河南省三门峡市外国语高级中学2020届高三模拟（五）考试数学（文）试卷


文科数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.已知集合A＝{x|x2≤4，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝（　　）
A．（0，2） B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}
【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A＝[﹣2，2]，
由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，
则A∩B＝{0，1，2}，
故选：C．
2.复数（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（﹣1，3） C．（3，﹣1） D．（2，4）
【解答】解：，
∴复数z所对应点的坐标是（3，1）．
故选：A．
3.已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值是（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣3 D．3
【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
易求得A（1，1），B（﹣2，﹣2），C（﹣5，1），
z＝x+2y，则，
当直线过点B（﹣2，﹣2）时z取到最小值，
所以z＝x+2y的最小值是﹣2+2×（﹣2）＝﹣6，
故选：B．

4.设平面向量，则与垂直的向量可以是（　　）
A．（4，﹣6） B．（4，6） C．（3，﹣2） D．（3，2）
【解答】解：；
（4，﹣6）•（2，﹣3）＝8+18≠0，（4，6）•（2，﹣3）＝8﹣18≠0，
（3，﹣2）•（2，﹣3）＝6+6≠0，（3，2）•（2，﹣3）＝6﹣6＝0；
∴．
故选：D．
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＝12，a2＝5，则a5＝（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解答】解：∵S6＝12，a2＝5，
∴12＝，解得a5═﹣1．
故选：B．
6.已知A是△ABC的内角，则“sinA＝”是“tanA＝”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件．
【解答】解：在三角形中，若sinA＝，则A＝或，
若tanA＝，则A＝，
则“sinA＝”是“tanA＝”的必要不充分条件，
故选：B．
7.已知两条直线m，n，两个平面α，β，m∥α，n⊥β，则下列正确的是（　　）
A．若α∥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥β
C．若α⊥β，则n∥α D．若α⊥β，则m⊥n
【解答】解：对于A，由α∥β，n⊥β，所以n⊥α；
又m∥α，所以n⊥m，A正确；
对于B，由m∥α，且α∥β，
得出m∥β，或m⊂β，所以B错误；
对于C，由n⊥β，且α⊥β时，
得出n∥α或n⊂α，所以C错误；
对于D，m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，也可能相交，也可能在β内；
α⊥β，且n⊥β，则n∥α或n⊂α，所以m⊥n不一定成立，D错误．
故选：A．
8.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（　　）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．

A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%
D．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多
【解答】解：由题意，可知：
对于A：很明显从饼状图中可发现互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上；
对于B：互联网行业中从事技术岗位的90后人数占总人数的0.56×0.396＝0.22176＞0.2，
则包括80后、80前更大于总人数的20%；
对于C：产品岗位90后人数占总人数的0.56×0.065＝0.0364＜0.05；
对于D：从事运营岗位的90后人数占总人数的0.56×0.17＝0.0952＞0.03．
故选：C．
9.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）内单调递减，则（　　）
A．f（﹣log23）＜f（log32）＜f（0）
B．f（log32）＜f（0）＜f（﹣log23）
C．f（0）＜f（log32）＜f（﹣log23）
D．f（log32）＜f（﹣log23）＜f（0）
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）内单调递减，
∴根据奇函数的对称性可知，f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，即f（x）在R上单调递减，
∵﹣log23＜0＜log32，
∴f（﹣log23）＞f（0）＞f（log32），
故选：B．
10.圆x2+y2+4x﹣12y+1＝0关于直线ax﹣by+6＝0（a＞0，b＞0）对称，则+的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由圆x2+y2+4x﹣12y+1＝0，得圆心坐标为（﹣2，6），
又圆x2+y2+4x﹣12y+1＝0关于直线ax﹣by+6＝0对称，
∴﹣2a﹣6b＝﹣6，即a+3b＝3，得，
又a＞0，b＞0，∴+＝（+）（）＝．
当且仅当a＝b时上式等号成立．
∴+的最小值是．
故选：B．
11.已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的命题中正确的是（　　）
A．g（x）在[]上是增函数
B．g（x）的图象关于直线x＝﹣对称
C．函数g（x）是奇函数
D．当x∈[]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]
【解答】解：∵f（x）＝sinωx+cosωx＝＝，
由题意知，则T＝π，∴ω＝，
∴，
把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）＝f（x+）＝2＝2cos2x．
其图象如图：

由图可知，函数在[，]上是减函数，A错误；
其图象的对称中心为（），B错误；
函数为偶函数，C错误；
，，
∴当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]，D正确．
故选：D．

12.已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣a有3个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，2） B．[0，1） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，1]
【解答】解：由g（x）＝f（x）﹣x﹣a有3个零点得g（x）＝f（x）﹣x﹣a＝0，即a＝f（x）﹣x有3个根，
设h（x）＝f（x）﹣x，
当x≤0时，h（x）＝f（x）﹣x＝x3﹣3x，此时h′（x）＝3x2﹣3＝3（x2﹣1），
由h′（x）＞0得x＞1（舍）或x＜﹣1，此时为增函数，
由h′（x）＜0得﹣1＜x＜1，∵x≤0，∴﹣1＜x＜0，此时为减函数，
即当x＝﹣1时，函数取得极大值为h（﹣1）＝﹣1+3＝2，
当x＞0时，h（x）＝f（x）﹣x＝﹣lnx﹣x为减函数，
作出函数h（x）的图象如图：
要使a＝h（x）有三个不同的根，
则a满足0≤a＜2，
即实数a的取值范围是[0，2），
故选：A．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13.甲、乙两支足球队进行一场比赛，A，B，C三位球迷赛前在一起聊天．A说：“甲队一定获胜．”B说：“甲队不可能输．”C说：“乙队一定获胜．”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是　甲胜　．（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）
【解答】解：根据三人的说法可知：
A：甲胜；B：甲胜或甲乙平局；C：乙胜，
若甲胜，则A，B都正确，不合题意；
若乙胜，则C正确，AB错误，合题意；
若甲乙平局，则B正确，AC错误，也合题意，
故比赛结果可能是乙胜或甲乙平局，
故答案为：甲胜．
14.函数y＝的图象在x＝1处的切线方程是　x﹣y﹣1＝0　．
【解答】解：函数y＝的导数为y′＝，
可得图象在x＝1处的切线斜率为k＝1，
切点为（1，0），则图象在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1，
即x﹣y﹣1＝0．
故答案为：x﹣y﹣1＝0．
15.已知椭圆＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若点F到直线AB距离为b，则该椭圆的离心率为　　．
【解答】解：椭圆＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，上顶点为B，直线AB的方程为：，即：bx+ay﹣ab＝0
点F到直线AB距离为b，
可得：＝b，
可得14（a+c）2＝25a2+25b2＝50a2﹣25c2．
可得：39e2+28e﹣36＝0，e∈（0，1），解得e＝，e＝﹣（舍去），
故答案为：．
16.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，，则角A的取值范围是　　．
【解答】解：∵＝，∴cos2A+cosAcosC＝sin2A+sinAsinC，
∴cos2A﹣sin2A＝﹣（cosAcosC﹣sinAsinC），即cos2A＝﹣cos（A+C）＝cosB，
∴在锐角△ABC中，2A＝B，∴，
又A+B+C＝π，∴3A+C＝π，即C＝π﹣3A，
∵，∴π﹣3A，∴，
综上所述，角A的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17.已知四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面MDB；
（2）求三棱锥A﹣BDM的体积．

【解答】解：（1）证明：连结AC，交BD于O，连结OM，
∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点，
∵点M为PC的中点．∴OM∥PA，
∵OM⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，
∴PA∥平面MDB．
（2）解：取AD中点N，连结PN，
∵四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，
△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点，
∴PN⊥平面ABCD，PN＝＝，
M到平面ABD的距离d＝，
S△ABD＝＝，
∴三棱锥A﹣BDM的体积为：
VA﹣BDM＝VM﹣ABD＝＝＝．

18.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图：
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？

【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，
解方程可得x＝0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；
（2）月平均用电量的众数是＝230，
∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得a＝224，
∴月平均用电量的中位数为224；
（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100＝25，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100＝15，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100＝10，
月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100＝5，
∴抽取比例为＝，
∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×＝5户
19.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝120，a2﹣a1，a4﹣a2，a1+a2成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn为数列{}的前n项和，求满足Tn＞的最小的n值．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由题意，，解得：a1＝3，d＝2．
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
（2）由（1）得，，
则，
∴
＝．
由Tn＞，得3n2﹣35n﹣60＞0，解得：n＜（舍）或n＞．
∵n∈N*，∴n的最小值为14．
20.已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，则△F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆C：
因为，a﹣c＝1 所以a＝2，c＝1，
即椭圆C：．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设 y1＞0，y2＜0由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，
由得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
则，
∴，
令，可知t≥1则m2＝t2﹣1，
∴
令，则，
当t≥1时，f'（t）＞0，即f（t）在区间[1，+∞）上单调递增，
∴f（t）≥f（1）＝4，∴，
即当t＝1，m＝0时，△F1AB的面积取得最大值3，
此时直线l的方程为x＝1．
21.已知函数f（x）＝﹣bx（a，b∈R）．
（1）当b＝0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）＝在x＝（e为自然对数的底）时取得极值，且函数g（x）在（0，e）上有两个零点，求实数b的取值范围．
【解答】解：（1）b＝0时，f（x）＝，x∈（0，+∞）．
f′（x）＝＝，
可得函数f（x）在（0，ea+1）上单调递增，在（ea+1，+∞）上单调递减．
（2）g（x）＝＝﹣b，x∈（0，+∞）．
g′（x）＝＝．
∵函数g（x）在x＝（e为自然对数的底）时取得极值，
∴＝＝0，解得a＝0．
∴g（x）＝﹣b，g′（x）＝．
可得x＝（e为自然对数的底）时取得极大值，
∵函数g（x）在（0，e）上有两个零点，
∴g（）＝﹣b＞0，g（e）＝﹣b＜0，
解得＜b＜．
∴实数b的取值范围是．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多答，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡，上把所选题目对应题号的方框涂黑.
22.在直角坐标系xOy中，已知点M（1，），C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为＝2+cos2θ．
（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点，求+的值．
【解答】解：（1）由C1的参数方程（t为参数），消去参数t，可得，
由曲线C2的极坐标方程＝2+cos2θ，得2ρ2+ρ2cos2θ＝3，
由x＝ρcosθ，x2+y2＝ρ2，
所以C2的直角坐方程为3x2+2y2＝3，即．
（2）因为在曲线C1上，
故可设曲线C1的参数方程为（t为参数），
代入3x2+2y2＝3，化简可得3t2+8t+2＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则△＝64﹣4×3×2＞0，
且，，
所以．
23．设f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．
（1）求f（x）≤x+2的解集；
（2）若不等式，对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．
【解答】解：（1）由f（x）≤x+2有 …（3分）
解得0≤x≤2，∴所求解集为[0，2]…（5分）
（2）…（7分）
当且仅当时取等号，
由不等式对任意实数a≠0恒成立，
可得|x﹣1|+|x+1|≥3，
解得…（10分）
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日期：2020/6/6 9:47:33；用户：朱书莉；邮箱：15539896640；学号：30321726