2027年高考数学一轮复习第四章　§4.8　解三角形应用举例学案含解析

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测量中的几个有关术语
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)西南方向与南偏西45°方向相同. ( √ )
(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，π2. ( × )
(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的夹角. ( √ )
(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α+β=180°. ( × )
2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B( )
A.北偏东10°方向B.北偏西10°方向
C.南偏东80°方向D.南偏西80°方向
答案 D
解析 由题可知，∠CAB=∠CBA=40°，
又∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，
所以∠DBA=10°，
因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.
3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC=BC=1 km，且C=120°，则A，B两点间的距离为 km.
答案 3
解析 在△ABC中，易得A=30°，
由正弦定理ABsinC=BCsinA，
得AB=BCsinCsinA=2×1×32=3(km).
4.某校高一年级的学生参加了实践活动，为了测量某一雕像的高度，在B，C处测得雕像最高点的仰角分别为π3和π6，且A=π2，BC=3 m，则该雕像的高度AD为 m.
答案 332
解析 ∵A=π2，∠ABD=π3，C=π6，
∴∠BDC=π6，∴△BCD为等腰三角形，BC=BD=3，在Rt△ABD中，
AD=BDsinπ3=3×32=332(m).
1.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.
2.谨防两个易误点
(1)注意仰角与俯角是相对水平视线而言的，是在铅垂面上所成的角；
(2)明确方位角及方向角的含义，避免因混淆概念而出错.
题型一 测量距离问题
例1 (1)(2025·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A.102 海里B.103 海里
C.202 海里D.203 海里
答案 A
解析 依题意，如图，在△ABC中，∠BAC=70°-40°=30°，∠ABC=40°+65°=105°，
则∠ACB=45°，AB=40×3060=20(海里)，
由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，
即BCsin30°=20sin45°，
因此BC=20×1222=102(海里)，
所以B，C两点间的距离是102 海里.
(2)(2026·六安模拟)如图，为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2 km的两点A，B处分别测得∠BAC=105°，∠BAD=60°，∠ABC=45°，∠ABD=60°，则C，D间的距离为( )
A.2 kmB.3 km
C.2 kmD.22 km
答案 C
解析 在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，
即BCsin105°=2sin(180°−105°−45°)，得BC=4sin 105°=4sin 75°，
在△ABD中，∠ABD=∠BAD=60°，△ABD是等边三角形，BD=AB=2，
在△BCD中，∠DBC=15°，由余弦定理得
CD2=BC2+BD2-2BC·BDcs∠DBC=16sin275°+4-2×4sin 75°×2×cs 15°
=16sin275°+4-16sin275°=4，
所以CD=2 km.
思维升华 距离问题的解题策略
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
跟踪训练1 如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB=5 km，AD=7 km，∠ABD=60°，∠CBD=23°，∠BCD=117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离约为 km.(精确到0.1 km，参考数据：sin 40°≈0.643，sin 117°≈0.891)
答案 5.8
解析 在△ABD中，有AB=5，AD=7，
∠ABD=60°，由余弦定理可得，
AD2=AB2+BD2-2AB·BDcs∠ABD，
即49=25+BD2-2×5×BD×12，
整理可得BD2-5BD-24=0，
解得BD=8或BD=-3(舍去).
在△BCD中，有BD=8，∠CBD=23°，
∠BCD=117°，
所以∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD=40°.
由正弦定理BDsin∠BCD=BCsin∠BDC可得，
BC=BDsin∠BDCsin∠BCD=8sin40°sin117°≈8×≈5.8(km).
题型二 测量高度问题
例2 (1)(2025·昆明模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30米，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB=60°，则塔高AB约为(2≈1.414)( )
米米
米米
答案 B
解析 由题意，在△BCD中，∠CBD=180°-75°-45°=60°，
由正弦定理可知30sin60°=BCsin45°，
即3032=BC22，得BC=106.
在△ABC中，易知AB⊥BC，∠ACB=60°，
所以AB=BC·tan 60°=106×3=302≈42.42(米).
(2)(2026·重庆模拟)某同学为测量某塔的高度AB(塔底视为点B，塔顶视为点A)，在山脚下选取了两点C，D(其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内)，在点C处测得点A的仰角为30°，在点D处测得点A，B的仰角分别为60°，15°，测得CD=36(3+1) m，则按此法测得的该塔塔高为( )
A.68 mB.70 mC.72 mD.74 m
答案 C
解析 设直线CD，AB的延长线交于点E，则AE⊥CE.
依题意，在Rt△AEC中，CE=AEtan30°=3AE，
在Rt△AED中，DE=AEtan60°=33AE，
而CD=36(3+1)，
所以CE-DE=233AE=36(3+1)，
得AE=18(3+3)，
所以DE=33AE=18(3+1)，
在Rt△BED中，BE=DEtan 15°=DEtan(60°-45°)=DE·3−11+3=18(3-1)，
所以AB=AE-BE=72(m).
思维升华 高度问题的易错点
(1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错；
(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错.
跟踪训练2 (2025·楚雄模拟)某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15 m，在地面上点C处(B，C，N在同一水平面上且三点共线)测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°，在A处测得木塔顶部M的仰角为30°，则可估算木塔的高度为( )
A.(15+452)mB.(45+152)m
C.(15+453)mD.(45+153)m
答案 D
解析 sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cs 30°-cs 45°sin 30°=6−24，
在Rt△ABC中，AC=ABsin∠ACB=15sin15°，
在△ACM中，∠ACM=180°-60°-15°=105°，∠MAC=30°+15°=45°，
则∠AMC=180°-∠ACM-∠MAC=30°，
由正弦定理，得MCsin∠MAC=ACsin∠AMC，
所以MC=ACsin∠MACsin∠AMC=15sin15°×sin45°sin30°
=30+303，
在Rt△MNC中，MN=MCsin∠MCN=(30+303)×sin 60°=45+153(m).
题型三 测量角度问题
例3 如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离(303-30)海里处有一个小岛C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.
解 (1)在△ABC中，AB=60，BC=303-30，∠ABC=180°-75°+15°=120°，
根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs∠ABC=602+(303-30)2-2×60×(303-30)cs 120°=5 400，
所以AC=306.
所以小岛A到小岛C的距离是306海里.
(2)根据正弦定理得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB，
所以306sin120°=60sin∠ACB，
解得sin∠ACB=22，
在△ABC中，因为AB