2027年高考数学一轮复习第四章　§4.4　函数y=Asin(ωx+φ)学案含解析

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1.简谐运动的有关概念
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)，x≥0
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为-A. ( × )
(2)将函数y=3sin 2x的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin2x+π4. ( × )
(3)把y=sinx−π6的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为y=sin2x−π12. ( × )
(4)如果y=Acs(ωx+φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为T2. ( √ )
2.y=2sin12x−π3的振幅、频率和初相分别为( )
A.2，4π，π3B.2，14π，π3
C.2，14π，-π3D.2，4π，-π3
答案 C
解析 由题意知A=2，f=1T=ω2π=14π，
初相为-π3.
3.(北师大版必修第二册P48练习T3(1))为了得到函数y=sin2x−π5的图象，只需将函数y=sinx−π5的图象上的每个点 ( )
A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变
C.纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变
答案 B
4.(人教A版必修第一册P241习题5.6 T4)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，00，∴当k=-1时，ω取得最小值11.
题型二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2 (1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)+bA>0，ω>0，|φ|0，ω>0，|φ|5π12，解得00)，
依题意，A=20，h=25，T=10，所以ω=2πT=π5，
又f(0)=5，所以φ=-π2+2kπ，k∈Z.
所以f(t)=20sinπ5t−π2+25=25-20csπ5t.
依题意25-20csπ5t≥35，
所以csπ5t≤-12，
又0≤t≤10，解得103≤t≤203，
则摩天轮转动一周内，有203-103=103(分钟)具有最佳视觉效果.
(2)(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cs2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=12x-12的交点个数为( )
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 因为y=cs2x+π6向左平移π6个单位长度所得函数为y=cs2x+π6+π6=cs2x+π2=-sin 2x，
所以f(x)=-sin 2x，
而直线y=12x-12显然过0，−12与(1，0)两点，作出y=f(x)与y=12x-12的大致图象如图所示，
考虑2x=-3π2，
2x=3π2，2x=7π2，
即x=-3π4，x=3π4，x=7π4处f(x)与y=12x-12的大小关系，
当x=-3π4时，f −3π4=-sin−3π2=-1，
y=12×−3π4-12=-3π+480，
所以A，D项不符合；
因为f 3π4=sin7π4=-220，0