初中北师大版（2024）1 认识二元一次方程组学案及答案

这是一份初中北师大版（2024）1 认识二元一次方程组学案及答案，共8页。学案主要包含了学法指导，例题导析等内容，欢迎下载使用。
1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，能准确判断一个方程是否为二元一次方程、一组数是否为方程组的解.​
2.能根据实际情境中的等量关系，列出二元一次方程组，提升数学建模能力.
学习重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念；根据实际情境列二元一次方程组.
学习难点：理解二元一次方程组的解 “需同时满足所有方程” 的本质；从复杂实际情境中准确提取两个独
立的等量关系.
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P111-P112页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
回顾旧知：“什么是方程？什么是一元一次方程？”
.
2.《孙子算经》中 “雉兔同笼” 问题：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
思考：若用一元一次方程求解，如何设未知数？（设鸡 x 只，兔 35-x 只，列方程 ；
若想直接表示 “鸡的数量” 和 “兔的数量”，能否用两个未知数？
●探究一：二元一次方程的概念
◆1.呈现 “绿植栽种” 情境：小明栽种的绿植比小颖多 2 株；小颖减 1 株、小明加 1 株后，小明的数量是小颖的 2 倍.
◆2.分析：（1）关键量为 “ ”“小颖的株数（y）”，
（2）等量关系式： ①
②
由此得到怎样的方程？
① ②
◆3.思考：
上述方程有什么共同特点?

（2）它们与你学过的一元一次方程比较有什么区别？

（3）你能给它们起个名字么？

◆4.总结归纳：二元一次方程的定义
含有 未知数，并且所含未知数的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程. .
注意：方程的左右两边都是 .
●探究二：二元一次方程组的概念
◆1.呈现 “公园门票” 情境：8 人买票花 34 元，成人票 5 元 / 张，学生票 3 元 / 张.
◆2.分析：（1）关键量为 “成人数量和 ”“ 和学生总票价”，
（2）等量关系式： ①
②
设成人 x 人、学生 y 人，由此得到怎样的方程？
① ②
3.思考：在上面的方程中的 x、y 含义是否相同？（均代表 “
”“学生数量”），因而 “需将两个方程联立，组成方程组”，得到 “二元一次方程组”.
◆4.总结归纳：二元一次方程组的定义
共含有 未知数的 个 所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
注意：方程组各方程中同一字母必须代表 量.
●探究三：二元一次方程（组）的解
1.探究二元一次方程的解：
（1）以“x + y = 8”为例，思考：“x=6，y=2满足方程吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4 呢？”

（2）还能找到其他解吗？二元一次方程有几个解？（不考虑实际意义）

◆总结归纳：二元一次方程的解是使方程 相等的一组未知数的值.
探究二元一次方程组的解：
思考：“在‘公园门票’情境中，哪组 x、y 的值能同时满足x + y=8 和 5x+3y =34？”？
、
◆总结归纳：二元一次方程组的解是方程组中各个方程的 .
3.检验方法总结：“代入验证法”—— 将未知数的值代入方程（组），若 相等，则为解.
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1：方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？
【分析】（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则 为0，然后x或y的系数中有一个为0，另一个不为0即可．
（2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数 ．
【解答】
例2：已知m=2n=3是关于m，n的二元一次方程3m+an＝18的一组解．
（1）求a的值；
（2）请用含有m的代数式表示n．
【分析】（1）将m=2n=3代入 ，得出关于a方程，解关于a的方程即可；
（2）把a＝4代入3m+an＝18得3m+4n＝18，将n看作 ，m看作已知数，解方程即可．
【解答】
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨二元一次方程的定义和二元一次方程组的定义；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.

1.下列方程中，是二元一次方程的是 ( )

2.下面四组数值中，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？ ( )
3.二元一次方程组x+2y=10y=2x的解是 .
4.下列五组值中，是二元一次方程 的解是 .
5.小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元。两种邮票小明各买了多少枚？
6.x=3y=4是3x+2y=17 ①3x－2y=1 ②的解吗？？
题型一：二元一次方程的识别
1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．x2+2y＝8B．x﹣1＝3C．3x﹣y＝0D．x-1y=6
2．下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x3-2y=y+5xB．x+y＝1
C．15x=y2+1D．3x+1＝2xy
3．（2024春•崇川区校级月考）下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①6x﹣2y；②4x+1＝x﹣y；③1x+y=5；④x＝y；⑤x2﹣y2＝2．
A．1B．2C．3D．4
题型二：由二元一次方程的定义求字母的值
4．若关于x，y的方程7x|m|+（m﹣1）y＝6是二元一次方程，则m的值为（ ）
A．﹣1B．﹣1或1C．1D．2
5．若（m﹣3）x|m﹣2|+y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）
A．1B．3C．0D．1或3
6．已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）yn2-8=6是关于x，y的二元一次方程．
（1）求m，n的值；
（2）求x=12时，y的值．
题型三 由二元一次方程的定义求字母的取值范围
7．关于x、y的方程kx﹣3y＝2x+1是二元一次方程，则k的取值范围是（ ）
A．k≠0B．k≠3C．k≠2D．k≠﹣2
8．若方程mx﹣2y＝3x+4是关于x、y的二元一次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0B．m≠3C．m≠﹣3D．m≠2
9．已知关于x、y的方程（a﹣1）x+（a+2）y+5﹣2a＝0是二元一次方程，则a满足的条件是 ．
题型四 二元一次方程组的识别
10．下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）
A．x+y=4x=9B．x+y=58-3z2=5x
C．xy=7x=16D．1x2-1y2=2y=x-3
11．（2024秋•温江区校级月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．x+3y=52x-3z=3B．m+n=1m6+2n3=1
C．m+n=5mn+n=6D．3x+2y=10x+2y=6
12．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．x=1x+y=-3B．x2+y=10x+y=-2
C．x+y=8xy=-5D．x+y=51x+1y=56
题型五 由二元一次方程组的定义求字母的值
13．方程组y-(a-1)x=5y|a|+(b-5)xy=3是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．
14．若方程组2x-7y=13x+az=y是关于x，y的二元一次方程组，则（a﹣1）2019＝ ．
15．若方程组x-(c+3)xy=3xa-2-yb+3=4是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是 ．
题型六 二元一次方程的解
16．二元一次方程x+2y＝6的一个解是（ ）
A．x=2y=2B．x=2y=3C．x=2y=4D．x=2y=6
17．若x=1y=-2，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（ ）
A．3B．6C．﹣1D．﹣2
18．若x=ay=b是方程3x+y＝1的一个解，则9a+3b+4＝ ．
题型七 二元一次方程组的解
19．下列二元一次方程组中，以 x=1y=-2为解的是（ ）
A．x+y=-12x-3y=-4B．x-y=-12x+3y=4
C．x-y=-12x-3y=4D．x+y=-12x+3y=-4
20．如果方程x+y＝3与下面方程中的一个组成的方程组的解为x=1y=2，那么这个方程可以是（ ）
A．5x﹣y＝3B．5x﹣2y＝2C．3y﹣2x＝3D．2（y﹣x）＝x
21．若x=2y=1是方程组ax-3y=1x+by=5的解，则x=ay=b是下列方程（ ）的解．
A．5x+2y＝﹣4B．2x﹣y＝1C．3x+2y＝5D．x+y＝1
题型八 根据实际问题列二元一次方程（组）
22．将一个长方形的长减少5cm，宽变成现在的2倍，就成为了一个正方形，设这个长方形的长为x cm，宽为y cm，则下列方程中正确的是（ ）
A．x+5＝2yB．x+5＝y+2C．x﹣5＝2yD．x﹣5＝y+2
23．现有x辆载重6吨的卡车运一批重y吨的货物，若每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物；若每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物．根据题意，可列方程（组）（ ）
A．5x+2＝6（x﹣1）+4B．5x+2＝6x﹣4
C．5x-y=2y-6(x-1)=4D．y-5x=26x-y=4
24．古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每斤鱼y元，可列方程组为（ ）
A．10x+3y=779x=5yB．3x+10y=779x=5y
C．10x+3y=775x=9yD．3x+10y=775x=9y
▲1．二元一次方程（组）的概念：
(1) 二元一次方程：① ；②未知数次数为 1；③ 方程；
(2) 二元一次方程组：共含两个未知数的两个一次方程组成的一组方程.
▲2．二元一次方程（组）的解：
(1) 二元一次方程：①使方程左右两边 的一组未知数的值；②无数个解；
(2) 二元一次方程组：①方程组中所有方程的 解；②通常一个解.
(3) 检验方法：代入验证法.
▲3．列方程组步骤：
（1）找关键量；（2）提 ；（3）设未知数，列方程（联立成方程组）.