北师大版（2024）八年级上册（2024）1 函数精品导学案

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）1 函数精品导学案，共24页。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 常量与变量
【典例1】半径是r的圆的周长为C＝2πr，下列说法正确的是（ ）
A．C，r是变量，2π是常量B．C是变量，2，r是常量
C．C是变量，π，r是常量D．C，π是变量，2是常量
【答案】A
【解答】解：∵常量是指始终不变的量，变量是指会发生变化的量．
∴圆的周长C和半径r是变量，2π是常量．
故选：A．
题型2 函数的概念
【典例1】下列选项中，y不是x函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，
∴y是x函数，该选项不合题意；
B、自变量x每取一个值，y有两个值和它对应，
∴y不是x函数，该选项符合题意；
C、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，
∴y是x函数，该选项不合题意；
D、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，
∴y是x函数，该选项不合题意；
故选：B．
【变式1】下列选项中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：根据函数的定义，A中y不是x的函数，BCD中y是x的函数，
∴A符合题意，BCD不符合题意．
故选：A．
题型3 函数自变量的取值范围
【典例1】在函数y=13+x+1x+2中，自变量x的取值范围是 x＞﹣3且x≠﹣2 ．
【答案】x＞﹣3且x≠﹣2．
【解答】解：由题意得：3+x＞0且x+2≠0，
解得：x＞﹣3且x≠﹣2，
故答案为：x＞﹣3且x≠﹣2．
题型4 函数的图象
【典例1】如图，张师傅驾车从甲地到乙地，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示，汽车加油后还可行驶（ ）
A．3小时B．3.5小时C．3.75小时D．4小时
【答案】C
【解答】解：根据函数图象求出汽车每小时的耗油量，再根据加油后的油量计算如下：
加油前行驶2小时，耗油25﹣9＝16（升）．
∴汽车每小时耗油量为16÷2＝8（升）．
加油后油箱中有油30升．
∴汽车加油后还可行驶的时间为30÷8＝3.75（小时）．
故选：C．
【变式1】在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）均满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，下列四个函数图象中，所有正确的函数图象的序号是（ ）
A．①B．③C．①③D．②④
【答案】A
【解答】解：∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
∴（x1﹣x2）与（y1﹣y2）异号，
当x1﹣x2＞0时，y1﹣y2＜0；
当x1﹣x2＜0时，y1﹣y2＞0．
∴y随x的增大而减小，
故正确的函数图象的序号是①．
故选：A．
【变式2】已知方程x+y−4+|x−y+2|=0的解与下列选项中两个函数图象的交点相对应的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：由条件可得x+y−4=0x−y+2=0，
解得x=1y=3，
∴两个函数图象的交点坐标为（1，3），
∴交点在第一象限且纵坐标大于横坐标，即A选项符合题意．
故选：A．
【变式3】一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为y1（km），慢车离锦绣中学的距离为y2（km），行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（km）．y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中a＝3；②当x=158时，两车相遇；③当x=32时，两车相距60km；④当x=58或258时，两车相距200km．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】A
【解答】解：①当x＝3时，快车到达实验中学，
∴a＝3，故①正确；
②V快车=3003=100km/ℎ，V慢车=3005=60km/ℎ，
相遇时即100x+60x＝300，
解得：x=158，故②正确；
③当x=32时，快车行驶的路程为100×32=150km，慢车行驶的路程为60×32=90km，
∴两车相距300﹣150﹣90＝60km，故③正确；
④当两车相遇之前，相距200km，即100x+200+60x＝300，
解得：x=58；
当两车相遇之后，相距200km，即100x+60x﹣200＝300，
解得：x=258，
∴此时快车早已到达，故不合题意，
∴当x=58时，两车相距200km，故④错误．
综上可知①②③正确．
故选：A．
过 关 验 收
1．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②甲出发4h后被乙追上；③甲比乙晚到53ℎ；④甲车行驶8h或914ℎ，甲，乙两车相距80km．其中错误的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解答】解：①由图可得，甲车行驶的速度是60÷1＝60（km/h），
∵甲先出发1h，乙出发3h后追上甲，
∴3（v乙﹣60）＝60，
∴v乙＝80km/h，
即乙车行驶的速度是80km/h，故①正确，不符合题意；
②∵当t＝1时，乙出发，当t＝4时，乙追上甲，
∴甲出发4h后被乙追上，故②正确，不符合题意；
③由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距100km，
∴甲比乙晚到100÷60=53(ℎ)，故③正确，不符合题意；
④设甲车行驶th，甲，乙两车相距80km，
由图可得，当乙车在甲车前，且未到达B地时，则60t+80＝80（t﹣1），
解得t＝8；
当乙车到达B地后时，60t+80＝640，
解得t=913，
∴甲车行驶8h或913ℎ，甲，乙两车相距80km，故④不正确，符合题意；
综上所述，错误的个数是1个．
故选：B．
2．下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长y与边长x；
②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x；
③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【解答】解：正方形的周长y与边长x的关系式为y＝4x，故①符合题意；
汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x的关系式为y＝30x，故②符合题意；
水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间d关系式为：水箱中的剩余水量＝水箱的水量﹣0.8x，故③不符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选：A．
3．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是（ ）
A．37.2分钟B．48分钟C．30分钟D．33分钟
【答案】A
【解答】解：由图可得，去校时，上坡路的距离为36百米，所用时间为18分，
∴上坡速度＝36÷18＝2（百米/分），
下坡路的距离是96﹣36＝60百米，所用时间为30﹣18＝12（分），
∴下坡速度＝60÷12＝5（百米/分）；
∵去学校时的上坡回家时变为下坡、去学校时的下坡回家时变为上坡，
∴小亮从学校骑车回家用的时间是：60÷2+36÷5＝30+7.2＝37.2（分钟）．
故选：A．
4．某装满水的水池按一定的速度放掉水池的一半水后．停止放水并立即按一定的速度注水，水池注满后，停止注水，又立即按一定的速度放完水池的水．若水池的存水为v（立方米），放水或注水的时间为t（分钟），则v与t只能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：根据题意：装满水的水池按一定的速度放掉水池的一半水后．停止放水，排除B；
并立即按一定的速度注水，排除C；
水池注满后，停止注水，又立即按一定的速度放完水池的水，排除D．
分析可得：存水v的变化为A．
故选：A．
5．如果函数y=xk（k为常数）的图象经过点（﹣1，﹣2），那么y随着x的增大而 增大． ．
【答案】增大．
【解答】解：正比例函数的性质：当k＜0时，正比例函数自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小，
当k＞0时，正比例函数自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大；
根据题意代入点（﹣1，﹣2），得：y＝2x，
∴如果函数y=xk（k为常数）的图象经过点（﹣1，﹣2），y 随着x的增大而增大．题型1 常量与变量
题型2 函数的概念
题型3 函数自变量的取值范围
题型4 函数的图象
解｜题｜知｜识
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
解｜题｜知｜识
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
解｜题｜知｜识
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
解｜题｜知｜识
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．