第31讲 三角形中最值与范围 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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三、典题精讲 PAGEREF _Tc233881951 \h 3
考点一：周长问题 PAGEREF _Tc233881952 \h 3
考点二：面积问题 PAGEREF _Tc233881953 \h 4
考点三：长度问题 PAGEREF _Tc233881954 \h 7
考点四：转化为角范围问题 PAGEREF _Tc233881955 \h 9
考点五：倍角问题 PAGEREF _Tc233881956 \h 10
考点六：角平分线与中线问题 PAGEREF _Tc233881957 \h 11
考点七：四心问题 PAGEREF _Tc233881958 \h 12
考点八：坐标法与隐圆问题 PAGEREF _Tc233881959 \h 13
考点九：两边夹与正切最值问题 PAGEREF _Tc233881960 \h 15
考点十：最大角与特殊点问题 PAGEREF _Tc233881961 \h 17
考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法 PAGEREF _Tc233881962 \h 19
考点十二：平方问题与基本不等式综合 PAGEREF _Tc233881963 \h 20
四、高考真题 PAGEREF _Tc233881964 \h 21
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷对解三角形相关知识的考查较为稳定，每年均有涉及.考查形式多样，既有作为独立解答题直接考查边角计算与线段长度，也有在多选题中考查综合判定，同时常作为核心工具在立体几何解答题中进行间接考查.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用，常与三角恒等变换（如降幂公式、和差化积等）深度结合.
（2） 命题趋势：命题逐渐摆脱单一的“套公式”模式，更加强调几何直观与代数变形的结合.常在多选题中考查边角关系的综合判断，或在解答题中结合平面几何图形（如平行线、垂线等）考查特定线段长度的计算.
（3） 试题特点：对代数变形能力要求较高，要求考生能在复杂的三角函数等式中敏锐地捕捉到边角转化的契机；同时注重知识交汇，要求考生具备在立体几何等复杂背景下剥离出基本三角形模型进行求解的能力.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，能够根据已知条件灵活选择“化角为边”或“化边为角”的解题策略.
（2） 强化三角恒等变换的基本功，特别是二倍角公式、诱导公式及两角和差公式在解三角形中的应用，提升代数式的化简与变形能力.
（3） 重视平面几何基本定理（如勾股定理、等腰三角形性质、圆的性质等）的复习，刻意培养在复杂图形中添加辅助线、构造直角三角形或基本解三角形模型的能力.
二、知识清单
1. 在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1） 利用基本不等式求范围或最值.
（2） 利用三角函数求范围或最值.
（3） 利用三角形中的不等关系求范围或最值.
（4） 根据三角形解的个数求范围或最值.
（5） 利用二次函数求范围或最值.
2. 解三角形中的范围与最值问题常见题型：
（1） 求角的最值.
（2） 求边和周长的最值及范围.
（3） 求面积的最值和范围.
3. 解三角形中最值与范围问题的必备基础知识：
（1） 三角形内角和定理及其推论：
① A+B+C=π.
② sin(A+B)=sinC，cs(A+B)=−csC，tan(A+B)=−tanC（当 tanC≠0 时）.
③ sinA+B2=csC2，csA+B2=sinC2.
（2） 三角形边角关系定理：
① 正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R（R 为 △ABC 外接圆半径）.
② 余弦定理：a2=b2+c2−2bccsA，csA=b2+c2−a22bc.
③ 大边对大角：在 △ABC 中，a>b⇔A>B⇔sinA>sinB.
（3） 三角形面积公式：
① S=12absinC=12bcsinA=12acsinB.
② S=12r(a+b+c)（r 为 △ABC 内切圆半径）.
4. 求最值与范围常用的代数与三角工具：
（1） 基本不等式：a2+b2≥2ab，a+b≥2ab（a>0,b>0），当且仅当 a=b 时等号成立.在求面积最大值或周长最小值时常用于边长的放缩.
（2） 辅助角公式：asinx+bcsx=a2+b2sin(x+φ)（其中 tanφ=ba），常用于将双变量三角函数化为单变量三角函数求最值.
（3） 三角函数的有界性：sinx∈[−1,1]，csx∈[−1,1].结合角的实际范围，可确定三角函数值的具体取值区间.
三、典题精讲
考点一：周长问题
考法1：求周长最值与范围
例1.（2026·A10联盟·模拟）在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a>1，a2=(4a−4)⋅sin2B，则a+2b的取值范围为（ ）
A. (4,2+22) B. (4,4+2) C. (22,4) D. (2,4)
【答案】A
【思路】观察已知等式，右侧含有正弦函数，其最大值为1，而左侧关于a的代数式可通过基本不等式求出最小值，从而利用不等式链确定a与B的值.随后利用正弦定理将b转化为关于A的三角函数，结合锐角三角形的条件确定A的范围，进而求出整体代数式的取值范围.
【解析】∵(a−2)2≥0，∴a2≥4a−4，则a2=(4a−4)⋅sin2B≥4a−4.∵a>1，∴sin2B≥1，则sin2B=1，∴B=π4，a2=4a−4，解得a=2.∵△ABC是锐角三角形，∴0