第04讲 解三角形（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份第04讲 解三角形（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共9页。
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 正弦定理及其应用 知识点2 余弦定理及其应用
知识点3 三角形面积公式与常用结论 知识点 4 解三角形的综合应用
题型破译
\l "_题型1_正、余弦定理的基本应用（解三角形）"题型1 正、余弦定理的基本应用（解三角形）
【方法技巧】
【易错分析】
\l "_题型2__三角形面积与周长问题"题型2 三角形面积与周长问题
【方法技巧】
【易错分析】
\l "_题型3__三角形形状的判断" 题型3 三角形形状的判断
【方法技巧】
【易错分析】
\l "_题型4_三角形中的最值与范围问题" 题型4 三角形中的最值与范围问题
【方法技巧】
【易错分析】
\l "_题型5__解三角形的几何应用（中线、高、角平分线）"题型5 解三角形的几何应用（中线、高、角平分线）
【方法技巧】
【易错分析】
\l "_题型6__解三角形的实际应用与综合交汇"题型6 解三角形的实际应用与综合交汇
【方法技巧】
【易错分析】
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
\l "_Tc25045" 知识点1 正弦定理及其应用
一、定理内容
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则asinA=bsinB=csinC=2R（R表示的是外接圆半径）
二、常用变形
1.边化角：a=2Rsin⁡A，b=2Rsin⁡B，c=2Rsin⁡C
2.角化边：sin⁡A=a2R，sin⁡B=b2R，sin⁡C=c2R
3.比例性质：a:b:c=sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C
三、适用场景
1.已知两角和任一边，求其他边和角（唯一解）；
2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（需判断解的个数）。
四、解的个数判断（已知a,b,A）
自主检测已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
\l "_Tc25045"知识点2余弦定理及其应用
一、定理内容
推论（求角公式）：
cs⁡A=b2+c2−a22bc,cs⁡B=a2+c2−b22ac,cs⁡C=a2+b2−c22ab
二、适用场景
1.已知三边，求三个角（唯一解）；
2.已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角（唯一解）；
3.已知两边和其中一边的对角，求第三边（一元二次方程求解，结合取舍）。
三、常用拓展
•锐角三角形判定：最大边的平方 < 另两边平方和
•直角三角形判定：最大边的平方 = 另两边平方和
•钝角三角形判定：最大边的平方 > 另两边平方和
自主检测（2026·北京西城·二模）在△ABC中，若，，，则最大内角的余弦值为__________.
\l "_Tc25045"知识点3 三角形面积公式与常用结论
一、常用面积公式
1.基本式：S=12×底×高
2.边角式：S=12absin⁡C=12bcsin⁡A=12acsin⁡B（高考最常用）
3.外接圆式：S=abc4R
4.内切圆式：S=12r(a+b+c)（r为内切圆半径）
5.海伦公式：S=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=a+b+c2
二、三角形常用结论
1.内角和诱导公式：
sin⁡(A+B)=sin⁡C，cs⁡(A+B)=−cs⁡C，tan⁡(A+B)=−tan⁡C
sin⁡A+B2=cs⁡C2，cs⁡A+B2=sin⁡C2
2.边角不等关系：
大边对大角：a>b⇔A>B⇔sin⁡A>sin⁡B
3.常见几何元素公式
￮中线长（BC边中线为AD）：AD2=2b2+2c2−a24（中线定理）
￮角平分线长（角A平分线为AD）：AD=2bccs⁡A2b+c
￮高：ha=bsin⁡C=csin⁡B
自主检测已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（ ）
A．3B．C．D．
\l "_Tc25045"知识点4 解三角形的综合应用
一、实际应用常见模型
1.测量距离：两点不可达、两点可视不可达
2.测量高度：底部可达、底部不可达
3.测量角度：方位角、仰角、俯角、方向角
4.航海问题：速度、航向、相遇问题
二、解题步骤
1.分析题意，画出平面示意图；
2.明确已知量与所求量，将实际数值转化为三角形的边角；
3.选择正弦定理或余弦定理建立方程求解；
4.检验结果合理性，还原为实际问题答案。
自主检测如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01）
题●型●破●译
题型1 正、余弦定理的基本应用（解三角形）
例1-1中内角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
例1-2（2026·贵州遵义·模拟预测）在中，” “是” “成立的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练1-1】（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（ ）
A．B．C．D．4
【变式训练1-2】（多选题）（2026·山东聊城·一模）的内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ）
A．B．
C．若，则D．若，且为钝角，则
【变式训练1-3】（2026·陕西西安·三模）已知的内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若为边上一点，，求.
题型2 三角形面积与周长问题
例2-1（2026·广西桂林·一模）在中，，，的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
例2-2（多选题）（2026高三下·全国·专题练习）已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（ ）
A．B．面积的最大值为
C．当时，四边形ABCD面积的最大值为D．四边形ABCD面积的最大值为2
方法技巧
1. 面积公式选择：已知两边及夹角→直接用12absin⁡C；已知三边→海伦公式或先求角再求面积;
2. 周长问题常结合余弦定理，利用整体代换（如b+c），结合完全平方公式与面积公式联立求解;
3. 边角混合条件，先统一边或统一角，再结合定理计算。
易错分析
1. 面积公式中角与边不对应（如用a,b对应角A），导致计算错误；
2. 已知周长与一边，无法正确构建余弦定理的整体代换式；
3. 忽略三角形内角范围，导致角的取值错误。
【变式训练2-1·变题型】（2026·辽宁朝阳·三模）已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则_______；若，则面积的取值范围为_______．
【变式训练2-2】（2026·山东聊城·一模）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，．
(1)求；
(2)求的周长.
【变式训练2-3】（2026·云南曲靖·一模）在中，，
(1)求C；
(2)点D在边上，且，求面积.
题型3 三角形形状的判断
例3-1（2026·湖南株洲·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形
例3-2（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）在 中，，，，则（ ）
A．外接圆的半径为
B．
C．是钝角三角形
D．内切圆的半径为
方法技巧
1. 核心思路：边角互化，统一为边的代数关系或角的三角关系;
2. 边化角：正弦定理转化，结合三角恒等变换得到角的关系（相等、互余等）;
3. 角化边：正、余弦定理转化，通过代数变形得到边的关系（相等、平方和关系等）。
易错分析
1. 等式两边约去公因子（如sin⁡A），忽略零因子情况，导致漏解；
2. 判断钝角三角形时，未对最大角进行判断，导致结论错误；
3. 三角恒等变换出错，误判角的关系。
【变式训练3-1】（多选题）（2026·广东茂名·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则符合条件的有且仅有一个
B．若，则是等边三角形
C．若，则是锐角三角形
D．若，则为等腰三角形
【变式训练3-2】在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且．
(1)求的面积；
(2)若为的中线，且，判断的形状．
【变式训练3-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足，．
(1)若，求的值；
(2)求角的最大值，并判断此时的形状．
题型4 三角形中的最值与范围问题
例4-1已知边长为2的菱形满足，绕边所在的直线旋转，在旋转过程中三棱锥体积的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
例4-2钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
方法技巧
1. 两类主流方法：
① 三角函数法：正弦定理边化角，转化为三角函数值域问题，结合角的范围求解；
② 基本不等式法：余弦定理结合完全平方公式，构建和与积的关系，用基本不等式求最值。
2. 范围问题必须考虑约束：三角形内角范围、锐角 / 钝角三角形限制、三边关系。
易错分析
1. 求范围时忽略锐角三角形等约束条件，导致范围扩大；
2. 基本不等式使用时，忽略等号成立的条件是否满足三角形要求；
3. 角的范围推导错误，导致三角函数值域计算偏差。
【变式训练4-1·变题型】（2026·山西晋城·三模）已知在钝角中，角A，B，C的对边分别为．，则角的取值范围为______；若，则______．
【变式训练4-2】（2026·河南·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角C的取值范围；
(2)当角C取最大值时，边上存在一点D，满足，求周长的取值范围.
【变式训练4-3】（2026·甘肃张掖·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求的值；
(2)求的取值范围．
题型5 解三角形的几何应用（中线、高、角平分线）
例5-1已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
例5-2在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
方法技巧
1. 中线问题：优先用中线定理（阿波罗尼斯定理），或利用邻补角余弦定理（∠ADB+∠ADC=π，余弦值互为相反数）；
2. 角平分线问题：利用角平分线定理（BDDC=ABAC），或面积拆分法（S△ABC=S△ABD+S△ACD）；
3. 高的问题：结合面积公式，或利用直角三角形的边角关系。
易错分析
1. 中线定理公式记忆错误，系数与平方项混淆；
2. 角平分线长度计算时，拆分面积的方法不熟练，导致计算复杂；
3. 利用邻补角余弦时，符号处理错误。
【变式训练5-1】（多选题）（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到
C．函数的一条对称轴为直线
D．函数在上单调递减）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC经过点，直角边AB，AC分别经过点，，则面积的最大值为_________．
【变式训练5-2】（2026·山西忻州·模拟预测）在中，点在边上，且为的平分线．已知，，．
(1)求；
(2)求的面积和．
【变式训练5-3·变载体】（2026·河南·三模）在平面四边形中，已知，，.
(1)求；
(2)若，，求.
题型6 解三角形的实际应用与综合交汇
例6-1（2026·四川·模拟预测）重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（ ）(参考数据：取）
A．26米
B．28米
C．30米
D．32米
例6-2（2026·福建漳州·三模）为了测量某古塔的高度，设点为塔顶，点为在地平面上的投影，小张遥控无人机（将无人机视为质点）从地平面上的处竖直向上飞行6米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，然后继续竖直向上飞行10米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，则该古塔的高度为（ ）
A．21米B．米
C．米D．米
方法技巧
1. 实际应用四步走：审题→画示意图→抽象三角形→选定理求解→检验作答；
2. 术语辨析：方位角（正北顺时针旋转的角度）、方向角（如北偏东30∘）、仰角、俯角；
3. 综合交汇题：与平面向量、数列结合时，先转化为边角关系，再用解三角形方法处理。
易错分析
1. 方位角、方向角概念混淆，导致角度标注错误；
2. 实际问题中忽略单位换算，或结果未按要求取近似值；
3. 多三角形交汇问题中，公共边、公共角找不准，无法建立联系。
【变式训练6-1】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山隧道，其中在山的同一侧，在山的另一侧，为求出隧道的长度，测量出，则隧道的长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-2】（2026·广东东莞·二模）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练6-3·变载体】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）作为哈尔滨的地标性建筑，圣·索菲亚教堂以其典雅庄重的拜占庭风格与浓郁的历史气息，成为游客争相打卡的热门景点，某游客在圣·索菲亚教堂地面上观测点C处发现两栋建筑物A、B，测得A在C的北偏东的方向上，B在C的北偏东的方向上，从C处向正东方向行走后到达D处，测得A在D的北偏西的方向上，B在D的北偏东的方向上．
(1)求观测点C与建筑物A之间的距离；
(2)为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣·索菲亚教堂景区计划在由观测点C、建筑物A与B三点围成的三角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的占地面积．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
一、单选题
1．（2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________．
7．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
三、解答题
8．（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，．
(1)证明：为钝角三角形；
(2)若的面积为，求的周长．
9．（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，．
(1)求；
(2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求．
10．（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
11．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
12．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
一、解答题
1．在中，已知，，，求c．
2．在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到，边长精确到0.1cm）；
3．在中，若试判断的形状.
4．如图，在三V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值.
5．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证：
（1）三角形的面积；
（2）若r为三角形的内切圈半径，则；
（3）把边BC，AC，AB上的高分别记为,则，，.
6．证明三角形的面积公式.
7．证明：设三角形的外接圆的半径是R，则.
8．的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明，，
9．在气象台A正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到）？
核心考点
2026年
2025年
2024年
正弦定理与余弦定理
全国二卷T17（15分）
全国二卷T5（5分）
全国甲卷（理）T11（5分），全国甲卷（文）T12（5分），全国Ⅰ卷T15（13分），全国Ⅱ卷T15（13分），
三角形面积公式
全国二卷T17（15分）
——
——
三角形形状判断
全国二卷T17（15分）
——
——
最值与范围问题
——
——
——
几何计算（中线 / 角平分线
——
——
——
实际应用问题
——
——
——
考情分析
解三角形是高中三角函数模块的核心应用分支，是高考高频必考考点，衔接三角恒等变换与平面几何知识，突出数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模核心素养。
1.题型分值：单选 / 多选第 5～11 题（5 分），填空题第 13～16 题（5 分），解答题常作为解答题第 1-2 题考查（10～12 分），总分值 10～17 分；整体难度中等，以基础题与中档题为主，常与三角恒等变换、平面向量、数列等知识交汇。
2.五大考查方向：
a.直接利用正、余弦定理解三角形，求解边、角基本量；
b.三角形面积公式的应用，结合周长、边长综合计算；
c.三角形形状的判断，利用边角互化统一转化；
d.三角形中的最值、范围问题，结合基本不等式或三角函数值域；
e.解三角形的几何应用（中线、高、角平分线）与实际测量问题。
3.综合融合：常与三角恒等变换结合，先化简边角关系再求解；也可与平面向量、基本不等式、立体几何、实际测量等知识交汇命题，突出工具性与应用性。
复习目标
1.掌握正弦定理、余弦定理的内容与推导，能灵活进行边角互化；
2.掌握三角形面积公式的多种形式，能结合定理求解面积、周长问题；
3.掌握三角形形状判断的方法，能处理三角形中的中线、高、角平分线等几何计算；
4.能利用三角函数与基本不等式求解三角形中的最值与范围问题；
5.能运用解三角形知识解决实际测量与几何综合问题，提升转化化归与数学建模能力。
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的
个数
一解
两解
一解
一解
方法技巧
1. 选定理原则：已知两角一边→正弦定理；已知三边 / 两边夹角→余弦定理；已知两边一对角→正弦定理（先判解数）或余弦定理（方程法）。
2. 边角互化：等式两边边或正弦同次，可直接互化；出现余弦或边的平方，优先余弦定理。
3. 求角必验证：利用大边对大角、内角和定理舍去不符合的解。
易错分析
1. 已知两边一对角时，直接求角不验证，导致漏解或多解；
2. 正弦定理边化角时，遗漏2R，或比例关系用错；
3. 余弦定理公式记忆错误，平方项与乘积项符号混淆。