初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）15.4 等腰三角形优秀课件ppt

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）15.4 等腰三角形优秀课件ppt，共37页。PPT课件主要包含了建立数学模型，ABAC，你能验证你的结论吗，等腰三角形的判定，∠1∠2，∠B∠C，ADAD，∴ABAC，则∠1∠2，等腰三角形的判定方法等内容，欢迎下载使用。
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系?
做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？
在△ABD 与△ACD 中，
∴ △ABD≌△ACD(AAS).
过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
∴ AC = AB ( )，即△ABC 为等腰三角形.
∵∠B =∠C ( )，
有两个角相等的三角形是等腰三角形.“等角对等边”
这又是一个判定两条线段相等的根据之一.
错，因为两角都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图，下列推理正确吗?
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
求证：AB = AC．
证明：∵AD∥BC，∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)．又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C.∴ AB = AC (等角对等边)．
1．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若∠ABC＝∠ACB，AB＝10 cm，则AC的长为(　　)A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm
例2 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E. 求证：△AED 是等腰三角形.
证明：∵AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴AE = DE (等角对等边).
∴ △AED 是等腰三角形.
2．下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是(　　)A．∠B＝40°，∠C＝80°B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3C．2∠A＝∠B＋∠CD．∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶1
例3 已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC.求证：AB = AD.
证明：∵ AD∥BC， ∴∠ADB =∠DBC. ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD =∠DBC. ∴∠ABD =∠ADB. ∴ AB = AD.
方法总结：平分角 + 平行 = 等腰三角形.
3．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有________个．
例4 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，AE 与 CD 交于点 F，求证：△CEF 是等腰三角形．
证明：在△ABC 中，∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵ CD 是 AB 边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵ AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE＝∠EAC.∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE.∴ CE＝CF，即△CEF 是等腰三角形．
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
由等腰三角形的判定定理可以直接得到：
证明推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC.
由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°.
若顶角∠A = 60°，
则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.
∴∠B =∠C =∠A = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
如果是底角∠B = 60°(或∠C = 60°) 呢？
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
例5 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠C.
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED .
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
4．如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF.求证：△GEC是等腰三角形．
【思维模型】三角形的关系小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如下，请帮他在横线上填上一个适当的条件．
∠A＝60°（答案不唯一）
例6 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ 为等边三角形．证明如下：∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°.∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ (SAS).∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.∴△APQ 是等边三角形.
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等 (或两个内角等于 60°)；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角 等于 60°.
证明：∵ △ABC 为等边三角形，且 AD = BE = CF，∴ AF = BD = CE，∠A =∠B =∠C = 60°.∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）.∴ DF = ED = FE.∴△DEF 是等边三角形.
针对训练：如图，等边△ABC 中，D、E、F 分别是各边上的点，且 AD = BE = CF．求证：△DEF 是等边三角形．
1．有两个角________的三角形是等腰三角形．简称“等角对等边”．2．三个角都________的三角形是等边三角形；有一个角是________的等腰三角形是等边三角形．
5．如图是我们画圆或画弧时使用的圆规，已知圆规两脚OA＝OB＝8 cm.画圆或画弧时要调整圆规两脚张开的角度，若圆规两脚张开的角度为60°，则A，B两点间的距离为________cm.
6．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DF⊥BC于点F，延长FD，CA交于点E.若∠E＝30°，AD＝AE.求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AD＝AE，∴∠E＝∠ADE＝30°，∴∠CAB＝∠E＋∠ADE＝30°＋30°＝60°.∵DF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∴∠C＝90°－∠E＝60°，∴∠B＝180°－∠C－∠CAB＝180°－60°－60°＝60°，∴∠C＝∠B＝∠CAB，∴△ABC为等边三角形.
7.【新趋势·开放性问题】 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形，可添加的一个条件是_______________________．
∠B＝60°（答案不唯一）
8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ADC＝∠ACD＝2∠B，若AB＝27，△ADC的周长为43，则CD＝________．
9.【原创题】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°.求证：△ABE是等边三角形．
即时练透/角平分线＋平行线→等腰三角形/【一题练透】在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点(1)【识别等腰】如图①，若AB＝AC，图中有______个等腰三角形，且EF与BE，CF间的数量关系是__________________________．
EF＝BE＋CF＝2BE＝2CF
(2)【探索建模】如图②，若AB≠AC，其他条件不变，(1)中EF与BE，CF间的数量关系还成立吗？请说明理由．
解：EF与BE，CF间的数量关系EF＝BE＋CF成立，EF＝2BE＝2CF不成立.理由如下：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO.∵EF∥BC，∴∠BOE＝∠CBO，∠COF＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠BOE，∠ACO＝∠COF，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF.∵AB≠AC，∴易知OE≠OF，∴EF≠2BE≠2CF.
(3)【模型应用】在(2)的条件下，若AB＝10，AC＝15，则△AEF的周长为________．(4)【变式探究】如图③，在△ABC中，若AB≠AC，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，则EF与BE，CF间的数量关系为____________________．
注意是指同一个三角形中
1.三个角都相等的三角形是等边三角形.2.有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.