初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）15.4 等腰三角形公开课ppt课件

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）15.4 等腰三角形公开课ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了建筑中的等腰三角形，现代桥梁，等腰三角形的性质，ABAC，等腰三角形，AB与AC，BD与CD，AD与AD，∠B与∠C，∠BAD与∠CAD等内容，欢迎下载使用。
定义及相关概念有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪下蓝色部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形有什么特点？
视频：等腰三角形的剪裁
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
底边上的中线所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
找一找：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
定理1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
应用格式：∵AB = AC (已知)， ∴∠B =∠C (等边对等角).
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴。
已知：△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C .
证法：作底边 BC 边上的中线 AD.在△ABD 与△ACD 中， AB = AC (已知)， BD = DC (已作)， AD = AD (公共边)，∴ △ABD≌△ACD (SSS).∴ ∠B =∠C.
你还有其他的证明方法吗？
1．[知识初练]如图①是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成等腰三角形ABC(如图②)，AB＝AC.(1)若∠B＝30°，则∠C＝________°；(2)若∠A＝110°，则∠B＝________°.
2．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，D是BC延长线上的一点，则∠ACD＝________°.
解：∵AB = AC (已知)，∴∠B =∠C (等边对等角).∴∠B =∠C = ×(180° - 120°) = 30°.又∵BD = AD (已知)，∴∠BAD =∠B = 30°(等边对等角).同理，∠CAE =∠C = 30°.∴∠DAE =∠BAC -∠BAD -∠CAE = 120° - 30° - 30° = 60°.
例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，点 D，E 是底边上两点，且 BD = AD，CE = AE. 求∠DAE 的度数.
例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数.
分析：(1) 找出图中所有的相等角；
(2) 找出图中有几个等腰三角形；
∠C =∠BDC =∠ABC.
(3) 观察∠BDC 与∠A 的关系，∠ABC、∠C 呢?
∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A ，
∠ABC =∠BDC = 2∠A，
∠C =∠BDC = 2∠A.
(4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来.
∵∠A +∠ABC +∠C = 180°，∴ x + 2x + 2x = 180°.
解：∵ AB = AC，BD = BC = AD，∴ ∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD.设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x，从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x.于是在△ABC 中，有∠A +∠ABC+∠C = x + 2x + 2x = 180°，解得 x = 36°.∴ 在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为 x.
如图，在△ABC 中，AB = AD = DC， ∠BAD = 26°，求∠B 和∠C 的度数.
解：∵ AB = AD = DC，∴∠B = ∠ADB，∠C= ∠DAC.设∠C = x°，则 ∠DAC = x°， ，∴∠ABD =∠ADB =∠C +∠DAC = 2x°.在△ABC 中，根据三角形内角和定理，得 2x + x + 26 + x = 180，解得 x = 38.5.∴∠C = x° = 38.5°，∠B = 2x° = 77°.
3.【整体思想】[合肥期末]如图，AB＝AC＝AD，∠BAD＝50°，则∠BCD的度数为(　　)A．115° B．130° C．140° D．155°
4．如图，已知AB＝AC，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线．求证：AD∥BC.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵∠EAC＝∠B＋∠C，∴∠EAC＝2∠B.∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC.
5. 【思维生长】如图①，已知△ABC是等边三角形，点G在边AC上，点B，C，D在同一直线上，且CG＝CD，则∠D＝________°.向“实践应用”生长：如图②，一束平行光线照射在等边三角形上，若∠1＝40°，则∠2的度数为________．
例3 等腰三角形的一个内角是 50°，求这个三角形的底角的度数.
解：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，由于两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°.
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角为锐角时，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
AB = AC = BC
推论：等边三角形的三个内角相等，且都等于 60°.
已知：△ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
证明： ∵ AB = AC， ∴∠B =∠C (等边对等角). 同理，∠A =∠C. ∴∠A =∠B =∠C. ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°.
例4 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数．
解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵ BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°.∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质求解.
6．如图，AD，BE是等边三角形ABC的两条角平分线，AD，BE相交于点O.求∠AOB的度数．
7．如图，在△ABC中，∠BAC>∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕ED交AB于点D，交BC于点E，若AE＝AC，则∠B的度数为________．
8．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AB，BD＝AB，则∠ADC的度数为________．
9.【教材改编题】如图，在△ABC中，D，E是边BC上的两点，且BD＝AD，CE＝AE.(1)若∠BAC＝100°，则∠DAE＝________；(2)若△ADE是等边三角形，则∠BAC＝________．
10.【方程思想】如图，B是射线AD上一点(不与端点A重合)，OP垂直平分线段AB，C是射线OP上一点(不与端点O重合)，连接AC，BC，∠CBD的平分线与AC的延长线相交于点E.(1)若∠A＝26°，求∠CBE的大小；
(2)若EC＝EB，求∠A的大小．
解：设∠A＝∠CBA＝x°，则∠ECB＝∠A＋∠CBA＝2x°.∵EC＝EB，∴∠CBE＝∠ECB＝2x°.∴∠CBD＝2∠CBE＝4x°.∵∠CBA＋∠CBD＝180°，∴x°＋4x°＝180°.∴x＝36.∴∠A的大小为36°.
即时练透/等腰三角形边角的性质/【思路点拨】(1)等腰三角形中有两边相等，计算时注意满足三角形的三边关系；(2)等腰三角形中有两个角相等，计算时注意满足三角形内角和定理．
1．已知等腰三角形ABC的一边等于5，另一边等于6，则这个三角形的周长为____________．【变式题】若等腰三角形其中两边长a，b满足(a－2)2＋|b－4|＝0，则此三角形的周长为_________________．2．若等腰三角形的一个角的度数是50°，则它的顶角的度数是____________．
3．等腰三角形ABC中，CD是腰AB上的高线，若∠A＝50°，则∠DCB＝____________．【变式题1】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为____________．【变式题2】等腰三角形ABC中，腰AB的垂直平分线交AC于点D，若∠A＝40°，则∠DBC的度数为____________．
【元认知·归纳】等腰三角形的边、角问题易因“未分类讨论”漏解，解题时需先明确元素“身份”(边分腰、底；角分顶角、底角；图形分锐角、直角、钝角的等腰三角形)，再依据性质推理．
注意是指同一个三角形中
等边三角形三个内角相等，且均等于 60°
必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.