2027年高考数学一轮复习第四章　§4.6　正弦定理、余弦定理学案含解析

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1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.三角形解的判断
3.三角形中常用的面积公式
(1)S=12aha(ha表示边a上的高)；
(2)S=12absin C=12acsin B=12bcsin A；
(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. ( × )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b. ( √ )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素. ( × )
(4)在△ABC中，若b2+c2-a2>0，则△ABC为锐角三角形. ( × )
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=7，a=1，B=2π3，则c等于( )
A.5B.2C.3D.3
答案 B
解析 由余弦定理得cs B=a2+c2−b22ac，即-12=1+c2−72c，整理得c2+c-6=0，解得c=2(负值舍去).
3.(2025·广安模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π4，C=5π12，b=2，则a等于( )
A.2B.233C.33D.32
答案 B
解析 因为A=π4，C=5π12，所以B=π-π4-5π12=π3，
由正弦定理asinA=bsinB，可得a=bsinAsinB=2×2232=233.
4.(2025·辽阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=5，b=7，c=4，则△ABC的面积为 .
答案 46
解析 在△ABC中，因为a=5，b=7，c=4，
由余弦定理可得cs B=a2+c2−b22ac=25+16−492×5×4=-15，又0B⇔sin A>sin B，cs A0，
两边平方得sin2A=8cs2A，
又sin2A+cs2A=1，
所以9cs2A=1，所以cs A=13.
思维升华 (1)判断三角形形状的两种思路
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.
(2)三角形面积公式的应用原则
①对于面积公式S=12absin C=12acsin B=12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
跟踪训练2 (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A=sin Bsin C，(b+c+a)(b+c-a)=3bc，则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案 C
解析 因为(b+c+a)(b+c-a)=3bc，
所以b2+c2-a2=bc，
所以cs A=b2+c2−a22bc=bc2bc=12.
因为A∈(0，π)，所以A=π3，
又sin2A=sin Bsin C，所以a2=bc，
由余弦定理a2=b2+c2-2bccs A，得bc=b2+c2-bc，即(b-c)2=0，所以b=c，
所以△ABC是等边三角形.
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=2cs B，a2+b2-c2=2ab.
①求B；
②若△ABC的面积为3+3，求c.
解 ①由余弦定理有a2+b2-c2=2abcs C，
因为a2+b2-c2=2ab，
所以cs C=22，
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
从而sin C=1−cs2C=1−222=22，
又因为sin C=2cs B，
即cs B=12，
又B∈(0，π)，所以B=π3.
②由①可得B=π3，cs C=22，C∈(0，π)，
从而C=π4，sin A=sin(B+C)=sinπ3+π4
=32×22+12×22=6+24.
方法一 由正弦定理有bsinπ3=csinπ4，
从而b=32·2c=62c，
由三角形面积公式可知，
△ABC的面积可表示为S△ABC=12bc·sin A
=12·62c·c·6+24=3+38c2，
由已知△ABC的面积为3+3，
可得3+38c2=3+3，所以c=22.
方法二 记R为△ABC外接圆的半径，
由正弦定理得
S△ABC=12ab·sin C=2R2sin Asin Bsin C
=2R2·6+24·32·22
=3+34·R2=3+3.
所以R=2.
所以c=2R·sin C=2×2×22=22.
题型三 与中线、角平分线、垂线有关的问题
例4 (多选)(2026·沈阳模拟)在△ABC中，AB=4，AC=6，A=π3，点D为边BC上一动点，则( )
A.BC=27
B.当AD为边BC上的高时，AD=3217
C.当AD为边BC上的中线时，AD=19
D.当AD为角A的平分线时，AD=1235
答案 ACD
解析 对于A，由余弦定理，可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcs A=16+36-2×4×6×12=28，
所以BC=27，所以A正确；
对于B，由正弦定理，可得S△ABC=12×AB×AC×sin A=12×4×6×32=63，
而S△ABC=12×BC×AD=12×27×AD=63，故AD=637=6217，所以B错误；
对于C，因为AD=12(AB+AC)，
所以AD2=14(AB2+2AB·AC+AC2)=14×16+2×4×6×12+36=19，所以|AD|=19，所以C正确；
对于D，因为AD为角A的平分线，
则∠BAD=∠CAD=π6，
由S△ABC=S△ABD+S△ACD，
可得63=12×4×ADsinπ6+12×6×ADsinπ6，
可得AD=1235，所以D正确.
思维升华 三角形中线、角平分线的解题策略
(1)若AD是△ABC边BC上的中线，一般利用向量解决问题，即AD=12(AB+AC)，两边平方即可得到边与角的关系.
(2)若AD是△ABC中角A的平分线，则S△ABD+S△ACD=S△ABC，ABAC=BDDC.
跟踪训练3 (多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A=2π3，角A的平分线AD交BC于点D，AD=2，b=6，则以下结论正确的是( )
A.c=3
B.BD=2CD
C.△ABC的面积为932
D.a=35
答案 AC
解析 如图所示，
A=2π3，则sin A=sinA2=32，cs A=-12，
由S△ABC=S△ACD+S△ABD，即有12bcsin A=12b·AD·sinA2+12c·AD·sinA2，
所以bc=2b+2c，因为b=6，所以c=3，故A正确；
由角平分线的性质可知，BDCD=ABAC=cb=12，即2BD=CD，故B错误；
S△ABC=12bcsin A=12×6×3×32=932，故C正确；
在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A=36+9+2×6×3×12=63，
所以a=37，故D错误.
相关定理在解三角形中的综合应用
1.角平分线定理
在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，则ABBD=ACCD.
进而得到(1)AD2=AB·AC-BD·CD(斯库顿定理).
(2)ABAC=BDCD=S△ABDS△ACD.
2.张角定理
在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β，
则sinβAB+sinαAC=sin(α+β)AD.
3.中线长定理
在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2).
典例 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=8，c=9，则AC边上的中线长为 .
答案 7
解析 方法一 在△ABC中，设BD是AC边上的中线，由中线长定理知，
AB2+BC2=2(BD2+DC2)，
即c2+a2=2BD2+14b2，
则BD2=c2+a22-b24=81+492-644=49，BD=7，
故AC边上的中线长为7.
方法二 因为a=7，b=8，c=9，由余弦定理得cs B=a2+c2−b22ac=72+92−822×7×9=1121.
设D是AC的中点，则BD=12(BA+BC)，
两边平方得|BD|2=14(BA2+2BA·BC+BC2)
=14×81+2×9×7×1121+49=49，
所以|BD|=7，即AC边上的中线长为7.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC=π3，AD=23，则2b+c的最小值为 .
答案 6+42
解析 如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD
=12∠BAC=π6，
由张角定理得sin∠BACAD=sin∠BADAC+sin∠CADAB，
即sinπ323=sinπ6b+sinπ6c，∴1b+1c=12，
∴2b+c=(2b+c)1b+1c×2
=6+2cb+4bc≥6+22cb×4bc
=6+42(当且仅当2cb=4bc且1b+1c=12，
即c=2b=22+2时取等号).
课时精练
[分值：90分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·北京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asin B-3sin A=0，则b等于( )
A.3B.23C.1D.2
答案 A
解析 因为asin B-3sin A=0，即asin B=3sin A，由正弦定理得ab=3a，又a≠0，所以b=3.
2.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+3，AB=6，则A等于( )
A.45°B.60°C.120°D.135°
答案 A
解析 方法一 由余弦定理得cs A=AB2+AC2−BC22AB·AC
=(6)2+(1+3)2−222×6×(1+3)=22，
又0°