重难点培优04_解三角形中的最值与范围（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优04_解三角形中的最值与范围（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了面积的最值与范围，周长的最值与范围3，锐角三角形条件下的范围等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26889" 01 知识重构・重难梳理固根基 PAGEREF _Tc26889 \h 1
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 面积的最值与范围（★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 周长的最值与范围（★★★★）3
\l "_Tc26803" 题型三 边角代数式的最值与范围（★★★★★）………………………………………………………………… …4
\l "_Tc13512" 题型四 中线与角平分线相关最值（★★★★★）………………………………………………… ……5
\l "_Tc3897" 题型五 锐角三角形条件下的范围（★★★★★） ……………………………………………… ……6
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效7
\l "_Tc621" 重难知识巩固 7
\l "_Tc1659" 创新能力提升 8
知识重构·重难梳理固根基
1. 解三角形最值与范围的三大核心方法
2. 基本不等式法的标准流程
核心公式：
已知 A 和 a，由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA≥2bc−2bccsA=2bc1−csA
因此 bc≤a221−csA
面积最大值：Smax=a2sinA41−csA
特殊值速算：当 A=π3 时，1−csA=12，bc≤a2，Smax=34a2
3. 三角函数法的标准流程
核心公式：已知 A 和 a，sinB+sinC=2sinB+C2csB−C2=2csA2csB−C2
因为 B−C2a（求范围时下界为开区间）
边角等价：a>b⇔A>B⇔sinA>sinB
锐角三角形：三个角均为锐角，消元时被消元的范围由主元承担
易错警示：bc≤a2 等号成立条件为 b=c（即等腰三角形），需验证是否满足三角形存在条件
5. 中线与角平分线的常用公式
中线长度公式：ma2=142b2+2c2−a2（ma 为 BC 边中线长度）
中线向量公式：AD=12AB+AC，AD2=142b2+2c2−a2
角平分线定理：BD:DC=c:b
角平分线长度：AD=2bccsA2b+c
题型精研·技巧通法提能力
题型一 面积的最值与范围（★★★）
【技巧通法·提分快招】
已知一角和对边求面积最值→基本不等式法；求面积范围→三角函数法化为单变量函数求值域。
1.（2026·菏泽·一模）记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 b2+c2−a2=bc，a=3，则 △ABC 的面积的最大值为（ ）
A．32 B．334 C．3 D．332
2.（2025·中卫模拟）在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 a=3，sinA−sinBb+a=csinB+sinC，则 △ABC 面积的最大值为（ ）
A．34 B．32 C．334 D．3
3.（2025·萍乡·二模）在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 csA+3sinA=2，a=2，则 △ABC 面积的最大值为（ ）
A．3 B．23 C．332 D．43
4.（人教A版必修二·改编）在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 A=π3，a=2。
（1）求 △ABC 面积的最大值；
（2）求 △ABC 面积的取值范围。
5.（2025·贵州黔东南·三模）在锐角 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，∠ABC 的角平分线交 AC 于点 D，sin2A=12acsA，b=23，则下列结论正确的是（ ）
A．B=π6 B．若 C=π4，则 a=6+2
C．△ABC 面积的最大值为 33 D．若 a+c=35，则 BD=111515
题型二 周长的最值与范围（★★★★）
【技巧通法·提分快招】
求周长范围=求 b+c 范围后加 a。三角函数法：b+c=2RsinB+sinC=4RcsA2csB−C2；基本不等式法：b+c2=a2+2bc1+csA，配合 bc 上界求 b+c2 上界。下界由 b+c>a 确定（开区间）。
1.（2025·南阳一中·三模）.已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 a2=b2+c2−bc，若 a=3，则 b+c 的取值范围是______。
2.在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 A=π3，a=2，则 △ABC 周长的取值范围为（ ）
A．(2,4] B．(4,6] C．(23,43] D．(3,5]
3.（2024·全国Ⅱ卷·改编）在 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 b2=a2+c2−ac。
（1）若 b=7，S△ABC=332，求 a+c 的值。
（2）若 b=7，求 a+c 的取值范围。
4.（人教A版必修二·变式）在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 A=π3，a=2，求 △ABC 周长的最大值。
【答案】 6
【解析】4=b2+c2−bc≥bc⇒bc≤4
b+c2=b2+c2+2bc=bc+4+2bc=3bc+4≤3×4+4=16
b+c≤4，当 b=c=2 时取等。
L=a+b+c=2+b+c≤2+4=6
5.在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 A=2π3，a=3，则 △ABC 周长的取值范围为（ ）
A．(23,3+2] B．(23,3] C．(2,4] D．(3,5]
题型三 边角代数式的最值与范围（★★★★★）
【技巧通法·提分快招】
边角代数式范围问题核心是选择合适系统（角系统还是边系统）。角的条件多→角系统（正弦定理化边为角）；边的不等关系多→边系统（余弦定理+基本不等式）。消元后化为单变量函数求值域。
1.（2022·新高考Ⅰ卷）记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 csA1+sinA=sin2B1+cs2B。
（1）若 C=2π3，求 B；
（2）求 a2+b2c2 的最小值。
2.在 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 a2+b2=3c2，则 csC 的最小值为______。
3.（2025·江苏南通·三模）在锐角 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，满足 2S=b2−a2sinB。
（1）求证：B=2A；
（2）求 csB−3sinB2sinA 的取值范围。
4.（2025·浙江·三模）在锐角 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 2bsinB+C2=5asinA+C，则 cb 的取值范围为（ ）
A．0,35 B．35,53 C．53,3 D．1,2
题型四 中线与角平分线相关最值（★★★★★）
【技巧通法·提分快招】
中线问题→向量公式 AD=12AB+AC 求长度，再结合余弦定理和基本不等式求最值；
角平分线→角平分线长度公式 l=2bccsA2b+c，结合条件求最值。
1.（2025·河北保定·一模）记 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 c=26，ccsA−B+23asinBcsC=−ccsC，则 AB 边上的中线 CD 长度的最小值为（ ）
A．12 B．22 C．2 D．22
2.（2024·江苏宿迁·三模）在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c。若 23ccs2A+C2=bsinC，且边 AC 上的中线 BD 长为 3，则（ ）
A．B=π3 B．b 的取值范围为 [2,23)
C．△ABC 面积的最大值为 23 D．△ABC 周长的最大值为 36
3.在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 b=4，c=2，A=π3，BC 边上的中线 AM 的长度为_______。
4.在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 B=π3，a+c=6，则 ∠ABC 的角平分线 BD 的最大长度为（ ）
A．3 B．332 C．23 D．33
题型五 锐角三角形条件下的范围（★★★★★）
【技巧通法·提分快招】
锐角三角形条件=三个角均为锐角。
核心难点：消元后被消去的角的范围由主元承担。
三个条件 A