2021高考数学一轮复习学案：第五章5.4复数

§5.4　复　数

1．复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．

(2)分类：

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．

3．复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.

概念方法微思考

1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？

提示　不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．

2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？

提示　复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)

(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)

(3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．

(　√　)

题组二　教材改编

2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．－1或1

答案　A

解析　∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.

3．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)

A．1－2i  B．－1＋2i  C．3＋4i  D．－3－4i

答案　D

解析　＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.

4．若复数z满足(3＋4i)z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数等于(　　)

A．－－i   B．－＋i

C．－－i   D．－＋i

答案　D

解析　由题意可得z＝＝＝，

所以＝－＋i，故选D.

题组三　易错自纠

5．(2020·山东模拟)已知a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b等于(　　)

A．－1   B．－  C.  D．1

答案　D

解析　由＝＝－i，

从而知a＋bi＝i，由复数相等得a＝0，b＝1，

从而a＋b＝1.

6．(2019·葫芦岛模拟)若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　B

解析　由题意，∵z＝＝＝－2－2i，

∴＝－2＋2i，则z的共轭复数对应的点在第二象限．故选B.

7．(多选)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，下列四个结论中正确的是(　　)

A．αβ＝1   B.＝－i

C.＝1   D．α2＋β2＝0

答案　BCD

解析　对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，

A项，αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，故A不正确；

B项，＝＝＝＝－i，故B正确；

C项，＝＝1，故C正确；

D项，α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故D正确．故正确的结论为BCD.

复数的有关概念

1．(2019·河南省百校联考)已知i为虚数单位，则复数z＝的虚部为(　　)

A．i  B．2  C．－1  D．－i

答案　C

解析　因为＝＝＝2－i，所以z的虚部为－1.

2．(2019·汉中模拟)已知a，b∈R，(a－i)i＝b－2i，则a＋bi的共轭复数为(　　)

A．－2－i  B．－2＋i  C．2－i  D．2＋i

答案　A

解析　由(a－i)i＝1＋ai＝b－2i，得

∴a＋bi＝－2＋i，其共轭复数为－2－i，故选A.

3．(2020·东莞模拟)已知a为实数，若复数(a＋i)(1－2i)为纯虚数，则a等于(　　)

A．－  B．2  C.  D．－2

答案　D

解析　(a＋i)(1－2i)＝a＋2＋(1－2a)i，

∵复数是纯虚数，∴a＋2＝0且1－2a≠0，

得a＝－2且a≠，即a＝－2.故选D.

4．(2019·河南省八市重点高中联考)已知复数z＝＋2iz，则|z|等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　由题意得z＝＝＝＝，

故|z|＝＝，故选A.

思维升华　复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等，在解题过程中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．

复数的运算

命题点1　复数的乘法运算

例1　(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于(　　)

A．－3－i  B．－3＋i  C．3－i  D．3＋i

答案　D

解析　(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.

(2)i(2＋3i)等于(　　)

A．3－2i  B．3＋2i  C．－3－2i  D．－3＋2i

答案　D

解析　i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.

命题点2　复数的除法运算

例2　(1)(2018·全国Ⅱ)等于(　　)

A．－－i   B．－＋i

C．－－i   D．－＋i

答案　D

解析　＝＝

＝＝－＋i.

故选D.

(2)(2019·全国Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z等于(　　)

A．－1－i  B．－1＋i  C．1－i  D．1＋i

答案　D

解析　z＝＝＝＝1＋i.

命题点3　复数的综合运算

例3　(1)(2020·达州模拟)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则||等于(　　)

A.  B．3＋4i  C．5  D．7

答案　C

解析　z＝＝＝3＋4i，

故＝3－4i⇒||＝5，故选C.

(2)(2019·天津市实验中学模拟)已知z1＝1＋i，z2＝1－i(i是虚数单位)，则 ＋＝________.

答案　0

解析　＋＝＋＝＋＝0.

思维升华　(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．

(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．

跟踪训练1　(1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝＋ai，z·＝4，则a为(　　)

A．1或－1   B．1

C．－1   D．不存在的实数

答案　A

解析　由题意得＝－ai，

故z·＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选A.

(2)(2019·晋城模拟)若＝m＋ni，其中m，n∈R，则m－n等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　B

解析　依题意，得＝

＝＝－－i，

所以m＝－，n＝－，所以m－n＝.故选B.

复数的几何意义

例4　(1)(2019·江西省临川第一中学模拟)已知i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝2－i，则在复平面上复数z对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　D

解析　因为z＝＝＝＝－i，

所以复平面上复数z对应的点为，位于第四象限，故选D.

(2)已知集合A＝{z|(a＋bi)＋(a－bi)z＋2＝0，a，b∈R，z∈C}，B＝{z||z|＝1，z∈C}，若A∩B＝∅，则a，b之间的关系是(　　)

A．a＋b>1   B．a＋b<1

C．a2＋b2<1   D．a2＋b2>1

答案　C

解析　设z＝x＋yi，x，y∈R，

则(a＋bi)(x－yi)＋(a－bi)(x＋yi)＋2＝0，

化简整理得，ax＋by＋1＝0，即集合A可看成复平面中直线ax＋by＋1＝0上的点，集合B可看成复平面中圆x2＋y2＝1上的点，

若A∩B＝∅，即直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1没有交点，d＝>1，即a2＋b2<1，故选C.

思维升华　复数与复平面内的点、向量是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．

跟踪训练2　(1)(2019·临沂模拟)已知＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　B

解析　由＝－1＋bi，

得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，

∴即a＝－2，b＝－1，

∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二象限，故选B.

(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x＋y，则x＋y的值是________．

答案　5

解析　由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，

∵＝x＋y，

∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，

∴解得故x＋y＝5.