新高考数学一轮复习考点学案第5章§5.4复数（含答案解析）

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1.复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 是复数的实部， 是复数的虚部，i为虚数单位.
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
复数实数(b 0),虚数(b 0)(当a 0时为纯虚数).
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di⇔ (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔ (a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R).
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.
3.复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝(a＋bi)(c−di)(c＋di)(c−di)＝ (c＋di≠0).
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝ ，Z1Z2＝ .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)任意两个复数都不能比较大小.( )
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )
2.(2025·八省联考)|2－4i|等于( )
A.2B.4C.25D.6
3.已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
4.复数5i−2的共轭复数是 .
1.熟记与复数有关的常用结论
(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1−i＝i；1−i1＋i＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).
(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).
(4)复数z的方程在复平面内表示的图形
①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
②|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.
2.谨防两个易误点
(1)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
(2)两个不全为实数的复数不能比较大小.
题型一 复数的概念
例1 (1)(2024·咸阳模拟)已知复数z＝m2－7m＋6＋(m2－36)i是纯虚数，则实数m的值为( )
A.±6B.1或6
C.－6D.1
(2)(多选)(2024·银川模拟)若复数z满足z(1－2i)＝10，则( )
A.z＝2－4i
B.z－2是纯虚数
C.复数z的虚部为4i
D.复数z在复平面内对应的点在第三象限
(3)(2024·晋中模拟)已知复数z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，则|a＋bi|等于( )
A.5B.4
C.21D.29
思维升华 解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝z；③z∈R⇔z2≥0.
(3)复数是纯虚数的条件
①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；
②z是纯虚数⇔z＋z＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2