重难点培优04 解三角形中的最值与范围问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优04 解三角形中的最值与范围问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共5页。学案主要包含了典例1-1，典例1-2，变式1-1，变式1-2，典例2-1，典例2-2，变式2-1，变式2-2等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc18941" 题型深研·通法变式提能力3
\l "_Tc17807" 题型1 已知三角形一角求取值范围3
\l "_Tc4842" 题型2 已知三角形一角及其对边求取值范围8
\l "_Tc17807" 题型3 已知三角形一角及其邻边求取值范围14
\l "_Tc4842" 题型4 已知三角形一角及另外两边的关系求取值范围18
\l "_Tc17807" 题型5中线长的最值问题 24
\l "_Tc4842" 题型6 角平分线长的最值问题29
\l "_Tc4842" 题型7 与三角形有关的实际问题的最值问题35
\l "_Tc6233" 分层进阶·双阶训练验成效39
\l "_Tc30327" 巩固过关39
\l "_Tc11271" 创新提升 PAGEREF _Tc11271 \h 51
知识精讲·重难聚焦讲技巧
\l "_Tc25045" 知识点1 解三角形常用公式
正弦定理
在△ABC中，内角A,B,C对边分别为a,b,c，外接圆半径R：
asinA=bsinB=csinC=2R
常用变形：a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC； sinA:sinB:sinC=a:b:c.
余弦定理
a2=b2+c2−2bccs⁡A,cs⁡A=b2+c2−a22bc
b2=a2+c2−2accs⁡B,cs⁡B=a2+c2−b22ac
c2=a2+b2−2abcs⁡C,cs⁡C=a2+b2−c22ab
三角形面积公式
S=12absinC=12bcsinA=12acsinB；
S=abc4R；S=12(a+b+c)r（r为内切圆半径）.
三角形内角约束
A+B+C=π，A,B,C∈(0,π)；
大边对大角：a>b⇔A>B；
两角和诱导公式：sin⁡(A+B)=sin⁡C,cs⁡(A+B)=−cs⁡C.
三角形内角下三角函数值域：sinx∈(0,1]，csx∈(−1,1）.x∈(0,π).
\l "_Tc25045" 知识点2 最值范围问题四大通用解题方法
1.正弦定理边角互化，转化三角函数值域
已知一角或一边定值，利用正弦定理把三边统一为角的正弦表达式，结合A+B+C=π消元，化为单角三角函数，结合角的取值范围求最值.
步骤：
（1）边化角，统一变量为单个内角；
（2）利用和差、二倍角、辅助角公式化简；
（3）根据三角形内角范围确定自变量区间；
（4）结合正弦或余弦函数单调性求值域.
2.余弦定理结合基本不等式（a+b≥2ab）
已知一边及其对角，利用余弦定理构造ab或a+b的关系式，用均值不等式求边长、面积最值；
注意取等条件：a=b（等腰三角形），同时验证三边能构成三角形.
2.函数法（二次函数或对勾函数）
已知两边关系、周长定值等条件，通过余弦定理建立单变量函数，转化为二次函数、对勾函数，结合定义域求范围.
4.几何轨迹法（定边定角→隐圆）
若三角形一条边固定，对角为定值，由圆周角定理，第三个顶点在定圆上运动，利用圆的几何性质（直径、弦长、高）快速求周长、面积最值.
\l "_Tc25045" 知识点3 三角形隐含约束条件
1.三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
2.角范围：任意内角∈(0,π)，锐角三角形三个内角均π2；
3.边角匹配：最长边对应最大角，若最大角为锐角，则三角形为锐角三角形；最大角为钝角则为钝角三角形；
4.锐角三角形专属限制：
A