河南省三门峡市外国语高级中学2020届高三模拟考试数学试卷1

数学学科模拟试卷

一、选择题：（每题5分，共60分）

1．已知复数，则z的共轭复数在复平面对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合A＝{y|y＝lnx}，，则A∩B＝（　　）

A．         B．        C．     D．

3、如图的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报； ③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大； ④两只股票在全年都处于上升趋势．其中正确结论的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

4、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？其意思是“已知，，，，”五个人分重量为6钱“钱”是古代的一种重量单位）的物品，，，三人所得钱数之和与，二人所得钱数之和相同，且，，，，每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，分得物品的钱数是　　

A．钱 B．钱 C．钱 D．钱

5、若函数为奇函数，则函数上过点的切线有几条（       ）

1. 1条        B、2条        C、3条          D、4条

6、在三棱锥中，分别为棱上靠近的三等分点，则（   ）

A、   B、    C、   D、

7、设某几何体的三视图如右图（尺寸的长度单位为m）。       

 则该几何体的体积为（    ）     

A．2  B． 3  C． 4  D．5

8、点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且

，则称点为“等点”，那么下列结论中正确的是                     （    ）

       A．直线上的所有点都是“等点”

       B．直线上仅有有限个点是“等点”

       C．直线上的所有点都不是“等点”

       D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“等点”

9.已知函数，若方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

10．如图，圆、圆、圆内切于正三角形中且彼此相外切，在三角形内随机取一点，则此点取自三角形（阴影部分）的概率是　　

A． B． 

C． D．

11、已知  ,  分别是双曲线          的左右焦点，若   关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，   OF2长度为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（  ）

A.3          B.          C.2           D.

 12.设数列    的各项都为正数且  =1，     内的点         均满足      与 

的面积比为2:1,若                          ，则   的值为（  ）

A.15        B.17       C.29       D.32

二、填空题：（每题5分，共20分）

14．已知数列{an}满足a1＝，an+1﹣an＝2n+1，则数列的前n项和Sn＝　   　．

15．有7名学生，其中有3名会唱歌，3名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞，现从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法　   　种．

16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则tan2B•tan3A的最大值为　   　

 三、解答题：(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）

17．如图在四边形中，，，，，．（1）求长；（2）求．

18、如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．

   （I）设是的中点，证明：平面；

   （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．

19、（本小题满分12分）

设椭圆的上焦点为，过的直线与交于,两点，点的坐标为．

(1)当与轴垂直时，求直线的方程；

(2)设为坐标原点，证明：．

20、（本小题满分12分）

某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图的频率分布直方图，其中最高的16株的茎叶图如图所示．以这100株树苗高度的频率．

（1）求这批树苗的高度高于1.60米的概率，并求图中，，的值；

（2）若从这批树苗中随机选取3株，记为高度在，的树苗数量，求的分布列和数学期望；

（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布，如果这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利获得签收，否则，公司将拒绝签收，试问，该批树苗能否被签收？

21、（本小题满分12分）

21．已知函数f（x）＝-ax+a+lnx， ．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若f（x）0恒成立，求a的取值范围．

（III）在（Ⅱ）的条件下，证明：

选做题

请考生在第22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

以平面直角坐标系 xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C：（θ为参数），直线：，直线的极坐标方程为

（Ⅰ）求曲线C和直线的普通方程；

（Ⅱ）与C交于不同两点M，N，MN的中点为P，与的交点为Q，恒过点A，求|AP|•|AQ|的值．

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

函数，.

（Ⅰ）若求不等式的解集

（Ⅱ）若不等式的解集非空，求的取值范围

参考答案

1．解：根据题意，复数，

则其共轭复数，其对应的点为（﹣1，﹣1），位于第一象限；

故选：A．

2．解：由A中的函数y＝lnx，得到A＝；

由B中的不等式变形得：，即B＝

则A∩B＝

故选：C．

3、解：①甲的标准差2.04，乙的标准差为9.63，则甲的标准差小，

即股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确，

②股票甲的极差是6.88元，股票乙的极差为27.47元，

则购买股票乙风险高但可能获得高回报；故②正确，

③由图象知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确，

④甲股票在6到8月份之间出现下跌，故④错误，

故正确的是①②③．   故选：．

4、解：设，，，，五个人所得钱数依次为，，，，，

由题意得，解得，，

分得物品的钱数是（钱．故选：．

5：B  6：A

7、这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于×2×4×3＝4

 8、本题采作数形结合法易于求解，如图，

设，

则，

∵，

∴

（第8题解答图）

消去n,整理得关于x的方程            （1）

∵恒成立，

∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.

9.解：函数，若方程恰有四个不同的实数根，

即，有4个不同的交点，

分别画出，与的图象，

当时，，

，

设直线与相切于点，，

，

，，

，，

当时，，

，

设直线与相切于点，，

，

，，

，，

结合图象可知，

故选：．（本题还可以用参变分离）

10.解：如图，设一个内切圆的半径为，则，

则，，

因为正三角形与正三角形相似，

则在正三角形内随机取一点，则此点取自三角形（阴影部分）的概率是：

．

故选：．

11解:由题意
一条渐近线方程为          则到渐近线的距离为

设关于渐近线的对称点为M,与渐近线交于A,

则，A为的中点,
又0是的中点,则OA//,为直角,
为直角三角形,
由勾股定理得
,,
,.
所以C选项是正确的.

12、A

13、 

14解：∵an+1﹣an＝2n+1，∴n≥2时，an﹣an﹣1＝2n﹣1．

∴an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1

＝（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+（2×2﹣1）+

＝+＝n2﹣．

∴＝＝．

∴数列{}的前n项和Sn＝2+…+

＝2

＝．

15、解：4名会唱歌的从中选出两个有C42＝6（种），

4名会跳舞的选出1名有4种选法，

但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个，

两组不能同时用他，

∴共有4x6﹣3＝21种

故答案为：21．

16、解：∵acosB﹣bcosA＝c，

∴2RsinAcosB﹣2RsinBcosA＝2RsinC，

∴sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，

∴sinAcosB﹣sinBcosA＝sin（A+B），

∴sinAcosB﹣sinBcosA＝（sinAcosB+sinBcosA），

∴2sinAcosB＝8sinBcosA，

∴tanA＝4tanB，

∵，

∴tanB＞1，

∴tan2B•tan3A＝•tan3A＝，

令x＝tan2B，则t＞1，

y＝，则y′＝，

当1＜t＜2时，y′＞0，y＝为增函数，

当t＞2时，y′＜0，y＝为减函数，

故当t＝2时，y＝取最大值﹣512，

故答案为：﹣512．

17、解：（1）在中，，，，

又，，为为

等腰三角形，

由余弦定理可得，

中，，，

，由正弦定理可得．

（2）在中，，，，

根据余弦定理可得．

所以在中，根据余弦定理可得

18、证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，.   

则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面

（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．.   

19:【解析】(1)由已知得，的方程为．

由已知可得，点的坐标为或．

所以的方程为或．

(2)由角平分线定理知，要证只需证。

当与轴垂直时，．

当与轴平行时，为的垂直平分线，所以。

当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，

则，，直线，的斜率之和为．

由，得

．

将代入得

．

所以，，．

则．

从而，故，的倾斜角互补，所以．

综上，，即。

20、解：（1）由茎叶图可知，100株样本树苗中高度高于1.60的共有15株，

以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗的高度高于1.60的概率为0.15．

记为树苗的高度，结合频率分布直方图，可得：

，

，

，

又由于组距为0.1，所以，，．

（2）以样本的频率估计总体的概率，可得：

从这批树苗中随机选取1株，高度在，的概率：

．

因为从这批树苗中随机选取3株，相当于三次重复独立试验，

所以随机变量服从二项分布，

故的分布列为：，1，2，，（8分）

的分布列为：

．

（3）由，取，，

由（2）可知，，

又结合（1），可得：

，

所以这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，

应认为这批树苗是合格的，将顺利获得该公司签收．

21、解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），

函数的导数f′（x），

若a≤0，则f′（x）0，此时函数在（0，+∞）上递增，

若a＞0，则当，f′（x）>0，此时函数单调递增.

            时，f′（x）<0，此时函数单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a≤0，则f′（x）>0，函数f（x）在（0，+∞）上递增，

∵f（1）＝0，∴f（x）>=0不恒成立，

若0＜a＜1，当x∈（1，）时，f（x）单调递增，f（x）>f（1）＝0，不合题意，

若a＞1，当x∈（，1）时，f（x）单调递减，f（x）>f（1）＝0，不合题意，

若a＝1，当x∈（0，1）上单调递增，f（x）在（1，+∞）单调递减，f（x）f（1）＝0，符合题意，

故a＝1时，且lnx≤x﹣1，（当且仅当x＝1时取等号）.

（III）

当

当

两式相乘，即得

22．（本小题10分）

【解析】

（Ⅰ）曲线C：（θ为参数），

化普通方程为；

：化普通方程为x﹣2y﹣4=0；  --------------4分

（Ⅱ）因为恒过点A，所以可设的参数方程为：

（为参数），代入圆C方程，整理得

，---------------6分

因为M，N，P，Q，都在上，所以可设它们对应的参数依次为，，，，

所以 ，

又P为MN的中点，所以

的参数方程代入的方程，可得，

所以

所以 |AP|•|AQ|=10．-------------------------10分

23. （本小题10分）

【解析】

（Ⅰ）当时，，即

上述不等式可化为：

，或，或

解得

所以解集为   ---------------4分

（Ⅱ）令，因为，所以

，  -------------------6分

所以

当时，；

当时，；

当时，，

所以函数的值域为，

因为不等式的解集非空，

所以 ，

所以 .---------------------10分