2027年高考数学一轮复习第五章　§5.3　平面向量的数量积学案含解析

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1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3.平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB=a，CD=b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cs θ e.
4.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是0，π2. ( × )
(2)若a，b共线，则a·b=|a||b|. ( × )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量. ( √ )
(4)若a·b=a·c，则b=c. ( × )
2.(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是( )
A.(a+b)·c=a·c+b·c
B.(a·b)·c=a·(b·c)
C.a·b≤|a||b|
D.|a-b|≤|a|+|b|
答案 ACD
解析 根据数量积的分配律可知A正确；
B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，等式不一定成立，故B不正确；
C中，根据数量积的定义可知a·b=|a||b|cs〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；
D中，|a-b|2-(|a|+|b|)2=-2a·b-2|a||b|=-2|a||b|(cs〈a，b〉+1)≤0，故|a-b|2≤(|a|+|b|)2，即|a-b|≤|a|+|b|，故D正确.
3.(2025·青岛检测)设x∈R，向量a=(x，1)，b=(1，-2)，且a⊥b，则cs〈a-b，a〉等于( )
A.25B.105C.510D.22
答案 D
解析 因为a=(x，1)，b=(1，-2)，
又a⊥b，所以x-2=0，x=2，
所以a=(2，1)，a-b=(1，3)，
所以cs〈a-b，a〉=(a−b)·a|a−b||a|=510×5=22.
4.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为2π3，且a+b+c=0，则|c|= .
答案 7
解析 因为a+b+c=0，所以c=-a-b，所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=22+2×2×3×cs 2π3+32=4-6+9=7，所以|c|=7.
熟记以下常用结论
(1)平面向量数量积运算的常用公式
①(a+b)·(a-b)=a2-b2.
②(a±b)2=a2±2a·b+b2.
③a2+b2=0⇒a=b=0.
(2)有关向量夹角的两个结论
①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
②若a与b的夹角为钝角，则a·b