2027年全国高考数学一轮复习讲义 4.7 正弦定理与余弦定理

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在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
2．三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；
(4)S＝eq \r(pp－ap－bp－c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).
3．测量中的几个常用术语
[常用结论]
1．三角形中的边角关系
在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cs A＜csB．
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)；(4)cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；
b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acsB．
考点一 利用正弦余弦定理解三角形
考点二 正弦定理边角互化的应用
考点三 余弦定理边角互化的应用
考点四 三角形的面积问题
考点五 判断三角形解的个数问题
考点六 判断三角形形状的问题
考点七 利用正弦余弦定理解决测量问题
考点一 利用正弦余弦定理解三角形
1．（25-26高三上·吉林长春·期中）在中，，，，则（ ）
A．30°B．45°C．135°D．45°或135°
2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，，，则______
3．（25-26高三上·山西·阶段检测）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）中，，，，则边上的高为_________
5．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则△ABC的面积为________．
6．（25-26高三上·广东肇庆·期中）中，，，，则______．
考点二 正弦定理边角互化的应用
7．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角的对边分别为，满足，且则（ ）
A．B．C．D．
8．（25-26高三上·云南文山·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．（25-26高三上·重庆·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，若，则__________.
10．（25-26高三上·江西上饶·期中）在中，角的对边分别是，若，，，则______．
11．（25-26高三上·江苏盐城·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．9C．D．1
12．（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
考点三 余弦定理边角互化的应用
13．（25-26高三上·吉林长春·期中）在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（ ）
A．B．2C．D．1
14．（25-26高三上·重庆·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
15．（25-26高三下·河南·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
16．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______．
17．（2026·安徽合肥·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且ab，则______.
18．（25-26高三上·江苏盐城·期中）在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________．
考点四 三角形的面积问题
19．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（ ）
A．B．C．D．
20．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
21．（2026·山西·二模）记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________.
22．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，则____________，的面积为____________．
23．（25-26高三上·江苏·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______．
24．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________．
考点五 判断三角形解的个数问题
25．（25-26高三上·河南南阳·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（ ）
A．2B．C．D．3
26．（25-26高三上·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（ ）
A．，有两解B．，有一解
C．，无解D．，有一解
27．（25-26高三上·河南驻马店·期中）在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（ ）
A．B．C．D．
28．（25-26高三上·吉林长春·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________．
29．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）在中，角，，对应的边分别为，，，已知， ，若有两解，则的取值范围是_______________（写成区间的形式）
30．（25-26高三上·江苏泰州·期中）在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围为______．
考点六 判断三角形形状的问题
31．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）（多选）设内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
32．（25-26高二下·广东广州·期中）（多选）在中，下列命题正确的（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则
C．若，则为钝角三角形
D．若，则为等腰三角形
33．（25-26高三上·江苏镇江·期中）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则为钝角三角形
C．若，则为直角三角形D．若为锐角三角形，则
34．（25-26高三上·重庆·期中）在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
35．（22-23高三上·辽宁沈阳·期中）在中，，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
36．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
考点七 利用正弦余弦解决测量问题
37．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）m
A．B．8C．12D．
38．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在海岸A处发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间．
39．（25-26高三上·河南郑州·期中）如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A．米B．10米C．米D．11米
40．（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（ ）（参考数据：取，）
A．46米B．48米C．50米D．52米
41．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（ ）
A．南偏西方向B．南偏西方向
C．南偏西方向D．南偏西方向
42．（25-26高三上·上海·期中）小明同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为2米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为1.45米.则斜面的底角________.（结果用角度制表示，精确到0.01°）
1．（山东潍坊市2025-2026学年高三下学期5月高考模拟考试数学试题（B卷））设的内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·青海西宁·期中）在中，内角所对的边为，下列结论中错误的是（ ）
A．若，则
B．，则为等腰三角形
C．若，，，则符合条件的三角形有两个
D．若的面积为，则
3．（25-26高三上·山东泰安·期中）在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高三上·四川资阳·期中）在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．直角或等腰三角形
5．（2026·四川广安·模拟预测）（多选）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则使此三角形只有唯一解的的值可以是（ ）
A．3B．4C．6D．12
6．（25-26高三上·四川乐山·阶段检测）（多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则三角形有且只有一个解
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为钝角三角形
7．（25-26高三上·河北邢台·期中）（多选）如图，在圆的内接四边形中，，，，则（ ）
A．B．
C．D．的面积为
8．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）（多选）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．已知，若有两解，则的取值范围是
C．若，且，则为等边三角形
D．若，则可以是钝角三角形
9．（25-26高三上·江苏·期中）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若为斜三角形，则
10．（25-26高三上·天津红桥·期中）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，则的形状是____________ .
11．（25-26高二下·北京海淀·期中）在中，角A，B，C的对边分别为.若为锐角三角形，则的一个取值为__________.
12．（25-26高三上·广东江门·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________.
13．（25-26高三上·北京大兴·期中）在中，，．
①若，则=______；
②若满足条件的有两个，则的取值范围是______．
14．（25-26高三上·天津武清·期中）在中，内角所对应的边分别是，若的面积是，则________．
15．（25-26高三上·山东济宁·期中）某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度__________米．
16．（25-26高三上·江苏扬州·期中）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________.
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝2R
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0,2π)
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
4.7 正弦定理与余弦定理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
2．三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；
(4)S＝eq \r(pp－ap－bp－c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).
3．测量中的几个常用术语
[常用结论]
1．三角形中的边角关系
在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cs A＜csB．
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)；(4)cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；
b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acsB．
考点一 利用正弦余弦定理解三角形
考点二 正弦定理边角互化的应用
考点三 余弦定理边角互化的应用
考点四 三角形的面积问题
考点五 判断三角形解的个数问题
考点六 判断三角形形状的问题
考点七 利用正弦余弦定理解决测量问题
考点一 利用正弦余弦定理解三角形
1．（25-26高三上·吉林长春·期中）在中，，，，则（ ）
A．30°B．45°C．135°D．45°或135°
【答案】B
【分析】利用正弦定理求出sinB的值，再结合大边对大角的性质排除不符合题意的解，即可得到角B的大小.
【详解】在中，，，，由正弦定理得,
所以，得，
因为，所以，
因为，所以.
2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，，，则______
【答案】4
【详解】由正弦定理可得，故，所以.
3．（25-26高三上·山西·阶段检测）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，得，而，
由正弦定理得，于是．
4．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）中，，，，则边上的高为_________
【答案】/
【详解】因为，，，
由余弦定理得，
整理得，解得，
设边上的高为，由等面积可得，
解得.
5．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则△ABC的面积为________．
【答案】
【分析】根据题目条件与余弦定理求出边长，再使用面积公式求出面积.
【详解】由余弦定理得，
解得（负值舍去），所以．
又因为，所以，
所以△ABC的面积为．
6．（25-26高三上·广东肇庆·期中）中，，，，则______．
【答案】3
【详解】设，在中，根据余弦定理： ，
代入已知条件得 .
整理得 ，解得（为负，舍去），因此.
考点二 正弦定理边角互化的应用
7．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角的对边分别为，满足，且则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理及三角变换公式可得，结合题设条件可得，从而可构建关于的方程，故可求的值.
【详解】因为，由正弦定理可得，而，
故即，
所以，
由题设条件可知均不为直角，故，故，
而所以，
故，
而，解得，若，则均为负，
则都为钝角，这与为三角形内角矛盾，故，
而为三角形内角，故.
8．（25-26高三上·云南文山·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【详解】，，
由正弦定理，得，
即，
，，.
的周长为．
9．（25-26高三上·重庆·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，若，则__________.
【答案】
【详解】由正弦定理可得，
展开可得，
即，而为三角形内角，
所以或（舍，因为与题设矛盾），
所以，
所以
10．（25-26高三上·江西上饶·期中）在中，角的对边分别是，若，，，则______．
【答案】
【分析】先利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换化简已知等式求出角；再由三角形面积公式结合已知条件求出边；最后利用余弦定理计算出边的值．
【详解】因为，所以，
又，所以，所以，
化简得，所以，又，所以．
所以，解得，
由余弦定理得，所以．
11．（25-26高三上·江苏盐城·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．9C．D．1
【答案】C
【分析】利用正弦定理可得，结合三角恒等变换运算求解.
【详解】因为，由正弦定理可得，
且，
即，
整理可得，所以.
12．（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数两角和差公式化简等式，求出角与角的关系，最后结合二倍角公式，即可求解.
【详解】由题意，，
根据正弦定理，可得，
化简得，
即，
又，所以，
所以，
所以①，即，不符合题意，
②，即，
所以，
又，所以.
考点三 余弦定理边角互化的应用
13．（25-26高三上·吉林长春·期中）在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】C
【分析】先根据正弦定理及余弦定理求出，从而得到，再根据数量积的定义得到，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】由，
则由正弦定理有，即
则由余弦定理有，
又在△ABC中，，则，
又，即，
所以△ABC的面积为．
14．（25-26高三上·重庆·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】由代入，结合余弦定理即可求解．
【详解】由可得，
由余弦定理，
则．
15．（25-26高三下·河南·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先用正弦定理将已知边的关系转化为角的正弦平方的关系，再用余弦定理将已知边的关系转化为边的乘积，进而得到正弦乘积的方程，解出结果.
【详解】依题意，，由正弦定理得，，
所以，由余弦定理可得，，
即，所以，
即，又因为，所以.
16．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______．
【答案】
【分析】由余弦定理先求得，根据求得，进而求得，再根据正弦定理得出，设，由三角形面积公式列出方程即可求解．
【详解】由和余弦定理，可得，
因，则，
又由可得，
因，则
，
由正弦定理得，，设，
则，解得（负值舍去），
所以．
17．（2026·安徽合肥·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且ab，则______.
【答案】1
【分析】利用余弦定理进行角化边，化简等式即可求得c.
【详解】根据余弦定理得：，
即，整理得，
即，因为，所以.
18．（25-26高三上·江苏盐城·期中）在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________．
【答案】
【分析】根据三角恒等变换得，再根据余弦定理，正弦定理角化边得，最后根据已知条件即可求得答案.
【详解】因为，所以
所以
因为，，为外接圆半径，
所以
因为，
所以，
考点四 三角形的面积问题
19．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在中，由余弦定理得，
三角形面积，则，
即，
，
，
，
．
20．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合余弦定理即可求解.
【详解】由题意及三角形的面积公式，得，即，解得，
根据余弦定理得，即，
所以的周长为．
21．（2026·山西·二模）记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________.
【答案】
【详解】由正弦定理得，.
则.
，
的面积是.
22．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，则____________，的面积为____________．
【答案】
【分析】先利用三角形内角和求出角，通过角度恒等变换关联，结合和差角公式得到正切乘积，再结合正弦定理与面积公式求解三角形面积.
【详解】由，，可得，即，故.
则，，所以，
因此.
又，
联立,
解得，，
则.
由，结合正弦定理与三角形面积公式，
.
23．（25-26高三上·江苏·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______．
【答案】
【分析】利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
由正弦定理得，
所以，
由于，
所以为钝角，故，
所以，
所以.
24．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________．
【答案】
【分析】由已知条件可得，进而可得，利用余弦定理结合基本不等式可得，最后根据求出三角形面积最大值.
【详解】解：由，则，
化简整理得，即，
则，此时，则，
或，，则，在三角形中不合题意，
因此，，
由余弦定理可得，又，代入化简得，
由基本不等式可知，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此，的面积最大值为.
考点五 判断三角形解的个数问题
25．（25-26高三上·河南南阳·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】已知边a与其对角A，求边b可利用正弦定理，建立边b与角B之间的关系，因为△ABC有两个，故角B有两个，根据正弦函数图象确定范围即可．
【详解】由正弦定理可得：，因为a＝2，，
故，故，
因为△ABC有两个，故存在两个不同的角B满足题意，
则（否则角B不满足有两个三角形的条件），（否则B只能有直角一个值），
故且，则，
故，解得．故只有B选项符合题意．
26．（25-26高三上·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（ ）
A．，有两解B．，有一解
C．，无解D．，有一解
【答案】D
【详解】对于A,由正弦定理，则，
则三角形是直角三角形，只有1解，故A错误；
对于B,由正弦定理，则，
，故，可能是锐角或钝角，故三角形有两解，故B错误；
对于C,由正弦定理，则，
，故，三角形只有1解，故C错误；
对于D,，为钝角且，故必为锐角，
三角形有1解，故D正确．
27．（25-26高三上·河南驻马店·期中）在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在中，，.
有两解的充要条件是：
得 ，即.
28．（25-26高三上·吉林长春·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________．
【答案】1
【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到只有一解，即可得到答案.
【详解】在中，因为，
由正弦定理，可得，
因为，所以只有一个解，所以解的个数为1个.
29．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）在中，角，，对应的边分别为，，，已知， ，若有两解，则的取值范围是_______________（写成区间的形式）
【答案】
【分析】判断出三角形有两解时分析A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出a的范围即可．
【详解】根据正弦定理，，则.
有两解，则角有两个不同的取值.
因为，所以存在两个不同的对应同一个，
因此，即，
因此的取值范围是.
30．（25-26高三上·江苏泰州·期中）在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意或即可求解.
【详解】如图，在平面内作出角，在其中一条边上取点，以点为圆心，为半径画圆，
若满足条件的恰有一解，
则或，已知，，
当时， ；
当时，，
所以边长的取值范围为.
考点六 判断三角形形状的问题
31．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）（多选）设内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用正弦定理、三角形内角和性质、三角恒等变换，将各选项的边化角推导角或边的关系，判断是否一定为等腰三角形可得.
【详解】选项A：由正弦定理得，即，又，
所以或，即或，
因此为等腰三角形或直角三角形，不能判定为等腰三角形，故A错误.
选项B：由正弦定理得，，则，
所以，又正弦定理得，即.
所以为等腰三角形，故B正确.
选项C：由正弦定理得，结合，
化简得，所以或，且，
所以或，因此三角形为直角三角形或等腰三角形，
故不能判定一定为等腰三角形，故C错误.
选项D：由正弦定理得，结合，
化简得，又由，得，
所以，即，因此为等腰三角形，故D正确.
32．（25-26高二下·广东广州·期中）（多选）在中，下列命题正确的（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则
C．若，则为钝角三角形
D．若，则为等腰三角形
【答案】ABC
【分析】对于A，利用余弦定理化简即可判断；对于B，利用正弦定理与三角形边角关系即可判断；对于C，利用和角的正切公式化简得即可判断；对于D，利用正弦函数图象的性质结合角的范围即可判断.
【详解】对于A，由和余弦定理，可得，
化简得，即，故是等腰三角形，A正确；
对于B，由，得，再由正弦定理，可得，故B正确；
对于C，因为，
所以，
若，则,
因,则中必有一个是钝角，故为钝角三角形，即C正确；
对于D，因,由，则或，
即或，故为等腰三角形或直角三角形，故D错误.
33．（25-26高三上·江苏镇江·期中）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则为钝角三角形
C．若，则为直角三角形D．若为锐角三角形，则
【答案】BCD
【分析】A. 由，利用二倍角公式和正弦定理转化，再利用大角对大边判断；B.利用余弦定理判断；C.利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和与差的正弦公式求解；D.根据为锐角三角形，得到，即，再利用在上的单调性判断.
【详解】A. 由，得，即 ，又 ， ，所以 ，由正弦定理得 ，则 ，即 ，由大角对大边得，故错误；
B. 因为，所以，又，则C为钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以为钝角三角形，故正确；
C. 由得，
，化简得，因为，
所以，则，所以为直角三角形，故正确；
D. 因为为锐角三角形，则，所以，
因为在上递增，则，故正确；
34．（25-26高三上·重庆·期中）在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】由同角三角函数基本关系、正弦定理、辅助角公式化简可得，进而可得，由此判断三角形形状.
【详解】若，得，
由正弦定理可得，
化简可得，即，
利用辅助角公式可得，
即，
所以或，或者（舍），
所以一定是直角三角形.
35．（22-23高三上·辽宁沈阳·期中）在中，，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状
【详解】，由正弦定理得，
故，
又，
，
所以，
所以，
即，所以或，
由得或（舍去），
由得，
故这个三角形一定是等腰或直角三角形
36．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理把换成,代入化简得,结合三角形内角范围,得或,故三角形为等腰三角形或直角三角形.
【详解】在中，由正弦定理，为外接圆半径.
得，.
将其代入已知条件，可得.
化简得，因为，所以.
因此有两种情况：
①，即，此时为等腰三角形；
②，即，则，此时为直角三角形.
综上，的形状为等腰三角形或直角三角形.
考点七 利用正弦余弦解决测量问题
37．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）m
A．B．8C．12D．
【答案】C
【详解】如图：
依题意，在中，，，，
所以，
由正弦定理，得.
在中，，，，
由余弦定理，得，
所以.
38．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在海岸A处发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间．
【答案】缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时
【详解】设缉私船应沿方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则海里，海里，
在中，由余弦定理，有．
海里．又，
，
，∴B点在C点的正东方向上，
，
在中，由正弦定理，得，
．
，∴缉私船沿北偏东的方向行驶．
又在中，，，，
，即．
小时．
∴缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时．
39．（25-26高三上·河南郑州·期中）如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A．米B．10米C．米D．11米
【答案】C
【分析】先根据正弦定理求得BC，进而在中，利用求解即可．
【详解】在中，，
则，
由正弦定理得，
所以，
在中，，所以米.
40．（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（ ）（参考数据：取，）
A．46米B．48米C．50米D．52米
【答案】D
【分析】利用正弦定理求出，再由直角三角形边角关系求解.
【详解】依题意，，
在中，由正弦定理得，
即，
在中，，
所以（米）.
41．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（ ）
A．南偏西方向B．南偏西方向
C．南偏西方向D．南偏西方向
【答案】C
【分析】先作出示意图，再利用正弦定理求出的长，在中，利用余弦定理求出的长，最后在中利用余弦定理求出即可.
【详解】根据题意作出如图所示的示意图，在中，，，，则，
由正弦定理得，所以.
在中，，由余弦定理得，
即，
整理得，解得或，
因为，所以
在中，，则，
因为，所以，则，
所以在处测得在它的南偏西方向上.
42．（25-26高三上·上海·期中）小明同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为2米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为1.45米.则斜面的底角________.（结果用角度制表示，精确到0.01°）
【答案】
【分析】先根据在处的杆子算出阳光和水平面的夹角的正切值，然后结合处的杆子算出斜面的底角.
【详解】设阳光与水平面的夹角为，则，
设与斜面的接触点为的杆子为，为长度为1.45米的影子，
过点作于点，其中与水平面平行，设，
则，解得，
则.
1．（山东潍坊市2025-2026学年高三下学期5月高考模拟考试数学试题（B卷））设的内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，
由正弦定理可得：.
又，，，.
又，可得.
2．（25-26高三上·青海西宁·期中）在中，内角所对的边为，下列结论中错误的是（ ）
A．若，则
B．，则为等腰三角形
C．若，，，则符合条件的三角形有两个
D．若的面积为，则
【答案】B
【分析】由正弦定理判断A；由题意可得或，从而得为等腰三角形或直角三角形，即可判断B；由题意可得，即可判断C；由余弦定理及面积公式，求出的值，即可判断D.
【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，故A正确；
对于B，因为，所以或，
由于,所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，因为，故三角形有两个，故C正确；
对于D，因为，
又因为，所以，所以，又因为，所以，故D正确.
3．（25-26高三上·山东泰安·期中）在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由余弦定理结合题意可得结果.
【详解】由余弦定理得.
∵，∴.
4．（25-26高三上·四川资阳·期中）在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．直角或等腰三角形
【答案】B
【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角.
【详解】因为，所以，
即，
所以，
即，
整理得，
角为直角，为直角三角形.
5．（2026·四川广安·模拟预测）（多选）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则使此三角形只有唯一解的的值可以是（ ）
A．3B．4C．6D．12
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理得到，三角形只有唯一解等价于角仅有唯一解，分（直角三角形唯一解）、且（即，仅存在锐角解）两种情况推导的取值范围，再逐一判断选项.
【详解】对于A：当时，，结合得，三角形只有唯一解，A正确；
对于B：当时，，由于，此时可取锐角也可取钝角，对应两个不同的三角形，B错误；
对于C：当时，，由等边对等角得，，三角形只有唯一解，C正确；
对于D：当时，，又，由大边对大角得，即只能取锐角，对应一个三角形，D正确.
6．（25-26高三上·四川乐山·阶段检测）（多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则三角形有且只有一个解
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为钝角三角形
【答案】ABD
【分析】由大角对大边可判断A；由正弦定理，结合大边对大角，可判断B；解法一：利用余弦定理角化边然后分解因式可得结论，解法二：利用正弦定理边化角，二倍角公式化简，再结合三角函数的性质可判断C；利用余弦定理得到，可判断D.
【详解】对于A，由大角对大边可知，故A正确；
对于B，若，，，
由正弦定理可知，∴，∴，
∵，∴，∴角为锐角，只有一解，故B正确；
对于C，解法一：由和余弦定理，可得，
整理可得，∴或，
∴或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
解法二：由和正弦定理，得，∴，
∵，∴或，
∴或，即或，
故为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D：∵，由余弦定理，，
又∵，则，∴为钝角三角形，故D正确.
7．（25-26高三上·河北邢台·期中）（多选）如图，在圆的内接四边形中，，，，则（ ）
A．B．
C．D．的面积为
【答案】ACD
【分析】根据余弦定理以及三角形面积公式依次判断即可.
【详解】对于AB，由于，，，
在中，，即，
在中，，即，
联立两式解得，由于，所以，，故A正确，B错误．
对于C，，故C正确．
对于D，的面积，故D正确．
8．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）（多选）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．已知，若有两解，则的取值范围是
C．若，且，则为等边三角形
D．若，则可以是钝角三角形
【答案】ABC
【分析】对于A选项，因为三角形中大角对大边，所以由得，再结合正弦定理即可判断；对于B选项，如果三角形有两解，那么需满足且，解不等式即可得到的范围；对于C选项，因为是角平分线上的向量，它与点积为0，所以角的平分线与边垂直，可得，再根据单位向量点积公式求出角的大小，即可判断三角形形状；对于D项，利用三角形内角和为，推导得到，再结合已知不等式判断三个角的正切符号，即可确定三角形的类型.
【详解】对于A项，在中，由得，由正弦定理得，所以，故A正确；
对于B项，已知，由正弦定理，
即，解得 ，
若有两解，则，解得：，所以的取值范围是，故B正确
C选项，和分别表示与和同方向的单位向量，
以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
又由结合菱形性质知的角平分线与垂直，
所以是等腰三角形且，
又因为，且，
所以，所以是等边三角形，故C正确；
对于D项，因为，
所以，
所以，
即，
因为，所以，
又因为，
所以，所以是锐角三角形，故D错误；
9．（25-26高三上·江苏·期中）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若为斜三角形，则
【答案】BCD
【分析】A.由，利用正弦定理得到，再利用二倍角的正弦公式化简判断；B.由，利用大角对大边得到，再利用正弦定理判断；C.由为锐角三角形，得到，，得到，再利用正弦函数的单调性判断；D.在中，由，得到，两边取正切，再利用两角和的正切公式化简判断.
【详解】A. 若，则，即，
则 或，即或，
所以一定是等腰三角形或直角三角形，错误；
B.若，则，由正弦定理得，
所以，则，即，正确；
C. 若为锐角三角形，则，因为，所以，
则，因为在上递增，所以，
即，正确；
D.在中，，则，所以，
因为为斜三角形，所以都有意义，所以，
因为，所以，
即，
即，正确.
10．（25-26高三上·天津红桥·期中）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，则的形状是____________ .
【答案】等边三角形
【详解】在中，，又，故．
由余弦定理得，
因为，所以有，即，解得，
所以是等边三角形．
11．（25-26高二下·北京海淀·期中）在中，角A，B，C的对边分别为.若为锐角三角形，则的一个取值为__________.
【答案】（答案不唯一，在内的任意实数均可）
【详解】由，得，所以，所以定为锐角；
若为锐角三角形，则均为锐角.
因为为锐角，所以，
所以，即，即.
因为为锐角，所以，
所以，即，即，
因为，所以，所以，所以.
综上所述，.
所以在区间上任意一个数均可为答案.
12．（25-26高三上·广东江门·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________.
【答案】
【详解】在中，由正弦定理及有两解，
得且，解得，
所以所求的取值范围是.
13．（25-26高三上·北京大兴·期中）在中，，．
①若，则=______；
②若满足条件的有两个，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】由可得，故，
由于,故，
由余弦定理可得，即，解得（负值舍去）.
若满足条件的有两个，则，即，解得.
14．（25-26高三上·天津武清·期中）在中，内角所对应的边分别是，若的面积是，则________．
【答案】
【分析】结合余弦定理与三角形面积公式，化简求得的值，结合三角形内角的取值范围确定角.
【详解】在中，根据余弦定理可得：.
已知的面积.
将上式代入得：.
又由三角形面积公式得，因此.
由于，故，两边同除以整理得：.
即，因为为三角形内角，所以，因此.
15．（25-26高三上·山东济宁·期中）某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度__________米．
【答案】
【详解】设塔高米，
在中，从点观测该塔塔顶的仰角为，得，所以；
在中，从点观测该塔塔顶的仰角为，得，所以；
在中，已知，，
由余弦定理得，
得，
化简得，解得 或（舍去），
即塔高为米.
16．（25-26高三上·江苏扬州·期中）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________.
【答案】6
【详解】由三角形内角和得，故.
由正切和角公式，
代入得：，整理得.
结合题设，联立得.
因，故.
已知，由余弦定理，
代入得：.
由基本不等式，得，
即，当且仅当时取等号.
因为，所以.
故，当且仅当时取等号.
因此周长，即周长最大值为.定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝2R
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0,2π)
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：