2020届河南省鹤壁市高级中学高三下学期线上第四次模拟数学（理）试题（解析版）

2020届河南省鹤壁市高级中学高三下学期线上第四次模拟数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】化简集合A,B，根据交集的运算求解即可.

【详解】

因为，，

所以，

故选A.

【点睛】

本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.

2．若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：由，可得，∴z对应的点的坐标为（4，－2），故选C．

【考点】考查了复数的运算和复数与复平面内点的对应关系．

点评：解本题的关键是根据复数的除法运算求出复数z，然后利用复数z所对应的点的横坐标和纵坐标分别为为复数的实部和虚部，得出对应点的坐标．

3．《九章算术》是我国最重要的数学典书，曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之一.其中的“竹九节“问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列，已知较粗的下3节共容4升，较瘦的上4节共容3升.根据上述条件，请问各节容积的总和是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先用和表示已知条件，建立方程，最后代入前项和的计算方法.

【详解】

设首项，公差

即 ， ， ，

.

【点睛】

本题考查了等差数列基本量的计算，考查逻辑推理和计算能力，属于基础题型.

4．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为（   ）

A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，

C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米

D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，

【答案】D

【解析】根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B，根据回归方程可判断正相关；C将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D，根据回归方程x的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.

【详解】

A，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；

B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；

C，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；

D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.

故答案为D.

【点睛】

本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.

5．已知，下列各式中正确的个数是（    ）

①；②；③；④；

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解.

【详解】

①,正确；

②，正确；

③因为可知，，，

所以，故错误；

④，正确.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了平方和公式，立方和公式，属于容易题.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】利用函数的单调性排除A，B，通过函数的最值排除D，推出结果即可．

【详解】

根据函数，

可得，

由f′(x)>0,得x>,即函数f(x)在(,+∞)上单调递增，

由f′(x)<0得0<x<,即函数f(x)在(0,)上单调递减，

可以排除A、B，

当x=时,函数f(x)有最小值,f(x)min=f()=，

于是对任意的x∈(0,+∞),有f(x)>0，故排除D，

故选：C.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的图象，常用的方法为排除法，可依据函数的单调性、奇偶性、定义域、值域、零点、特殊值等进行排除，属于中等题.

7．已知直线:与双曲线:(,)交于,两点,点是弦的中点,则双曲线的离心率为(    )

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】根据点是弦的中点,两点横坐标之和等于,联立直线和双曲线的方程,求出的值,即可求得答案.

【详解】

设

点是弦的中点

根据中点坐标公式可得:

,两点在直线:

根据两点斜率公式可得:

两点在双曲线上

,即

解得:

故选:D.

【点睛】

此题考查根据直线与双曲线的交点坐标关系求解离心率,解题关键是掌握双曲线直线交点问题的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

8．如图，正方形ABCD内接于圆，M,N分别为边AB,BC的中点，已知点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围是(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，且，用表示出向量的结果，然后利用三角函数的性质可求得范围.

【详解】

如图所示：

连接OM，由题意圆的半径为，则正方形的边长为2，可得，，设，且，所以由，由，可得，所以，则.

故选：C.

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量和平面几何知识以及三角函数知识的综合应用，属于中档题.

9．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设阴影部分正方形的边长为，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率.

【详解】

如图所示，设阴影部分正方形的边长为，则七巧板所在正方形的边长为，

由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率，故选：B.

【点睛】

本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.

10．点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.

【详解】

根据题意知，是一个等边三角形，其面积为，

由正弦定理知，外接圆的半径为．

设小圆的圆心为，

若四面体的体积有最大值，由于底面积不变，高最大时体积最大，

所以，与面垂直时体积最大，

最大值为，

，

设球心为，半径为，

则在直角中，，

即，

则这个球的表面积为：

故选：A．

【点睛】

本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体的体积的最大值，是解答的关键．

11．如图，已知点分别是双曲线和它的渐近线上的点，分别是双曲线的左，右焦点，且，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】不妨设，则方程为，根据题意分别求点，，，的坐标，根据向量的数量积运算即可比较.

【详解】

不妨设，则方程为，

∴，

即，

∴，双曲线的一条渐近线为，

∵，点在渐近线上，

∴，

设，

则，

∵，

解得，，

∴，

∴，，，，

∴，，

∴，故A，B错误，

∴

∴

故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，向量的坐标运算，向量的数量积，属于中档题．

12．已知函数，，若方程在上有两个不等实根，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对的范围分类，即可将“方程在上有两个不等实根”转化为“在内有实数解，且方程的正根落在内”，记，结合函数零点存在性定理即可列不等式组，解得：，问题得解．

【详解】

当时，可化为：

整理得：

当时，可化为：

整理得：，此方程必有一正、一负根.

要使得方程在上有两个不等实根，

则在内有实数解，且方程的正根落在内.

记，

则，即：，解得：.

故选C

【点睛】

本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数零点存在性定理的应用，还考查了计算能力及分析能力，属于难题．

二、填空题

13．已知x，y满足，则z＝2x+y的最大值为_____.

【答案】3.

【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大值即可．

【详解】

解：，在坐标系中画出图象，

三条线的交点分别是，，，

在中满足的最大值是点，代入得最大值等于3．

故答案为：3．

【点睛】

本题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

14．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率为，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：

90   79   66   19   19   25  27  19  32  81   24   58   56   96   83

43   12   57   39   30   27  55  64  88  73   01   13   13   79   89

，这三天中恰有两天下雨的概率约为______.

【答案】

【解析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．

【详解】

由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，

在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393、137．

共6组随机数，

所求概率为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．

15．设是数列的前项和，且，，则__________．

【答案】

【解析】化简得，即是等比数列，然后求出的值

【详解】

，，，，

是首项为1，公比为2的等比数列，则，.

【点睛】

本题考查了求数列的前项的和，结合条件进行化简，构造出新的数列是等比数列，然后求出等比数列的通项公式，继而求出结果

16．已知，若关于的方程有四个实根，则这四个根之积的取值范围________.

【答案】.

【解析】考查方程的根、函数零点、函数图象交点的相互转化，借助形去计算数.

【详解】

与两图象交点问题，当，则

，其中，

，.填写:

【点睛】

二次函数对称轴、对数函数绝对值一些特殊性质需要考生多记.

三、解答题

17．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若为的中点，且，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出，再利用两角差的余弦公式可得出的值，结合角的范围可得出角的大小；

（2）由中线向量得出，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出的最大值，再利用三角形的面积公式可得出面积的最大值.

【详解】

（1）由正弦定理及得，

由知，

则，化简得，.

又，因此，；

（2）如下图，由，

又为的中点，则，

等式两边平方得，

所以，

则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.

【点睛】

本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

18．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，是上一点，且.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：

（1）连接，由线面垂直的性质定理可得，且，故平面，，又，利用线面垂直的判断定理可得平面.

（2）法1：由（1）知平面，即是直线与平面所成角，设，则，，，结合几何关系计算可得，即直线与平面所成角的正弦值为.

法2：取为原点，直线，，分别为，，轴，建立坐标系，不妨设，结合(1)的结论可得平面得法向量，而，据此计算可得直线与平面所成角的正弦值为.

试题解析：

（1）连接，由平面，平面得，

又，，

∴平面，得，

又，，

∴平面.

（2）法1：由（1）知平面，即是直线与平面所成角，易证，而，

不妨设，则，，，

在中，由射影定理得，

可得，所以，

故直线与平面所成角的正弦值为.

法2：取为原点，直线，，分别为，，轴，建立坐标系，不妨设，则，，，

由（1）知平面得法向量，而，

∴ .

故直线与平面所成角的正弦值为.

19．已知动圆M与直线相切，且与圆N：外切

（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；

（2）点O为坐标原点，过曲线C外且不在y轴上的点P作曲线C的两条切线，切点分别记为A，B，当直线与的斜率之积为时，求证：直线过定点.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）直接利用直线与圆的位置关系式，圆和圆的位置关系式的应用求出结果．

（2）利用直线与曲线的相切和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．

【详解】

（1）设动圆圆心M（x，y），

由于圆M与直线y=-1相切，且与圆N：外切．

利用圆心到直线的距离和圆的半径和圆心距之间的关系式，

可知C的轨迹方程为：

（2）设直线：，，，

因为，，所以两条切线的斜率分别为，，

则直线的方程是，

直线的方程是.

两个方程联立得P点坐标为，

，

，由联立得：

，

故直线过定点.

【点睛】

本题考查轨迹方程、直线过定点问题，求轨迹方程，可根据题目关系及圆锥曲线的几何性质直接求解即可，而对于直线过定点问题，一般根据题目给定条件，利用直线与曲线的关系和一元二次方程根和系数关系式，找出定点即可，属于中等题.

20．某芯片公司对今年新开发的一批 5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了 100 颗芯片，所调查的芯片得分均在7，19内，将所得统计数据分为如下：，，，， ,六个小组，得到如图所示的频率分布直方图，其中.

（1）求这 100 颗芯片评测分数的平均数；

（2）芯片公司另选 100 颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在 3 个工程手机中进行初测｡若 3 个工程手机的评分都达到 13 万分，则认定该芯片合格；若 3 个工程手机中只要有 2 个评分没达到 13 万分，则认定该芯片不合格；若 3 个工程手机中仅 1 个评分没有达到 13万分，则将该芯片再分别置于另外 2 个工程手机中进行二测，二测时，2 个工程手机的评分都达到 13万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有 1 个评分没达到 13 万分，手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为 160 元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试．现手机公司测试部门预算的测试经费为 5 万元，试问预算经费是否足够测试完这 100 颗芯片?请说明理由.

【答案】(1)；(2)不足够，理由见详解.

【解析】（1）根据频率分布直方图，先求出参数，再计算其平均数；

（2）先计算每颗芯片测试费用的分布列，以及数学期望，再根据题意比较是否足够.

【详解】

（1）根据概率之和为1，可得：

结合

可得：

故这 100 颗芯片评测分数的平均数为：

（2）由题可知公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到13万分的概率为

设每颗芯片的测试费用为元，则可能取值为：320,480,640,800，

故每颗芯片的测试费用的数学期望为：

元，

则，

故经费不足够测试完这100颗芯片.

【点睛】

本题考查频率分布直方图中平均数的求解，以及离散型随机变量的分布列，难点是对题目的理解和把握.

21．已知函数，

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式对任意 恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）当 时，递增区间为；当时，递减区间是，递增区间是；（2）

【解析】（1）求导，对参数进行分类讨论，求得函数的单调区间；

（2）构造函数，利用进行适度放缩，从而判断函数单调性，找到对应的参数范围即可.

【详解】

（1）由题意，得．

①当  时，，在上为增函数；

②当 时，

当 时，， 在上为减函数，

当 时，， 在 上为增函数．

综上所述，当 时，的单调递增区间为；

当时， 的单调递减区间是，单调递增区间是．

  （2）由不等式 ，对恒成立，

即，对 恒成立．

构造函数， 

则．

下面证明：，

令，则

当，单调递减；

当，单调递增；

故，即证，

所以

，

①当时，

在上恒成立，

在上单调递增，

，

即，对恒成立．

②当 时，因为，

所以，即 ，在成立．

故当 时，

，

因为时，，

知 在上为减函数，，

即在 上，不存在使得不等式对任意 恒成立．

综上，实数的取值范围是．

【点睛】

本题考查对含参函数单调性的讨论，以及利用导数处理由恒成立求参数范围的问题；本题中的难点在于应用对函数进行放缩.

22．在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线过极坐标系内的两点和.

(1)写出曲线的普通方程,并求直线的斜率;

(2)设直线与曲线交于两点,求.

【答案】（1），；（2）

【解析】试题分析：利用消参法将参数方程转化成普通方程,再利用斜率公式求出斜率;

写出直线的参数方程,代入,得,然后根据直线参数方程的几何意义解答.

试题解析：(1)由题意得曲线的普通方程为,

∵,∴直线的斜率为.

(2)易知直线的参数方程为为参数)

代入,得,

设方程的两个根为,

所以.

点睛：本题主要是考查普通方程与参数方程的互化,极坐标与直角坐标的互化,直线参数方程的几何意义.

23．已知函数，.

（1）当时，解不等式；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）令h（x）=|x-2|-|2x-1|，由a=1时，不等式f（x）≤g（x），可得h（x）≤1，然后解绝对值不等式即可；

（2）由（1）可得h（x）的最大值，然后根据f（x）≤g（x）恒成立，可知a≥h（x）max，从而得到a的取值范围．

【详解】

（1）令，

由a=1时，不等式f（x）≤g（x），

可得，

∴或或

∴x≥2或或x≤0，

解集为：或；

（2）由（1）可知：只需，

当时，，

∴a的取值范围为．

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题，解绝对值不等式可以用分类讨论思想，利用“零点分段法”求解，解不等式恒成立问题，利用函数的图像及最值求解,属于中等题.