数学沪科版（2024）15.4 等腰三角形获奖课件ppt

这是一份数学沪科版（2024）15.4 等腰三角形获奖课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了再由AC⊥BD，证明方法倍长法，证法1，证明方法截半法，核心必知，星题基础练，星题中档练，使用要点等内容，欢迎下载使用。
问题1 如图，将两个含30° 角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？(提示：请点击拼接和分离)
问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形，
因此 AB = AD，∠BAD = 2×30° = 60°，
从而△ABD 是一个等边三角形.
含 30° 角的直角三角形的性质
你还能用其他方法证明吗？
证明：在△ABC 中，∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，∴∠B = 60°．延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．又∵AC⊥BD，
证明2： 在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵ ∠B = 60°，BE = BC.∴ △BCE 是等边三角形.∴ ∠BEC = 60°，BE = EC.∵ ∠A = 30°， ∴ ∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30° = 30°.∴ AE = EC. ∴ AE = BE = BC， ∴ AB = AE + BE = 2BC.
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　
解析：在 Rt△ABC 中，∵ CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6 cm. 在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12 cm.
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是 (　　)A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
注意：运用含 30° 角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的________．
1．[芜湖月考]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3.5 cm，则AB等于(　　)A．3.5 cm B．4 cm C．6 cm D．7 cm
2．如图是某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC＝150°，BC的长是10 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　　)A．7.5 m B．5 m C．10 m D．5 m
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA 交 OB 于 C，PD⊥OA 于 D，若 PC＝3，则 PD 等于 (　　) A．3 B．2 C．1.5 D．1
解析：如图，过点 P 作 PE⊥OB 于 E.∵ PC∥OA，∴∠PCE＝∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝30°.又∵ PC＝3，∴ PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴ PD＝PE＝1.5.
方法总结：当题图中含 30° 角，与角平分线、垂直平分线的性质综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造出含 30° 角的直角三角形．
例3 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB，DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与 DB 有怎样的数量关系？请说明理由．
理由如下：∵ DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵ DE 是∠ADB 的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.
在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝30°，
∴ AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∵ AD 是∠BAC 的平分线，
又∵ DE＝DE，∴△AED≌△BED (ASA).
方法总结：含 30° 角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，可联想到此性质．
3．[南通期末]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD是高，BD＝1，则CD的长度为________．
4．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝8，试求DE的长度．
5．如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝75°，AB＝6，则△ABC的面积为(　　)A．9 B．12 C．15 D．18
想一想：图中 BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
例4 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 cm，∠A = 30° ，立柱 BC、DE 要多长？
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°，
答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.
例5 如图，等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20，求 腰上的高.
解：过 C 作 CD⊥BA，交 BA 的延长线于点 D.
∵∠B =∠ACB = 15° (已知)，∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15° + 15° = 30°.
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30° 角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出 30° 角，利用含 30° 角的直角三角形的性质解决问题.
例6 如图，一艘船从 A 处出发，以每小时 10 海里的速度向正北航行，从 A 处测得一礁石 C 在北偏西 30° 的方向上.如果这艘轮船上午 8∶00 从 A 处出发，10∶00 到达 B 处，从 B 处测得礁石 C 在北偏西 60° 的方向上.（1）画出礁石 C 的位置；（2）求出 B 处到礁石 C 的距离.
解：(1)如图，以 B 为顶点，向北偏西 60°作角， 这角一边与 AM 交于点 C，则 C 为礁石所在地.
(2)∵ ∠DBC =∠BAC +∠ACB， ∠BAC = 30°， ∠DBC = 60°， ∴ ∠ACB = 30°，即∠BAC =∠ACB， ∴ BC = AB ( 等角对等边)， 即 BC = AB = 10×(10 - 8) = 20 (海里).
答：B 处到礁石 C 的距离为 20 海里.
6．[亳州期末]如图，已知∠ABC＝60°，点P在边AB上，BP＝a，点E，F在边BC上，PE＝PF，若FE＝b，则BE的长为________．(用含a，b的代数式表示)
7．如图，有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°方向上有一灯塔P，继续航行20 n mile后到达B处，此时又测得灯塔P在西偏北30°方向上，若轮船航向不变，则灯塔与轮船之间的最近距离是________n mile.
8．如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.求证：BP＝2PQ.
证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC＝AB，∠C＝∠BAC＝60°.又∵CD＝AE，∴△ACD≌△BAE（SAS）.∴∠CAD＝∠ABE.∵∠CAD＋∠BAP＝∠BAC＝60°，∴∠ABE＋∠BAP＝60°.∴∠BPQ＝60°.∵BQ⊥AD，∴∠BQP＝90°.∴∠PBQ＝90°－∠BPQ＝30°.∴BP＝2PQ.
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
含 30°角的直角三角形的性质
找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边
前提条件：直角三角形中
必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.