2027年高考数学一轮复习第四章　§4.7　解三角形中的最值与范围问题学案含解析

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题型一 利用基本不等式求最值(范围)
例1 (2025·保定模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(acs B+bcs A)=c，B=π3.
(1)求b的值；
(2)求△ABC面积的最大值；
(3)求△ABC周长的取值范围.
解 (1)因为b(acs B+bcs A)=c，
由正弦定理可得，b(sin Acs B+sin Bcs A)=sin C，
所以bsin(A+B)=sin C，
又A+B=π-C，
所以bsin C=sin C，
因为sin C≠0，所以b=1.
(2)因为B=π3，b=1，
由余弦定理得1=a2+c2-ac，
所以1=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，
即ac≤1，当且仅当a=c=1时等号成立，
所以S△ABC=12acsin B
=34ac≤34，
故△ABC面积的最大值为34.
(3)由(2)知1=a2+c2-ac，
所以1=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3a+c22，
化简得(a+c)2≤4，即a+c≤2，当且仅当a=c=1时等号成立，
又a+c>b=1，所以1