2027年高考数学一轮复习第五章　§5.1　平面向量的概念及线性运算学案含解析

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第五章
平面向量与复数
§5.1 平面向量的概念及线性运算
考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法、数乘运算，并理解其几何意义，理解两个向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b. ( × )
(2)单位向量都是共线向量. ( × )
(3)零向量的长度为0，没有方向. ( × )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b=λa(λ∈R)，反之成立. ( √ )
2.下列命题正确的是( )
A.若|a|=|b|，则a=b或a=-b
B.向量AB与BA是平行向量
C.平行向量不一定是共线向量
D.两个具有公共终点的向量，一定是共线向量
答案 B
解析 A项，|a|=|b|说明a，b的长度相等，但不能确定它们的方向，故A错误；
B项，向量AB与BA方向相反，是平行向量，故B正确；
C项，平行向量就是共线向量，故C错误；
D项，两个具有公共终点的向量的起点与公共终点三点不一定在同一条直线上，故两向量不一定共线，故D错误.
3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA+OB+OC+OD等于( )
A.OMB.2OM
C.3OMD.4OM
答案 D
解析 如图，连接OM，
在△OAC中，M为AC的中点，所以OA+OC=2OM，
在△OBD中，M为BD的中点，所以OB+OD=2OM，所以OA+OB+OC+OD=4OM.
4.已知a，b是两个不共线的向量，向量b-ta与12a-32b共线，则实数t= .
答案 13
解析 由题意知，存在实数λ，使得b-ta=λ12a−32b，则−t=12λ,1=−32λ,解得t=13.
熟记平面向量线性运算的常用结论
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP=12(OA+OB).
(2)在△ABC中，点P满足PA+PB+PC=0⇔P为△ABC的重心⇔AP=13(AB+AC).
(3)OA=λOB+μOC(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ+μ=1.
(4)对于任意两个向量a，b，都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
题型一 平面向量的基本概念
例1 (1)下列四个命题中正确的有( )
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的充要条件
C.若a，b都为非零向量，则使a|a|+b|b|=0成立的条件是a与b反向共线
D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a=|a|a0
答案 C
解析 A不正确，若b=0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；B不正确，当|a|=|b|且a∥b时，a，b的方向可能相同也可能相反，则a=b或a=-b；当a=b时，a与b的模相等且方向相同，则|a|=|b|且a∥b，故“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的必要不充分条件；C正确，因为a|a|，b|b|都是单位向量，所以只有当a|a|与b|b|是相反向量，即a与b反向共线时，a|a|+b|b|=0才成立；D不正确，向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同.
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )
A.AD=BCB.AC=BD
C.PE=PFD.EP=PF
答案 D
解析 方法一(排除法)
AD，BC不共线，AC，BD不共线，故A，B错误；PE，PF方向相反，C错误；故选D.
方法二 在等腰梯形ABCD中，AD，BC不平行，AC，BD不平行，故A，B错误；
∵AB∥CD，∴PBPD=PAPC，
则PB+PDPD=PA+PCPC，
即BDPD=ACPC，即PDBD=PCAC，
∵EF∥AB，∴PEAB=PDBD=PCAC=PFAB，
∴PE=PF，即P为EF的中点，
∴EP=PF，故C错误，D正确.
思维升华 平面向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)a|a|是与非零向量a同方向的单位向量.
跟踪训练1 (1)(多选)下列关于向量的说法正确的是( )
A.向量的模是一个正实数
B.若a与b不共线，则a与b都是非零向量
C.对于任意向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|
D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a=λb
答案 BC
解析 对于A，零向量的模是0，A错误；
对于B，由零向量与任意向量共线知，若a与b不共线，则a与b都是非零向量，B正确；
对于C，当a与b至少有一个为零向量时，显然成立，当a与b都是非零向量时，若a，b方向相同，则|a+b|=|a|+|b|，若a，b方向相反，则|a+b|