小学数学北师大版（2024）六年级上册（2024）圆的面积（二）精品一课一练

这是一份小学数学北师大版（2024）六年级上册（2024）圆的面积（二）精品一课一练，共2页。试卷主要包含了学习目标，重点，难点，知识要点，典型例题等内容，欢迎下载使用。
本课核心问题
已知一个圆的不同信息（半径、直径或周长），怎样求出它的面积？半径变化时，面积会怎样变化？
一、学习目标
1. 能根据圆的半径直接用 S=πr² 求出圆的面积，正确书写面积单位
2. 能根据圆的直径或周长先求出半径，再求出圆的面积，解决“已知周长求面积”的实际问题
3. 能通过花坛方案比较等活动理解半径（直径）变化时圆的面积按平方关系变化，并会用剪拼三角形法说明公式来源
二、重点
• 已知半径：S=πr²；已知直径：先 r=d÷2；已知周长：先 r=C÷π÷2
• 半径（直径）扩大到原来的 n 倍，圆的面积扩大到原来的 n² 倍
三、难点
• 已知周长求面积时“先求半径”的两步转换（除以π后再除以2），以及把直径误当半径代入公式
学习支架
喷水头浇灌的圆形农田（半径3m）
花坛两种方案示意图
剪拼得到的近似三角形
两种花坛方案对比
用剪拼法得到的圆的面积公式
求圆面积的一般步骤
1. 读题：确定已知的是半径、直径还是周长
2. 求出半径 r：直径÷2，或周长÷π÷2
3. 代入公式 S=πr² 计算面积
4. 检查单位并完整作答
四、知识要点
1. 已知半径，直接求圆的面积
圆的面积公式：S=πr²（S 表示面积，r 表示半径）。计算时通常取 π≈3.14。已知半径求面积，直接把半径代入公式，先算半径的平方，再乘 3.14。例如：半径是3m的圆，S=3.14×3²=3.14×9=28.26（m²）。注意三点：一是 r² 表示 r×r，要先算平方再乘 π；二是面积要用平方单位（cm²、dm²、m²），不能写成 cm、m；三是题目没有特别说明时，π 就取 3.14 计算。
2. 已知直径或周长，先求半径再求面积
面积公式里的 r 是半径，题目给出的是直径或周长时，不能直接代入，要先求出半径：已知直径 d：r=d÷2。已知周长 C：由 C=2πr 可知，r=C÷π÷2（先除以 π 得到直径，再除以 2 得到半径）。例如：羊圈周长 125.6m，半径 r=125.6÷3.14÷2=20（m），面积 S=3.14×20²=3.14×400=1256（m²）。一句话：不管已知什么，都要先“统一到半径”，再代公式。检验小技巧：求出面积后，可以用半径回算周长（C=2πr），与已知周长一致就说明半径求对了。
3. 半径（直径）变化时，面积的变化规律
圆的面积与半径的平方有关：半径扩大到原来的 n 倍，圆的面积就扩大到原来的 n² 倍。以花坛为例：直径4m的小花坛半径2m，面积 3.14×2²=12.56（m²）；直径8m的大花坛半径4m，面积 3.14×4²=50.24（m²）。大花坛的直径（半径）是小花坛的2倍，面积却是 2²=4 倍。所以两个直径4m的小花坛合起来（25.12m²）也没有一个直径8m的大花坛（50.24m²）大。原因：S=πr² 中 r 要平方，半径的倍数被“放大”了。遇到“直径（半径）扩大几倍，面积扩大几倍”的问题，都要按平方关系想。
4. 剪拼法再探圆的面积公式
把圆形茶杯垫片沿线剪开，展开后可以得到一个近似三角形。这个三角形的底相当于圆的周长（2πr），高相当于圆的半径（r）。因为三角形的面积=底×高÷2，所以圆的面积 S=(2πr)×r÷2=πr²。这与上一课时拼长方形得到的结果完全一致：圆的面积都是 S=πr²。这个方法告诉我们：公式里的 r² 不是凭空来的，它来自“周长 2πr 与半径 r 相乘再除以 2”。记住底、高与圆周长、半径的对应关系，就能自己推出公式，不用死记。
五、典型例题
【例1】
节水农业示范基地的喷水头转动一周，能浇灌半径是3m的圆形农田。喷水头转动一周能浇灌多大面积的农田？
【解答】喷水头转动一周浇灌的范围是一个圆，半径 r=3m。根据圆的面积公式 S=πr²：S=3.14×3²
=3.14×9
=28.26（m²）
答：喷水头转动一周能浇灌28.26平方米的农田。检验：3×3=9，9×3.14=28.26，计算无误。
【点拨】已知半径就直接代入公式。注意先算半径的平方（3²=9），再乘3.14；答案要带面积单位m²，不要写成m。
【例2】
量得圆形羊圈的周长是125.6m。这个羊圈的面积是多少平方米？
【解答】羊圈的周长 C=125.6m，先求出半径。由 C=2πr 得：r=C÷π÷2
r=125.6÷3.14÷2
=40÷2
=20（m）
再求面积：S=πr²=3.14×20²
=3.14×400
=1256（m²）
答：这个羊圈的面积是1256平方米。检验：用半径回算周长，2×3.14×20=125.6（m），与已知周长一致，半径求对了。
【点拨】“已知周长求面积”要分两步：先用周长÷π÷2求出半径，再代入面积公式。最容易错的是除以3.14后忘记再除以2——那求到的是直径。用周长回代检验可以及时发现这个错误。
【例3】
准备在绿地修建花坛。方案一：修建两个直径都是4m的小花坛；方案二：修建一个直径是8m的大花坛。哪种方案的花坛面积更大？为什么？
【解答】方案一：小花坛的半径 r=4÷2=2（m），每个小花坛的面积=3.14×2²=3.14×4=12.56（m²），两个小花坛的总面积=12.56×2=25.12（m²）。方案二：大花坛的半径 r=8÷2=4（m），大花坛的面积=3.14×4²=3.14×16=50.24（m²）。比较：50.24＞25.12，方案二的花坛面积更大。原因：大花坛的直径（半径）是小花坛的2倍，面积却是2²=4倍（12.56×4=50.24）。两个小花坛合起来的面积（25.12m²）只相当于一个大花坛的一半。
【点拨】比较方案时先分别算出总面积再比大小。发现“直径是2倍、面积是4倍”的差距后，用“半径扩大n倍，面积扩大n²倍”来解释，就能说清“为什么差这么多”。
【例4】
把圆形茶杯垫片沿线剪开，展开后得到一个近似三角形。观察这个三角形：它的底相当于圆的（________），高相当于圆的（________）。因为三角形的面积=底×高÷2，所以圆的面积公式是 S=（________）。
【解答】三角形的底相当于圆的周长（2πr），高相当于圆的半径（r）。圆的面积 S=2πr×r÷2
=πr²
所以圆的面积公式是 S=πr²。
【点拨】关键是记住对应关系：底→圆的周长（2πr），高→圆的半径（r）。把底×高÷2写出来，2πr×r÷2 中“×2”与“÷2”正好抵消，剩下 πr²。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 一个圆的半径是5cm，它的面积是（________）cm²。（π取3.14）
2. 一个圆的直径是12dm，它的面积是（________）dm²。（π取3.14）
3. 一个圆的周长是62.8cm，它的半径是（________）cm。（π取3.14）
4. 一个圆的半径是2.5m，求它的面积。（π取3.14，得数保留一位小数）
5. 一个圆的半径是7cm，求它的面积。（π取3.14）
6. 一个圆的直径是16m，求它的面积。（π取3.14）
7. 一个圆的半径是2cm，它的面积是12.56cm²。（ ）
8. 一个圆的直径扩大到原来的2倍，它的面积也扩大到原来的2倍。（ ）
9. 已知一个圆的周长，用周长除以3.14就可以直接求出这个圆的半径。（ ）
10. 一个圆的周长是87.92m，它的面积是（________）m²。（π取3.14）
11. 把圆形茶杯垫片沿线剪开，展开后得到一个近似三角形，它的面积相当于圆的面积。若三角形的底相当于圆的周长（2πr），高相当于圆的半径（r），那么圆的面积公式 S=（________）。
★★ 能力提升
12. 一个圆的半径是3cm，它的面积是（________）cm²。
A. 18.84 B. 28.26
C. 9.42 D. 56.52
13. 一个圆的周长是25.12dm，它的面积是（________）dm²。
A. 12.56 B. 25.12
C. 50.24 D. 200.96
14. 小区广场中央有一个圆形音乐喷泉，沿着喷泉外圈走一圈正好是94.2m。这个喷泉的占地面积是多少平方米？（π取3.14）
15. 妈妈给圆桌买了一块圆形桌垫，桌垫的直径是26cm。这张桌垫的面积是多少平方厘米？（π取3.14）
16. 美术教室要布置展板。方案一：贴两块半径都是0.5m的圆形毛毡；方案二：贴一块半径是1m的圆形毛毡。哪种方案用的毛毡面积大？
★★★ 拓展延伸
17. 一个圆形花坛的占地面积是78.5m²，这个花坛的直径是多少米？（π取3.14）
18. 学校在边长12m的正方形空地中央修建一个最大的圆形花坛（花坛的直径等于空地的边长），其余部分铺草皮。铺草皮的面积是多少平方米？（π取3.14）
正方形空地中的最大圆形花坛（示意图）
19. 下图中大圆的半径是6cm，小圆的直径是6cm，两个圆同心。阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）
同心圆阴影部分（示意图）
参 考 答 案
第1题：78.5
第2题：113.04
【解析】半径=12÷2=6（dm），面积=3.14×6²=3.14×36=113.04（dm²）。[错因:方法]
第3题：10
【解析】r=C÷π÷2=62.8÷3.14÷2=20÷2=10（cm）。[错因:方法]
第4题：19.625m²，保留一位小数约19.6m²
【解析】S=3.14×2.5²=3.14×6.25=19.625（m²），保留一位小数看百分位，百分位是2，舍去，约19.6m²。[错因:计算]
第5题：153.86
【解析】S=3.14×7²=3.14×49=153.86（cm²）。[错因:计算]
第6题：200.96
【解析】先求半径：r=16÷2=8（m）；再求面积：S=3.14×8²=3.14×64=200.96（m²）。[错因:方法]
第7题：√
【解析】计算正确：3.14×2²＝3.14×4＝12.56（cm²）。[错因:计算]
第8题：×
【解析】直径扩大2倍，半径也扩大2倍，面积扩大到原来的2²=4倍，不是2倍。[错因:理解]
第9题：×
【解析】周长公式是 C=2πr，周长÷π得到的是直径（2r），还要再除以2才是半径。[错因:知识]
第10题：615.44
【解析】r=87.92÷3.14÷2=28÷2=14（m），S=3.14×14²=3.14×196=615.44（m²）。[错因:方法]
第11题：πr²
第12题：B
【解析】S=3.14×3²=3.14×9=28.26（cm²）。A选项是周长2×3.14×3=18.84，混淆了周长与面积公式；C选项只算了3.14×3，漏乘2又漏平方；D选项把3²错算成3×2×3，多乘了一个2。[错因:知识]
第13题：C
【解析】r=25.12÷3.14÷2=4（dm），S=3.14×4²=50.24（dm²）。B选项直接把周长当面积；D选项用直径8dm当半径：3.14×8²=200.96；A选项只算了3.14×4，忘记平方。[错因:方法]
第14题：706.5平方米
【解析】先求半径：r=94.2÷3.14÷2=30÷2=15（m）；再求面积：S=3.14×15²=3.14×225=706.5（m²）。答：占地面积是706.5平方米。检验：2×3.14×15=94.2（m），与已知周长一致。[错因:方法]
第15题：530.66平方厘米
【解析】桌垫是圆形，先求半径：r=26÷2=13（cm）；再求面积：S=3.14×13²=3.14×169=530.66（cm²）。答：桌垫的面积是530.66平方厘米。[错因:方法]
第16题：方案二用的毛毡面积大。方案一：3.14×0.5²×2=1.57（m²）；方案二：3.14×1²=3.14（m²）。1.57＜3.14。
【解析】半径是2倍（0.5→1），面积是2²=4倍，一块大毛毡（3.14m²）比两块小毛毡合起来（1.57m²）还大得多。这和教材花坛方案的道理一样：半径的倍数会被平方放大。[错因:理解]
第17题：10m
【解析】由 S=πr² 得：r²=78.5÷3.14=25。因为5×5=25，所以半径r=5（m），直径d=5×2=10（m）。检验：3.14×5²=78.5（m²），与已知面积一致。[错因:方法]
第18题：30.96平方米
【解析】正方形面积：12×12=144（m²）。圆形花坛的直径=12m，半径r=12÷2=6（m），花坛面积：3.14×6²=3.14×36=113.04（m²）。草皮面积=正方形面积−花坛面积=144−113.04=30.96（m²）。检验：30.96+113.04=144，正好等于正方形面积。[错因:方法]
第19题：84.78平方厘米
【解析】大圆面积：3.14×6²=3.14×36=113.04（cm²）。小圆半径：6÷2=3（cm），小圆面积：3.14×3²=3.14×9=28.26（cm²）。阴影面积=大圆面积−小圆面积=113.04−28.26=84.78（cm²）。观察：小圆半径是大圆的一半，小圆面积正好是大圆的四分之一，这就是“半径n倍、面积n²倍”的应用。[错因:计算]方案
直径
半径
总面积
方案一（两个小花坛）
4m
2m
25.12m²
方案二（一个大花坛）
8m
4m
50.24m²