重难点培优01 直线与圆中的最值、范围问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优01 直线与圆中的最值、范围问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共100页。学案主要包含了典例1-1，变式1-1，变式1-2，典例2-1，变式2-1，变式2-2，典例3-1，变式3-1等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc18941" 题型深研·通法变式提能力 PAGEREF _Tc18941 \h 1
\l "_Tc17807" 题型01 切线长的最值问题2
\l "_Tc4842" 题型02 切点弦的最值问题3
\l "_Tc4842" 题型03 弦长的最值问题3
\l "_Tc4842" 题型04 两点间距离的最值问题4
\l "_Tc4842" 题型05 点到直线距离的最值问题4
\l "_Tc4842" 题型06 切线角的最值问题5
\l "_Tc4842" 题型07 面积的最值问题5
\l "_Tc4842" 题型08 线段和与差的最值问题6
\l "_Tc4842" 题型09 斜率型代数式的最值7
\l "_Tc4842" 题型10 截距型代数式的最值问题7
\l "_Tc4842" 题型11 距离型代数式的最值问题8
\l "_Tc6233" 分层进阶·双阶训练验成效8
\l "_Tc30327" 巩固过关8
\l "_Tc11271" 创新提升10
知识精讲·重难聚焦讲技巧
\l "_Tc25045" 知识点1 直线与圆中最值问题的题型
高中数学中直线与圆的最值与范围问题，核心思想是数形结合与转化化归。常见题型可归纳为以下几类：
1、距离与长度最值问题
（1）定点到圆上动点的距离：转化为定点到圆心的距离与半径的关系。若点在圆外，最大值为 d+r，最小值为 d−r；若点在圆内，最大值为 r+d，最小值为 r−d。
（2）圆上动点到定直线的距离：转化为圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系。最大值为 d+r，最小值为 |d−r|（若直线与圆相离，最小值为 d−r）。
（3）切线长与弦长：切线长 l=d2−r2，求切线长最值等价于求点到圆心距离 d 的最值。过圆内定点的最长弦为直径，最短弦为垂直于过该点直径的弦。
2、代数式的几何意义问题
（1）斜率型：形如 y−bx−a 的最值，转化为圆上动点与定点 (a,b) 连线的斜率最值，通常在连线与圆相切时取得。
（2）截距型：形如 ax+by 的最值，转化为动直线 ax+by=t 在 y 轴上的截距最值，利用圆心到直线距离等于半径（相切）求解。
（3）距离平方型：形如 (x−a)2+(y−b)2 的最值，转化为圆上动点到定点 (a,b) 距离的平方，利用几何法或三角换元求解。
3、折线段与对称问题（将军饮马模型）
涉及直线上动点到两定点距离之和或差的最值。口诀为“和最小，化异侧；差最大，转同侧”。通过作定点关于直线的对称点，将折线段转化为直线段，利用三点共线求最值。
\l "_Tc25045" 知识点2 求解策略
（1）几何法（首选）：充分利用圆的对称性、切线性质、三角形三边关系等平面几何性质，直观快捷。
（2）代数法：建立目标函数，利用参数方程（三角换元）、配方法、判别式法或基本不等式求解。
（3）三角换元法：利用圆的参数方程 x=a+rcsθ,y=b+rsinθ，将几何最值转化为三角函数的值域问题。
题型深研·通法变式提能力
题型1 切线长的最值问题
【典例1-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（ ）
A．B．C．7D．9
【变式1-1】已知P为直线l:x−y+1=0上一点，过点P作圆C:x−12+y2=1的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【变式1-2】从直线x−y+2=0上的点向圆x2+y2−4x−4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．22B．1C．24D．22−1
题型2 切点弦的最值问题
【典例2-1】（2026·湖南湘西·三模）过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为__________.

题型3 弦长的最值问题
【典例3-1】（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．2
【变式3-1】（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【变式3-3】（2026·山东菏泽·二模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（）
A．B．C．D．10
【变式3-4】（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______．
题型4 两点间距离的最值问题
【典例4-1】（2026·江西·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．1B．4C．8D．16
【变式4-1】（多选）（25-26高二下·河北邢台·开学考试）若圆与圆N关于直线对称，则（ ）
A．圆M与圆N相交
B．圆M与圆N外切
C．圆N上一点与点的距离的最小值为
D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为
【变式4-3】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x−a2+y−b2可以转化为平面上点Mx,y与点Na,b的距离．结合上述观点，可得y=x2−2x+5+x2−6x+25的最小值为（ ）
A．210B．22C．2+10D．3+5
【变式4-4】已知点M0,2，N43,0，过点M作直线交圆O：x2+y2=9于A，B两点，AB的中点为Q，则NQ的最小值为（ ）
A．13B．23C．1D．43
题型5 点到直线距离的最值问题
【典例5-1】（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式5-1】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知圆：，直线：为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
【变式5-2】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线3x−4y+15=0的距离为d，则d的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-4】（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，过单位圆上一点作圆的切线，定点，若线段的垂直平分线与直线交于点，则的最小值为________.
题型6 切线角的最值问题
【典例6-1】（2026·贵州毕节·三模）已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．.B．C．D．
【变式6-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________.
【变式6-2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为___________．
【变式6-3】（25-26高二上·山东·期中）过点作圆的两条切线，切点分别为，，设，则的最小值为_____.
题型7 面积的最值问题
【典例7-1】（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）
A．B．2C．2D．4
【典例7-2】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（ ）
A．2B．C．3D．
【变式7-1】（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（ ）
A．B．C．或D．或
【变式7-2】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（ ）
A．四边形面积的最小值为B．最大度数为
C．直线过定点D．的最小值为
【变式7-3】（多选）（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知圆M：，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（ ）
A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为
B．切线长PA的最小值为1
C．四边形AMBP面积的最小值为1
D．直线AB恒过定点
【变式7-4】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B．
(1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程；
(2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围．
题型8 线段和与差的最值问题
【典例8-1】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．3
【变式8-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．4
【变式8-2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________．
【变式8-3】（2026高二·全国·专题练习）在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________.
题型9 斜率型代数式的最值
【典例9-1】（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________．
【变式9-1】已知点，若点在线段上，则的取值范围为__________.
【变式9-2】已知为圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 .
题型10 截距型代数式的最值问题
【典例10-1】已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（ ）
A．-9，1B．-10，1C．-9，2D．-10，2
【变式10-1】（2026高二·全国·专题练习）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________．
【变式10-2】已知实数，满足方程，则的最大值和最小值分别为 和 .
【变式10-3】已知实数x,y满足(x−3)2+(y−4)2=3，则y−3x的最大值为（ ）
A．5−30B．30+5C．−30−5D．30−5
题型11 距离型代数式的最值问题
【典例11-1】（25-26高二上·山东济宁·期末）已知直线，直线相交于点，则的最大值为（ ）
A．B．C．8D．18
【变式11-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，为圆上的两点，且，设为弦上一点，且，则的最大值为________.
【变式11-2】（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数a,b,c,d满足ab=c−1d−3=43，则a−c2+b−d2的最小值为（ ）
A．12125B．8125C．6425D．4925
【变式11-3】已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ．
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
一、单选题
1．（2026·吉林通化·三模）圆上的点到直线距离的最大值是（ ）
A．7B．5C．3D．2
2．（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高二上·甘肃定西·期中）若实数满足等式，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高二上·全国·期中）已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值为（ ）
A．72B．88C．75D．86
二、多选题
6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）设坐标原点为，直线，，则（ ）
A．的充要条件是或
B．若，则
C．点到直线的距离的最大值是
D．若经过点的直线与始终垂直，则垂足与原点距离的最大值是
7．已知点是圆上的一个动点，过原点的动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为2D．的最大值为6
8．（2026·广东佛山·一模）已知点，，点P在圆上运动，则（ ）
A．直线AB与圆C相离B．的面积的最小值为
C．的最大值为6D．当最小时，
三、填空题
9．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知直线：恒过定点，点为圆：上的动点：为坐标原点，则面积的最大值为______.
10．已知P是圆上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的外接圆面积的最大值为______．
四、解答题
11．（25-26高二下·上海·期中）已知圆：，为圆上任意一点．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
12．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上.
(1)求的标准方程；
(2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值.
创新提升
一、单选题
1．（2026·湖南长沙·三模）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（ ）
A．24B．12C．10D．5
2．（2026·北京房山·二模）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2026高二·全国·专题练习）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
6．（2026·四川凉山·二模）若正方形的四个顶点在曲线上，则正方形的面积的最大值为（ ）
A．3B．4C．D．5
二、多选题
7．已知实数满足方程，则下列错误的有（ ）
A．的最小值为B．的范围是
C．的最小值为D．的最大值为
8．（2026·广西崇左·一模）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（ ）
A．的最小值为6
B．的最小值为7
C．的最大值为8
D．的最大值为9
三、填空题
9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为_______________ .
10．（25-26高三·全国·一轮复习）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______．
四、解答题
11．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值．