重难点培优05 圆锥曲线中的最值、范围问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优05 圆锥曲线中的最值、范围问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共100页。学案主要包含了典例1-1，典例1-2，变式1-1，变式1-2，变式1-3，典例2-1，典例2-2，变式2-1等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc18941" 题型深研·通法变式提能力 PAGEREF _Tc18941 \h 1
\l "_Tc17807" 题型01 距离、长度的最值范围问题2
\l "_Tc4842" 题型02 面积的最值、范围问题3
\l "_Tc4842" 题型03 离心率的最值、范围问题4
\l "_Tc4842" 题型04 斜率有关的最值、范围问题5
\l "_Tc4842" 题型05 角度有关的最值、范围问题6
\l "_Tc4842" 题型06 周长有关的最值、范围问题7
\l "_Tc4842" 题型07 向量的最值、范围问题8
\l "_Tc4842" 题型08 坐标的最值、范围问题9
\l "_Tc4842" 题型09 代数式的最值、范围问题10
\l "_Tc4842" 题型10 参数的最值、范围问题11
\l "_Tc6233" 分层进阶·双阶训练验成效12
\l "_Tc30327" 巩固过关12
\l "_Tc11271" 创新提升14
知识精讲·重难聚焦讲技巧
\l "_Tc25045" 知识点1 圆锥曲线中的最值问题
1、常见题型分类
（1）距离与长度最值：包括曲线上动点到定点/定直线的距离、焦点弦长、三角形周长等。
（2）面积最值：如动直线与曲线相交构成的三角形或多边形面积的最值。
（3）向量与代数式最值：涉及向量数量积（如 PA⋅PB ）、斜率之和/积、截距等代数表达式的极值。
2、核心求解方法
（1）几何法（数形结合）：若题目条件具有明显的几何特征，优先利用曲线定义、平面几何定理（如三角形三边关系、点到直线距离）或切线性质求解。此法往往能避开繁琐的代数运算，实现“秒杀”。
（2）代数法（函数与方程思想）：当几何特征不明显时，需引入参数（如斜率 k 、截距 m 或参数角 θ ），将目标几何量转化为关于该参数的函数。
构建目标函数：通过联立直线与曲线方程，利用韦达定理进行整体代换，建立目标函数。
求解最值：根据自变量的有效定义域（特别注意 Δ>0 的限制），利用二次函数配方法、三角换元法、导数法或基本不等式求出函数的最值。
总结：解决此类问题的核心在于“几何问题代数化，代数问题函数化”。解题时需先画图预判，优先尝试几何法；若行不通，则严谨地进行代数设参、联立、求导或放缩，并注意定义域的边界条件
知识点2圆锥曲线中的范围问题
1、常见题型分类
（1）几何量的范围：求弦长、三角形面积、点到直线距离等几何量的取值区间。
（2）坐标与截距的范围：求交点坐标、直线在坐标轴上的截距、线段中点坐标的取值范围。
（3）斜率与倾斜角的范围：求动直线斜率、倾斜角或两直线斜率之积/和的取值范围。
（4）曲线参数的范围：求离心率、半焦距等圆锥曲线自身参数的取值范围。
2、核心求解方法
（1）几何法（构造不等式）：充分利用圆锥曲线的几何性质（如椭圆上点的坐标范围 |x|≤a ）、隐含条件（如点在曲线内部）或平面几何定理（如三角形两边之和大于第三边），直接构造不等式求解。
（2）代数法（函数与判别式）：
判别式法：联立直线与曲线方程，利用相交条件 Δ>0 构造关于参数的不等式，这是确定参数范围最基础且关键的一步。
函数法：引入参数（如斜率 k ），将目标几何量转化为关于该参数的函数。结合参数自身的定义域，利用函数的单调性、配方法或基本不等式求出函数的值域，进而确定范围。
参数传递法：利用已知参数的范围，通过建立等量关系，求出新参数的范围。
总结：解决范围问题的核心在于“翻译与转化”。解题时需敏锐捕捉几何特征与代数限制（特别是 Δ>0 和变量自身范围），将几何问题转化为函数值域或不等式求解问题，做到严密推导，不漏边界。
题型深研·通法变式提能力
题型1 距离、长度的最值范围问题
【典例1-1】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知动直线与圆O：相切，与椭圆相交于不同的两点A，B，则原点到的中垂线的最大距离为________．
【典例1-2】（2026·贵州黔西南·二模）已知双曲线的离心率为2，且过点.
(1)求的方程；
(2)设的左、右顶点分别为，，点是右支上异于的任意一点，直线，分别与直线交于点，.
（i）证明：；
（ii）求的取值范围.
【变式1-1】（2026·湖南株洲·三模）已知抛物线，P为C上的动点，Q为圆上的动点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围.
【变式1-3】（2026·上海·模拟预测）已知双曲线，焦距为.
(1)求双曲线的标准方程与渐近线方程；
(2)过点作斜率为的直线，与双曲线交于两点，若，求的值；
(3)点为双曲线右支上动点，求的最小值（为双曲线左右焦点）.
题型2 面积的最值、范围问题
【典例2-1】（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
【典例2-2】（25-26高三下·河南·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3.
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，.
（i）证明：；
（ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值.
【变式2-1】（多选）（2026·湖南长沙·三模）已知动点到点距离为，点到直线的距离为，且.动点的轨迹为曲线，为曲线上两个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．动点的轨迹方程为
B．最小值为18
C．若为等边三角形，则周长为
D．若，则的面积最小值为64
【变式2-2】（2026高三下·北京·竞赛）设直线与椭圆交于两点，过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点．则当四边形的面积最大时，直线的斜率为_____．
【变式2-3】（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D.
(1)设直线，的斜率分别为，，求的值
(2)求面积的最大值.
【变式2-4】（2026·福建泉州·模拟预测）已知动点满足方程．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设，，过点的直线与轨迹交于，两点（，两点均在轴右侧），直线与直线相交于点．
（ⅰ）证明：直线恒过定点；
（ⅱ）若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求面积的最小值．
【变式2-5】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)求四边形ACBD面积的最小值．
题型3 离心率的最值、范围问题
【典例3-1】（25-26高三上·山西临汾·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则椭圆离心率的范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2026·福建南平·二模）已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________．
【变式3-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点为椭圆的长轴端点，为椭圆上一点，若直线的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是_______．
【变式3-3】（2026·云南昆明·模拟预测）曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线上，称该曲线族为“M族”，若曲线族是M族，且所有满足M族定义的直线均与双曲线有交点，则的离心率的范围为__________．
题型4 斜率有关的最值、范围问题
【典例4-1】（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）设抛物线的焦点为F，P为C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【典例4-2】已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围.

【变式4-1】（25-26高二下·四川成都·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．
(1)若椭圆的离心率为．
①求椭圆的方程；
②若时，求的面积；
(2)当时，求的取值范围．
【变式4-2】（25-26高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点是，点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围．
【变式4-3】（2026·天津东丽·二模）设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点，已知的面积为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知直线与椭圆相切，过点B的直线与椭圆交于C，D两点，过点C，D作l的垂线，垂足分别为M，N两点（M，N两点不重合）．记直线CN，DM的斜率分别为，，求的取值范围．
【变式4-4】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限．
(1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e；
(2)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的斜率的取值范围．
题型5 角度有关的最值、范围问题
【典例5-1】（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的长轴为4，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过原点的直线与交于不同的两点（在第一象限），过作平行于轴的直线交轴于点，取中点，作直线交于点，求的最大值．
【变式5-1】（25-26高三上·山东滨州·期末）已知为抛物线上的任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2026·福建泉州·三模）已知动圆与已知圆外切，与圆内切，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知，直线斜率存在，且与轨迹相交于，两点，与轴相交于点，．
（i）证明：直线过定点；
（ii）若与轴相交于，两点，求向量，的夹角的最大值．
【变式5-3】（2026·广东揭阳·二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明存在轴上的一点，使得为定值；
(3)求的最大值.
题型6 周长有关的最值、范围问题
【典例6-1】（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（ ）
A．B．C．D．
【典例6-2】（2026·河北保定·模拟预测）已知点，点在线段上(不含端点)运动，且动点满足，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条平行线，分别与曲线在轴上方交于两点，求四边形周长的最大值.
【变式6-1】（多选）（2026·吉林·三模）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（ ）
A．的周长为6B．的面积为时，
C．周长的最小值是D．面积的最大值为
【变式6-2】（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点.
(1)若点的坐标为，求双曲线的方程；
(2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值；
(3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点（不与重合），若，且直线恒过点，求周长的取值范围.
题型7 向量的最值、范围问题
【典例7-1】（2026·河北沧州·模拟预测）已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】2026·陕西渭南·三模）已知点P为椭圆上任意一点，直线l过的圆心且与交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________.
【变式7-3】（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上．
(1)求的方程；
(2)设直线：与交于、两点．
（ⅰ）若，求的值；
（ⅱ）若为平面上一点，且，求的最大值．
题型8 坐标的最值、范围问题
【典例8-1】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，且，
(1)若为线段AC的中点，
（i）求直线的斜率；
（ii）求|AC|；
(2)若点在抛物线上，满足，求取值范围．
【典例8-2】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】已知抛物线过点，焦点为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围．
【变式8-2】（2026·山东青岛·一模）已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】（2026·天津南开·模拟预测）已知椭圆：，，为原点，椭圆的左右焦点分别为，，并且经过点，
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左右顶点分别为，，直线与椭圆有且仅有一个公共点，点不与，重合，设直线，的斜率分别为，．
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）设的平分线与轴交于点，求的取值范围．
【变式8-4】（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹为曲线．，在曲线上．
(1)求曲线的方程；
(2)过的直线与曲线相切，求切线方程；
(3)若是钝角三角形，求点横坐标的取值范围．
题型9代数式的最值、范围问题
【典例9-1】（2026·天津红桥·一模）已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点．
①证明：（为坐标原点）；
②设，求实数的取值范围．
【变式9-1】（多选）（25-26高二上·江西抚州·期中）已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为时，的最大值为
C．不存在点Q，使得
D．的最小值为
【变式9-2】（25-26高二上·广西贺州·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点．
(1)求椭圆的方程．
(2)设直线的斜率分别为，且直线过定点．
①设和的面积分别为，求的最大值；
②证明为定值，并求出该定值．
【变式9-3】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值.
【变式9-4】（2026·湖南岳阳·三模）已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点作垂直于轴的直线，与双曲线交于M，N两点，点为双曲线位于y轴正半轴的虚轴端点，求的面积；
(3)设P，Q为双曲线上不同的两点，且，证明：点到直线PQ的距离为定值，并求的最小值．
题型10参数的最值、范围问题
【典例10-1】（2026·云南昭通·模拟预测）如图，已知椭圆的方程为，直线与椭圆交于两点（点在第一象限）．当时，在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．

(1)求的标准方程；
(2)若轴于点，连接BM并延长交于点，记直线的斜率为．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）设，求的取值范围．
【变式10-1】（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点．
(1)若离心率时，求的值；
(2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标；
(3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围．
【变式10-2】（25-26高三下·山东·阶段检测）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线交轴于点，
（i）若，求证：为定值；
（ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围．
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆的焦点分别为，若点在椭圆上，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（25-26高二上·天津·期末）已知，，点在曲线上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值D．既没有最大值，也没有最小值
4．（2026·吉林延边·三模）已知P是抛物线C：上的动点，若点P到直线距离的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．4D．10
5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（ ）
A．8B．6C．D．
6．（多选）（2026·福建宁德·二模）设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．
B．的最小值为2
C．若为的中点，则
D．点到上点的距离的最小值为3
7．（多选）（2026·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，斜率为k的直线过点与双曲线的右支交于两点，与y轴交于点A，M为C上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的周长为20
B．k的取值范围是
C．若，则
D．当时，的最小值为
8．（多选）（2026·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为，左焦点为，且，，点为椭圆上一点，圆的半径为2，过原点作圆的两条切线，，分别交椭圆于，若直线，的斜率都存在，分别记为，，则（ ）
A．椭圆的离心率为B．的最小值为
C．的值为D．的最大值为
9．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同焦点，记为，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为_________．
10．（2026高三上·全国·专题练习）若点是双曲线的第一象限的任意一点，求的最小值________
11．（2026高三下·湖北·竞赛）设，是椭圆上不同于顶点的两个动点，为坐标原点，直线，的斜率分别记为，．如果椭圆上存在点满足，其中，
(1)证明：为定值；
(2)求的最大值．
12．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的离心率为2，点在上．
(1)求的渐近线方程；
(2)若直线交双曲线的右支于两点，线段的垂直平分线过点．
（i）求与之间的数量关系式；
（ii）求的取值范围．
创新提升
1．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．4
2．（2026·山西吕梁·三模）已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（ ）
A．B．3C．7D．9
3．（2026·山东潍坊·三模）已知椭圆：，，为的左、右焦点，为上的一个动点（异于左、右顶点），设的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
4．（多选）（2026·山西忻州·模拟预测）点在椭圆的第一象限部分运动．以为对角线作矩形，矩形的边分别平行于坐标轴，其中为坐标原点．设该矩形的面积为，周长为．则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1B．的最大值为
C．当取得最大值时，D．满足的点有且仅有两个
5．（多选）（2026·河南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线C的右支上，且，则（ ）
A．当时，的面积为B．当时，的周长为
C．当为钝角时，D．内切圆的半径的取值范围是
6．（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）类比于双曲线，我们可将直线：和直线：称为椭圆的“虚渐近线”.已知，为椭圆：的两条“虚渐近线”，且，与的上半部分交于，两点，动点在上且在，之间（不与，重合），过作椭圆的切线交，于，，则下列说法正确的是（ ）
A．，所成夹角的大小为B．四边形面积的范围为
C．为定值D．
7．（2026·四川雅安·二模）已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______．
8．（2026·山东烟台·模拟预测）已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4．
(1)求的标准方程；
(2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标：
(3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值．
9．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线．
(1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？
(2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x．
（i）若，求实数的值；
（ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围．
10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)求面积的最大值，其中为坐标原点．
11．（2026·广西崇左·二模）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，的最小值为4.
(1)求的方程.
(2)记过点且与相切的直线为，过点作直线的垂线交于另一点，求的最小值.
(3)是否存在定圆，使得以为直径的圆始终与相切？若存在，求圆的方程；若不存在，说明理由.
12．（2026·浙江宁波·二模）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，斜率为的直线与椭圆交于两点.当的面积最大时，求直线的方程.
13．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点.
(1)求椭圆方程；
(2)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）当最大时，求直线方程.