．