新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点3解三角形中的范围与最值问题（8大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点3解三角形中的范围与最值问题（8大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版），共31页。
\l "_Tc209897711" 01 重点解读 PAGEREF _Tc209897711 \h 2
\l "_Tc209897712" 02 思维升华 PAGEREF _Tc209897712 \h 3
\l "_Tc209897713" 03 典型例题 PAGEREF _Tc209897713 \h 4
\l "_Tc209897714" 题型一：利用正弦定理及三角函数有界性求解 PAGEREF _Tc209897714 \h 4
\l "_Tc209897715" 题型二：利用余弦定理及基本不等式求解 PAGEREF _Tc209897715 \h 8
\l "_Tc209897716" 题型三：换元法求解范围 PAGEREF _Tc209897716 \h 11
\l "_Tc209897717" 题型四：坐标法 PAGEREF _Tc209897717 \h 15
\l "_Tc209897718" 题型五：三角形中的平方问题 PAGEREF _Tc209897718 \h 19
\l "_Tc209897719" 题型六：等面积法 PAGEREF _Tc209897719 \h 20
\l "_Tc209897720" 题型七：常见数学史问题 PAGEREF _Tc209897720 \h 25
\l "_Tc209897721" 题型八：四心问题 PAGEREF _Tc209897721 \h 31
\l "_Tc209897722" 04 课时精练 PAGEREF _Tc209897722 \h 37
解三角形范围与最值是高考中档难点，多在解答题中后段或选填压轴，分值 5-12 分。常以边长、面积、角的三角函数值为目标，依托正余弦定理转化为函数或不等式问题。常用方法有：三角函数有界性、基本不等式、二次函数最值。近年常与几何约束（如固定边、角）结合，侧重转化思想与代数求最值能力。
在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
题型一：利用正弦定理及三角函数有界性求解
【例题1】在中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角；
(2)若，且边的中线的长为，求的面积；
(3)若是锐角三角形，求的范围．
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
所以，
得到，即，
又，，所以，
又因为，可得.
（2）因为，且，
所以由，可得，解得，
由题意，
两边平方，可得，
因为，所以，解得或（舍），
则的面积为.
（3）因为
，
由题知，，解得，
因为，
所以，可得，
可得，
所以．
【例题2】在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求证：；
(2)若，求a边的范围；
(3)求的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以，
由正弦定理可得，
又因为，
代入可得，
即，
因为，，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以．
法二：由正弦定理可得：，
则，
则，
又，故，
因为，，则，故，
所以或，即或（舍去），
（2）因为为锐角三角形，，
所以，
由，解得，
又故．
（3）由（2）知．
由，
，
令，则在上单调递增，所以，
所以的取值范围为．
【变式1】（2025·高三·浙江丽水·期末）已知锐角内角的对边分别为.若.
(1)求；
(2)若，求的范围.
【解析】（1）由正弦定理，
，
则，又,
所以
（2）因为，
所以,
则
，
因为三角形为锐角三角形，
所以,解得，
令，所以，
所以.
【变式2】（2025·江西南昌·三模）在锐角中，，，
(1)求角A；
(2)求的周长l的范围.
【解析】（1）∵，
，
所以，
所以，
因为，所以，
，所以.
（2），
所以,
所以，，
所以
,
因为是锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，所以，
所以.
题型二：利用余弦定理及基本不等式求解
【例题3】（2025·高三·河北石家庄·期中）在中，角所对的边为且满足.
(1)求；
(2)当时，求边上中线的范围.
【解析】（1）在中，由及正弦定理，
得，
则，即，
于是，而，，则，
所以.
（2）由（1）及余弦定理，得，
当且仅当时取等号，
因此，由为边上中线，得，
则，
所以边上中线的范围是.
【例题4】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足，.
(1)求B；
(2)若D为线段BC上一点，且满足，，求CD的长；
(3)若为锐角三角形，求面积的范围.
【解析】（1）由题可得，
∴，∵，∴.
（2）D为线段BC上一点，且满足，，
∴为等边三角形，
∴.
设，在中，，
即，
整理得：，解得或（舍），即.
（3）在△ABC中，，由正弦定理得：
，
于是得.
因为是锐角三角形，则，且，
于是有，则，即，，
从而得，
所以△ABC面积的取值范围是.
【变式3】在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，可得，
因为，故.
（2）由余弦定理可得
，所以，，
当且仅当时，等号成立，
又因为，则，所以，，
因此，周长的取值范围是.
【变式4】（2025·高三·河北邢台·开学考试）已知在中，角所对的边分别是，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若的外接圆半径为1，求面积的最大值.
【解析】（1）根据正弦定理，
所以，，
所以，
又因为，，
代入化简得①，
根据两角和的正弦公式，
又，则，
代入①化简得：，
因为角，所以角.
（2）已知的外接圆半径为1，由正弦定理，
可得，
由余弦定理可知，代入的值可得.
由基本不等式，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取最大值3.
由三角形面积公式可得，
因为，当且仅当时，面积最大，
所以.
【变式5】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，当的面积取得最大值时，求内切圆的半径．
【解析】（1）由题，有，然后由正弦定理边角互化可得：
，
又在三角形中，，.则，；
（2）由（1），.
由余弦定理，.
由重要不等式，，当且仅当时取等号，
则，此时为等边三角形.
设此时内切圆的半径为，则.
题型三：换元法求解范围
【例题5】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)若，求证：；
(2)若，求的最大值．
【解析】（1）由可得，，
故，即，
由正弦定理得，故，
，所以，，所以．
（2），，
故，
所以，
令，所以．
当且仅当取等号，所以的最大值为．
【例题6】在中，角的对边分别为，已知.
(1)若，且边的中线长为，求的面积；
(2)若是锐角三角形，求的范围.
【解析】（1）在中，因为，
由余弦定理可得，即，
整理得，所以，
因为，所以，
又因为，
联立方程组，解得，所以，
因为为边中线，则，
所以，
可得，解得或（舍去），
所以的面积为.
（2）由正弦定理，可得
.
因为是锐角三角形，则，可得，所以，
因为，所以，则，
所以，所以.
【变式6】在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若周长为6，求的面积；
(3)若为锐角三角形，求的范围．
【解析】（1）由正弦定理及得，，
因为，所以，则，
若，则，矛盾，则，
又，所以．
（2）由余弦定理，得，
由周长为6，得，解得，
所以的面积．
（3）在锐角中，由，得，则，
又，则，
由正弦定理得
，
所以的范围是．
【变式7】在锐角三角形中，分别为角所对的边，.
(1)证明：.
(2)求的范围.
【解析】（1）因为在锐角中，，
由正弦定理得，
则，
所以，
则，所以或（舍去），
所以.
（2）因为是锐角三角形，又，所以，
所以的范围为，则，
又
则
，
设，
令，
则，，
所以，在上单调递增，
所以，即，
则，即，
所以的取值范围是.
题型四：坐标法
【例题7】（2024·山东·二模）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且.
(1)若，求tan∠GAC的值；
(2)求cs∠ACB的取值范围.
【解析】（1）以为原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设的中点为，则共线且，
设，则，，，，
故，故，故，
所以.
（2）设，则，
故，，
故，
故，所以，
故，而，
，
故
，
而，故，故，
所以，.
【例题8】在中，，，点在内部，，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】因为，，所以.
在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径），所以，解得：.
如图所示：设的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系.
设E为AC的中点，所以，.
所以点M的轨迹为：，可写出（为参数）.
因为点在内部，所以（其中满足，）.
所以
因为满足，，所以，
所以当时最小.
故答案为：2
【变式8】（2025·江西·模拟预测）设的面积为，内角的对边分别为为中点，已知．
(1)求；
(2)若，求的范围．
【解析】（1）因为为中点，所以，
所以
即，
又，所以，
即，
又由余弦定理，即，所以，
则；
（2）因为，
显然，所以，
即，
又
，，
所以，即
由正弦定理可得，
因为，不妨令，，建立平面直角坐标系，
由，所以点在以、为焦点的椭圆（除顶点外）上，
令椭圆方程为，则，，
所以椭圆方程为，当在椭圆短轴顶点时，此时无意义，
所以，则.
题型五：三角形中的平方问题
【例题9】（2024·高三·江苏常州·期末）已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】设，以所在直线为轴、其中垂线所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示），则，设，由，得，即，
则，
则，
即，
解得，即，
即面积的最大值为.
【例题10】（2024·辽宁辽阳·一模）在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由正弦定理得，，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
【变式9】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由得： ，
故 ，
当且仅当 时取等号，
由于 ,故 ，
则 ，则 ，
故答案为：
题型六：等面积法
【例题11】在中，，且．
(1)求角；
(2)求面积的最大值；
(3)若是边上的一点，且证明，并求的最小值.提示：函数在区间上单调递减．
【解析】（1）因为
所以在中，由，
可得，解得或.
又因为，所以，所以；
（2）由可得，
当且仅当时等号成立.
所以，
所以面积的最大值为；
（3）在中，设角所对的边分别为，
因为，所以是的平分线，
因为，所以.
因为，
所以，
即，所以，
设，
在中，
由正弦定理可得，
则.
令，则，
在中，由余弦定理可得
，
解得，所以.
则.
令，
由题意可得函数在区间上单调递减，
则，
所以的最小值为.
【例题12】在中，角的对边分别为，且，.
(1)若，求的值；
(2)若为锐角三角形.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围.
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴．
由余弦定理可得，
∴，
∴．
（2）（ⅰ）已知，，，
∴，又∵△ABC为锐角三角形，
所以，即，
∴，∴．
（ⅱ）因为，所以，
所以．
又∵，
∴，
化简得，
又∵，∴，
∴，∴．
【变式10】（2025·高三·山东·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求；
(2)若的面积为，且∠BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值．
【解析】（1）在中，由正弦定理得.
因为，所以.
整理得.
故.
又，故
（2）由的面积为，得，解得，
∵为内角的角平分线，∴，
由，得，
因此，
，当且仅当时取等号.
所以线段长的最大值为.
【变式11】已知函数， ，且在区间上单调递增，记的最大值为，设.
(1)求的解析式；
(2)在中，，，其内切圆半径为r，点P满足.
①求r的最大值；
②当r取得最大值时，求长的取值范围.
【解析】（1）由题意得，由可知，故，
当时，，
根据正切函数在区间上单调递增，
所以，即,
所以，代入可得.
（2）①此时，由可得，
不妨记△ABC内角的对边分别为因为，
由余弦定理可得，即，
故，
由内切圆半径为r，利用等面积法可得：，
于是，
又因为，所以，
于是，
故，
故，
当且仅当时，等号成立.故r的最大值为.
②当r取到最大值时，此时，记的中点为O，易知，
于是由等腰三角形性质可知，
因为，的中点为O，所以
故且，
当且仅当三点共线时等号成立.故AP长的取值范围是.
题型七：常见数学史问题
【例题13】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在中，对应的边分别为，.
(1)求角的大小；
(2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式：
，
其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若.
①求的最小值；
②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值.
【解析】（1）在中，由及正弦定理，
得，而，
则，即，
整理得，即，又，
于是，又，所以.
（2）①由正弦定理得，
由柯西不等式得
，
当且仅当，即为正三角形时取等号，
所以的最小值为108.
②.
又，
，由三维柯西不等式
得，
当且仅当，即时等号成立，
因此，
由余弦定理，得，则，
，令，则，
由，得，当且仅当时等号成立，
则，即，函数，
则当，即时，，，
所以当时，取得最小值.
【例题14】（2025·湖北·三模）内一点O，满足，则点O称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如，请你和他一起解决如下问题：
(1)若a，b，c分别是A，B，C的对边，，证明：；
(2)在（1）的条件下，若的周长为4，试把表示为a的函数，并求的取值范围．
【解析】（1）设，
在和中，由正弦定理得
又，，
，
，又，
，即．
（2）
，即，
又成等比数列，设（公比）（），
，解得：，又，得，
由且，则，故在上递增，
所以在上为减函数，易知，
【变式12】已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，求边长的最大值；
(3)若的面积为，且，求面积的取值范围.
【解析】（1）在中，由正弦定理，得，
又是锐角三角形，所以.
而分别是以为边的等边三角形的中心，
所以，从而.
（2）由（1）知，
在中，设，，
由余弦定理得，即，
故，故，同理，
所以.
而在中由余弦定理有，
.
当且仅当时等号成立，从而，
由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为.
（3）由的面积为知，
在，中分别由余弦定理有
①，
②.
联立①②，消去，
可得.
所以面积，
又，
所以.
从而得面积的取值范围是.
【变式13】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，求a；
(3)拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”如图，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A'，B'，C'，若，求△A'B'C'的面积的最大值．
【解析】（1）因为，由正弦定理得，
所以．
又，
所以，
又，所以，可得，
因为，所以．
（2）因为，所以，即，
即，
又因为，所以．
由正弦定理得，
所以，，
由余弦定理可得，
因，代入可得：，
解得．
（3）由余弦定理得，
即，当且仅当时取等号．
取AC的中点G，因为，所以，
同理可得，又，
由余弦定理，，
所以△A'B'C'的面积．
即△A'B'C'面积的最大值为．
题型八：四心问题
【例题15】为锐角三角形，内角的对边分别为.已知为的外心，为上一点，且，.
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围；
(3)若，求的取值范围.
【解析】（1）因为，由正弦定理得：，
又，
所以，又，所以，
即，由，
所以；
（2）由题意有，
由正弦定理有：，所以，
由（1）由，所以，所以，
又为锐角三角形，所以，所以，所以，
所以，，所以，
所以面积的取值范围为；
（3）设为外接圆的半径，由正弦定理有，即，
所以，由余弦定理有，
所以，
同理，
又
，
所以，所以
，
又由正弦定理得，
所以
，
又，所以，所以，所以，
所以，即，
所以的取值范围为.
【例题16】已知内角的对边为，点是的内心，若．
(1)求角；
(2)延长交于点，若，求的周长；
(3)求的取值范围．
【解析】（1）因为，所以根据正弦定理得，
化简得.
因为，所以.
所以，因为，所以.
（2）如图，，
所以，
化简得：①.
根据余弦定理得②，
①②联立方程组解得：.
解得，又，所以.
所以的周长为.
（3）令三角形内切圆半径为.
因为.
.
所以，解得.
因为，所以.
根据余弦定理得：，
即，故‘
又，解得，
故，
综上，的取值范围为.
【变式14】记的内角所对的边分别为，向量，且.
(1)求角A；
(2)若，点为的内心，求面积的最大值.
【解析】（1）由题意得，
由正弦定理得，
因为，所以，所以，
所以，又，所以.
（2）解法一：由（1）知，因为点为的内心，
所以，
由三角形内角和定理得.
在中，由余弦定理得，又，
所以，由基本不等式得，
所以，当且仅当等号成立.
所以的面积
所以的面积的最大值为；
解法二：设的内切圆半径为，
所以的面积，
又，所以，
因为点为的内心，
所以，
在中，由余弦定理得，即，
所以，即，由基本不等式得，
解得，当且仅当等号成立.
所以，
所以的面积的最大值为.
【变式15】在中，，，分别是角，，的对边，已知，点是的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点．
(1)求角的大小；
(2)若，求的值；
(3)若的面积，点是的重心，求的最小值．
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理可得，整理得，
故，
因为，所以．
（2）如图，
由题意可得，，
因为，，三点共线，
故可设，，
又因，，三点共线，故，
所以，故．
（3）连接，
因为，所以，
因为，
所以，
于是，两边平方化简得：
，当且仅当时取等号，
所以，即．
所以的最小值为．
1．在中，若边上的高为，求的范围.
【解析】由三角形面积公式得，
即，
由余弦定理得，故，
，其中，
当且仅当，即时，等号成立，
又，当且仅当时，等号成立，
故.
2．记△的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求的范围.
【解析】（1）由正弦定理得，，
因为，所以，所以，则，
因为，所以，
所以，所以.
（2）因为，则，
因为,
所以.
所以.
因为.所以.所以，
所以.
3．在中，角所对的边分别为，.
(1)求角；
(2)若，求的范围.
【解析】（1）因为，由正弦定理得， ，即，
则，
所以，
即，因为，所以，
可得，因为，所以.
（2）因为，，则，所以，，
由正弦定理可得， ，
所以
，
因为，所以，则，
所以，
当且仅当，即，取得最大值是，
所以的范围为.
4．在中，内角所对的边分别是且．
(1)求角A；
(2)若，求周长的范围．
【解析】（1）∵， 由正弦定理得，
由余弦定理得．∵，
∴；
（2）由（1）知，又已知，由正弦定理得：
∵，
∴，，
，
由，于是，
故，于是，
∴周长的范围是.
5．（2025·四川德阳·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的面积范围.
【解析】（1）因为，，
所以，
因为，
所以，则，
因为，
所以，又，则，
所以.
（2）设的外接圆半径为，则，
所以，
，
，
，
，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
则，
则，
所以，
所以的面积范围.
6．（2025·广东广州·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．
(1)求角A的大小；
(2)求周长的范围．
【解析】（1）由余弦定理，，
化简得，
所以，
因为，所以
（2）由正弦定理：，
则，，
由（1），故
因为，则，
所以，即周长范围是．
7．（2025·高三·安徽·开学考试）已知的内角满足，且的面积大小为4.
(1)求边长的最大值；
(2)当边长取到最大值时，求的周长.
【解析】（1）由条件知，
即，
展开得，
于是，
展开得，
设的外接圆半径大小为，
则根据正弦定理得，
解得，
所以，
于是当时，边长最大，最大值为8．
（2）由（1）知，此时，
于是，，
所以，因为，
所以，即
于是，
所以的周长为．
8．（2025·高三·河北·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值．
【解析】（1）在中，，
代入整理得，
又因为，，所以，
所以，解得，
因为，所以，解得.
（2）因为是中点，所以，
两边平方得，
所以，即，
又由均值不等式可得，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，即面积的最大值为.
9．（2025·高三·山东烟台·开学考试）满足：
(1)求角的大小；
(2)为的中点，且，求的最大值
(3)若为外一点，，求四边形面积的最大值
【解析】（1）根据题意由正弦定理有：，即，
由余弦定理有，又，
所以；
（2）在中，，
由余弦定理有：，
所以，
所以
当时，即时，等号成立，
的最大值为；
（3）设，在中，由余弦定理得，
所以，
又，所以为等边三角形，
所以四边形的面积为
，
当时，即时，，
所以四边形的面积最大值为.
10．（2025·高三·江苏南通·开学考试）在锐角三角形中，记分别为内角的对边，．
(1)求的值；
(2)求角的最大值．
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
又因为，
即，
且为锐角三角形，则，则，
可得，所以.
（2）因为，且，则，
可得，解得，
当且仅当，即时，等号成立，
则，
因为，则，
可得，，
则，
即的最大值为，且，
所以角的最大值为.
11．已知的内角的对边分别为，的面积为，已知.
(1)求；
(2)若，求的面积的最大值.
【解析】（1）由余弦定理可得，所以.
由三角形面积公式可知及，可得，即.
因为，所以.又，所以.
（2）由（1）知.
因为，所以由余弦定理可得.
由不等式可得，所以，即，
当且仅当时等号成立，有最大值为16.
所以，
所以的面积的最大值为.
12．在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）
在锐角中，的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：_____________．
(1)求角A的大小；
(2)若E为BC中点，且，，求AC的值；
(3)如图所示，作（A、D位于直线BC异侧），使得四边形满足，，求AC的最大值．
【解析】（1）选①：，
由正弦定理，可得，
再由余弦定理，可得，
又，所以；
选②：由，可得 ，
又，所以；
选③：由，可得，即，
即，解得或（舍），
又，所以；
（2）如图，因为E为BC中点，所以，
所以，即，
即，
因为，，，
所以，即，
解得，即AC的值为2；
（3）已知，，，
设，则，，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得：，
可得
，
因为是锐角三角形，所以，解得
则，
故当时，可得AC的最大值是．
13．在中，角，，的对边分别是，，，向量，，且.
(1)若，，求面积的最大值；
(2)若，求的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，即，
由正弦定理得，
所以.
即
因为，所以，
所以，所以.
因为，所以.
因为，所以，
所以，
所以，
因为，且，
所以，当且仅当时，等号成立，
则的面积，
即面积的最大值为.
（2）由正弦定理可得，
则，，
故，
在中，，所以，
所以，所以，
则，
即的取值范围为.
14．如图，平面上有四点，其中为定点，，为动点，满足，设与的面积分别为．
(1)若，求角的值；
(2)求的最大值．
【解析】（1）因为，
所以，
得，．
（2）如图，设，
由余弦定理和柯西不等式得：
，
由且，
得，
所以，
从而，故所求最大值为．
15．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．
(1)若，求；
(2)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．
【解析】（1）由，．，
在中，由余弦定理得,
所以.
又，所以是等边三角形，
所以；
（2）在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得，
∴
所以为定值；
（3），
则，
由（2）知：，∴
代入上式得：，
配方得：，
∵
又,
所以当时，取到最大值14．
16．已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且．
(1)若，，为角A的平分线，且交于点，求的长；
(2)若的面积为，为的中点，求长的最小值；
(3)若，求周长的取值范围．
【解析】（1），
由，
由，
因此有，
由已知得，
且为角A的平分线，所以，
因为，
则，
即，解得．
（2）由已知，又的面积为，
则，解得，
又，
则
当且仅当时，等号取到，所以；
即边上中线长的最小值为．
（3）由正弦定理可知：，
因此有
，
因为，所以
因此周长的取值范围为．
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，
(1)求证：是等腰三角形；
(2)己知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值．
【解析】（1）因为，
所以，
由正弦定理得，
所以，
即，可得，
所以是等腰三角形；
（2）因为点D满足，所以；
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
又由（1）知，
所以，整理得，，
因为，所以，所以，
，
由（1）中可知为锐角，则，，
所以，
当且仅当，时取等号，
所以线段的最小值为.
18．在中，，，分别是角，，的对边，若，.
(1)求角的大小；
(2)若且，点，是边上的两个动点，且.
（i）设，用表示；
（ii）设的面积为，求的最小值.
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，，
即，
所以，
由，得，所以，即，
因为，所以.
（2）因为，，
所以由余弦定理得：，
即，解得，所以，或，.
因为，所以，，
所以，即，则；
（i）如图，设，，
则在中，由正弦定理得，所以.
（ii）在中，由正弦定理得，所以.
所以的面积为：
.
因为，所以，
故当，即时，.
19．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积，求面积的最小值.
【解析】（1）中，，由正弦定理得
，
即，
故，又，则，
即，
又，可得；
（2），则，
由余弦定理得，
即，即当且仅当时，等号成立，
故面积的最小值为.
20．在等腰直角三角形中，斜边，点，均在线段上（不含端点），且.
(1)若，求的长；
(2)求的面积的最小值.
【解析】（1）在等腰直角三角形中，斜边，点，均在线段上（不含端点），
所以，在中，，
所以，
所以或；
（2）
过作交于，则，
设，
所以所以的面积为，
因为，所以，
所以，所以，
所以，当且仅当时，取最小值，
所以面积的最小值为.
21．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题：
(1)若是边长为的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
(2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点.
（i）若，求的值；
（ii）求的最小值.
【解析】（1）由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内，
满足，且，如图，
过作于，则，，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．
（2）（i）由正弦定理得，而，，
则，即，得，则的三个角都小于，
由费马点定义知，，
设，，
由得：，
整理得，则
．
（ii）由（i）知，点在内部，且，
设，，
则，
由余弦定理得，，
，
，
而，即，
整理得，即，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
22．“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角，，所对的边分别为，，，，，点是的费马点．
(1)求；
(2)若，求的面积；
(3)求周长的取值范围．
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
又因为，
代入整理可得，
且，则，可得，
整理可得，
且，则，
可得，所以.
（2）设，
则，
即，
所以的面积为.
（3）由正弦定理可得，
可得，
则周长为，
又因为，则，
可得，，
所以周长的取值范围为.
23．在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求角．
(2)为边上一点，且．
①若，求当取最小值时的值；
②若为角平分线，求的取值范围．
【解析】（1），
由正弦定理得：，
展开得：，
，而,，
故，
，，
，故．
（2）①
，
，
，
，
，
根据余弦定理：，
，
令，
则
，
则当且仅当时等号成立，
解得：时，
时，取最小值．
②
为的角平分线
在中，由正弦定理得，
即，
,,
，
．
又，,，
，当且仅当时等号成立，
故
24．已知的内角，，的对边为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
①为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值.
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理，因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由为的中点，所以，
所以
，当且仅当时，等号取得到，
所以，则，故的最小值为；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
所以，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，故的最大值为
25．已知函数的最小正周期为.
(1)求的解析式；
(2)在中，O为的外心，角A所对边的长为a，若的外接圆半径为1，且，求面积的最大值.
【解析】（1）
的最小正周期为，，，所以.
（2）已知角所对边的长为，再设角所对边的长为．
因为的外接圆半径为，所以，
因为，所以，
所以，化简得，
过点作交于点，
设，则，
则
即，
所以
，
所以，当时取“等号”
∴面积的最大值为．
26．在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若.
(1)求；
(2)若为_______，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值.
（从条件①内心，，②垂心，③重心，，任选一个作答）
【解析】（1）由正弦定理可得，
又，
所以，
又，
所以，即，又，所以；
（2）若选条件①：
因为为的内心，所以，
由，得
因为，所以，
所以，即，
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件②：
因为为的垂心，且，
所以，
故，即，
又，
即，所以
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件③：
因为为的重心，且，所以，
又，故，
即，
即，所以
所以.
当且仅当时取最大值.